Espacio métrico

Para comprender la utilidad de las distintas nociones de distancia, consideremos la superficie de la Tierra como un conjunto de puntos. Podemos medir la distancia entre dos de estos puntos mediante la longitud del camino más corto a lo largo de la superficie , en línea recta ; esto resulta especialmente útil para el transporte marítimo y la aviación. También podemos medir la distancia en línea recta entre dos puntos a través del interior de la Tierra; esta noción es, por ejemplo, natural en sismología , ya que se corresponde aproximadamente con el tiempo que tardan las ondas sísmicas en viajar entre esos dos puntos.

La noción de distancia, codificada por los axiomas de los espacios métricos, tiene relativamente pocos requisitos. Esta generalidad confiere a los espacios métricos una gran flexibilidad. Al mismo tiempo, la noción es lo suficientemente sólida como para codificar muchos hechos intuitivos sobre el significado de la distancia. Esto implica que los resultados generales sobre espacios métricos pueden aplicarse en diversos contextos.

Al igual que muchos conceptos matemáticos fundamentales, la métrica en un espacio métrico puede interpretarse de diversas maneras. Una métrica en particular no se entiende mejor como una medida de distancia física, sino más bien como el costo de cambiar de un estado a otro (como en el caso de las métricas de Wasserstein en espacios de medidas ) o el grado de diferencia entre dos objetos (por ejemplo, la distancia de Hamming entre dos cadenas de caracteres o la distancia de Gromov-Hausdorff entre los propios espacios métricos).

Formalmente, un espacio métrico es un par ordenado ( M , d ) donde M es un conjunto (cuyos elementos se llaman puntos) y d es una métrica en M , es decir, una función$${\displaystyle d\,\colon M\times M\to \mathbb {R} }$$que satisfacen los siguientes axiomas para todos los puntos${\displaystyle x,y,z\in M}$: ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

1. La distancia de un punto a sí mismo es cero:$${\displaystyle d(x,x)=0}$$
2. (Positividad) La distancia entre dos puntos distintos siempre es positiva:$${\displaystyle {\text{Si }}x\neq y{\text{, entonces }}d(x,y)>0}$$
3. ( Simetría ) La distancia de x a y siempre es la misma que la distancia de y a x :$${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$$
4. Se cumple la desigualdad triangular :$${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$$Esta es una propiedad natural de las nociones de distancia, tanto físicas como metafóricas: se puede llegar a z desde x tomando un desvío a través de y , pero esto no hará que el viaje sea más corto que el camino directo.

Es tradicional escribir M como una abreviatura de ( M , d ) cuando se entiende qué es d .

Para cualquier punto x en un espacio métrico M y cualquier número real r > 0 , la bola abierta de radio r alrededor de x se define como el conjunto de puntos que están estrictamente a una distancia menor que r de x : $${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\in M:d(x,y)<r\}.}$$ Esta es una forma natural de definir un conjunto de puntos que están relativamente cerca de x . Por lo tanto, un conjunto${\displaystyle N\subseteq M}$es un entorno de x (informalmente, contiene todos los puntos "lo suficientemente cerca" de x ) si contiene una bola abierta de radio r alrededor de x para algún r > 0 .

Un conjunto abierto es aquel que constituye un entorno de todos sus puntos. Por lo tanto, las bolas abiertas forman una base para una topología en M. En otras palabras, los conjuntos abiertos de M son precisamente las uniones de bolas abiertas. Como en cualquier topología, los conjuntos cerrados son el complemento de los conjuntos abiertos. Los conjuntos pueden ser abiertos y cerrados a la vez, o bien no ser ni abiertos ni cerrados.

Esta topología no contiene toda la información sobre el espacio métrico. Por ejemplo, las distancias d ₁ , d ₂ , y d _∞ definidas anteriormente inducen todas la misma topología en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, aunque se comportan de manera diferente en muchos aspectos. Del mismo modo,${\displaystyle \mathbb {R} }$Con la métrica euclidiana y su subespacio, el intervalo (0, 1) con la métrica inducida son homeomorfos pero tienen propiedades métricas muy diferentes.

Por el contrario, no a todo espacio topológico se le puede asignar una métrica. Los espacios topológicos que son compatibles con una métrica se denominan metrizables y se comportan particularmente bien en muchos sentidos: en particular, son espacios de Hausdorff paracompactos ^{[ 11 ]} (por lo tanto, normales ) y primeramente numerables . ^{[ a ]} ​​El teorema de metrización de Nagata-Smirnov proporciona una caracterización de la metrizabilidad en términos de otras propiedades topológicas, sin referencia a métricas.

La convergencia de sucesiones en el espacio euclidiano se define de la siguiente manera:

Una sucesión ( x _n ) converge a un punto x si para cada ε > 0 existe un entero N tal que para todo n > N , d ( x _n , x ) < ε .

La convergencia de secuencias en un espacio topológico se define de la siguiente manera:

Una sucesión ( x _n ) converge a un punto x si para cada conjunto abierto U que contiene a x existe un entero N tal que para todo n > N ,${\displaystyle x_{n}\in U}$.

En los espacios métricos, ambas definiciones tienen sentido y son equivalentes. Este es un patrón general para las propiedades topológicas de los espacios métricos: si bien pueden definirse de forma puramente topológica, a menudo existe una manera que utiliza la métrica, la cual es más fácil de enunciar o más familiar desde el análisis real.

De manera informal, un espacio métrico es completo si no tiene "puntos faltantes": toda secuencia que parece que debería converger a algo, de hecho converge.

Para ser más precisos: una sucesión (xₙ) en un _espacio métrico _{M es una sucesión de Cauchy si para todo ε > 0 existe un entero N tal que para todo m, n > N, d(xₙ} , xₙ ) < ε . Por la desigualdad triangular , cualquier sucesión convergente es una sucesión de Cauchy _: si _xₙ y xₙ están ambos a menos de ε del límite, entonces están a menos de 2ε entre sí. Si se cumple lo contrario —toda sucesión de Cauchy en _M converge— entonces M es completo.

Los espacios euclidianos son completos, como lo son${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$con las otras métricas descritas anteriormente. Dos ejemplos de espacios que no son completos son (0, 1) y los racionales, cada uno con la métrica inducida a partir de${\displaystyle \mathbb {R} }$Se puede pensar en (0, 1) como si le faltaran sus extremos 0 y 1. A los racionales les faltan todos los irracionales, ya que cualquier irracional tiene una secuencia de racionales que convergen hacia él.${\displaystyle \mathbb {R} }$(por ejemplo, sus sucesivas aproximaciones decimales). Estos ejemplos muestran que la completitud no es una propiedad topológica, ya que${\displaystyle \mathbb {R} }$es completo, pero el espacio homeomorfo (0, 1) no lo es.

Esta noción de "puntos faltantes" puede precisarse. De hecho, todo espacio métrico tiene una completación única , que es un espacio completo que contiene el espacio dado como un subconjunto denso . Por ejemplo, [ 0, 1 ] es la completación de (0, 1) , y los números reales son la completación de los racionales.

Dado que los espacios completos suelen ser más fáciles de manejar, las completaciones son importantes en matemáticas. Por ejemplo, en álgebra abstracta, los números p -ádicos se definen como la completación de los racionales bajo una métrica diferente. La completación es particularmente común como herramienta en análisis funcional . A menudo se dispone de un conjunto de funciones adecuadas y una forma de medir las distancias entre ellas. Al tomar la completación de este espacio métrico, se obtiene un nuevo conjunto de funciones que pueden ser menos adecuadas, pero no obstante útiles porque se comportan de manera similar a las funciones adecuadas originales en aspectos importantes. Por ejemplo, las soluciones débiles de ecuaciones diferenciales suelen residir en una completación (un espacio de Sobolev ) en lugar del espacio original de funciones adecuadas para el cual la ecuación diferencial tiene sentido.

Un espacio métrico M es acotado si existe un r tal que ningún par de puntos en M está separado por más de una distancia r . ^{[ b ]} El menor r de este tipo se llama diámetro de M.

El espacio M se denomina precompacto o totalmente acotado si para cada r > 0 existe una cubierta finita de M por bolas abiertas de radio r . Todo espacio totalmente acotado es acotado. Para ver esto, partamos de una cubierta finita por r -bolas para algún r arbitrario . Dado que el subconjunto de M formado por los centros de estas bolas es finito, tiene un diámetro finito, digamos D. Por la desigualdad triangular, el diámetro de todo el espacio es como máximo D + 2r . Lo contrario no se cumple: un ejemplo de un espacio métrico que es acotado pero no totalmente acotado es${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(o cualquier otro conjunto infinito) con la métrica discreta.

La compacidad es una propiedad topológica que generaliza las propiedades de un subconjunto cerrado y acotado del espacio euclidiano. Existen varias definiciones equivalentes de compacidad en espacios métricos:

1. Un espacio métrico M es compacto si toda cubierta abierta tiene una subcubierta finita (la definición topológica habitual).
2. Un espacio métrico M es compacto si toda sucesión tiene una subsucesión convergente. (Para espacios topológicos generales, esto se denomina compacidad secuencial y no es equivalente a la compacidad).
3. Un espacio métrico M es compacto si es completo y totalmente acotado. (Esta definición se expresa en términos de propiedades métricas y no tiene sentido para un espacio topológico general, pero no obstante es topológicamente invariante, ya que es equivalente a la compacidad).

Un ejemplo de espacio compacto es el intervalo cerrado [ 0, 1 ] .

La compacidad es importante por razones similares a la completitud: facilita la búsqueda de límites. Otra herramienta importante es el lema numérico de Lebesgue , que demuestra que para cualquier recubrimiento abierto de un espacio compacto, cada punto se encuentra relativamente profundo dentro de uno de los conjuntos del recubrimiento.

Una interpretación de un mapa que "preserva la estructura" es aquel que conserva completamente la función de distancia:

Una función${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$es preservador de distancia ^{[ 12 ]} si para cada par de puntos x e y en M ₁ ,$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y).}$$

De los axiomas del espacio métrico se deduce que una función que preserva la distancia es inyectiva. Una función biyectiva que preserva la distancia se denomina isometría . ^{[ 13 ]} Un ejemplo, quizás no tan obvio, de una isometría entre espacios descritos en este artículo es el mapa${\displaystyle f:(\mathbb {R} ^{2},d_{1})\to (\mathbb {R} ^{2},d_{\infty })}$definido por $${\displaystyle f(x,y)=(x+y,x-y).}$$

Si existe una isometría entre los espacios M ₁ y M ₂ , se dice que son isométricos . Los espacios métricos que son isométricos son esencialmente idénticos .

En el otro extremo del espectro, se puede prescindir por completo de la estructura métrica y estudiar aplicaciones continuas , que solo conservan la estructura topológica. Existen varias definiciones equivalentes de continuidad para espacios métricos. Las más importantes son:

• Definición topológica. Una función${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$es continua si para cada conjunto abierto U en M ₂ , la preimagen${\displaystyle f^{-1}(U)}$está abierto.
• Continuidad secuencial . Una función${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$es continua si siempre que una sucesión ( x _n ) converge a un punto x en M ₁ , la sucesión${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2}),\ldots }$converge al punto f ( x ) en M ₂ .

(Estas dos primeras definiciones no son equivalentes para todos los espacios topológicos).

• Definición de ε–δ. una función${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$es continua si para cada punto x en M ₁ y cada ε > 0 existe δ > 0 tal que para todo y en M ₁ tenemos$${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta \implies d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

Un homeomorfismo es una biyección continua cuya inversa también es continua; si existe un homeomorfismo entre M ₁ y M ₂ , se dice que son homeomorfos . Los espacios homeomorfos son iguales desde el punto de vista de la topología, pero pueden tener propiedades métricas muy diferentes. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} }$es ilimitado y completo, mientras que (0, 1) es limitado pero no completo.

Una función${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$es uniformemente continua si para cada número real ε > 0 existe δ > 0 tal que para todos los puntos x e y en M ₁ tales que${\displaystyle d(x,y)<\delta }$, tenemos$${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\varepsilon .}$$

La única diferencia entre esta definición y la definición de continuidad ε–δ radica en el orden de los cuantificadores: la elección de δ debe depender únicamente de ε y no del punto x . Sin embargo, este sutil cambio supone una gran diferencia. Por ejemplo, las aplicaciones uniformemente continuas transforman secuencias de Cauchy en M ₁ en secuencias de Cauchy en M _2. En otras palabras, la continuidad uniforme conserva algunas propiedades métricas que no son puramente topológicas.

Por otro lado, el teorema de Heine-Cantor establece que si M ₁ es compacto, entonces toda aplicación continua es uniformemente continua. En otras palabras, la continuidad uniforme no permite distinguir ninguna característica no topológica de los espacios métricos compactos.

Un mapa de Lipschitz es aquel que estira las distancias por un factor acotado como máximo. Formalmente, dado un número real K > 0 , el mapa${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$es K - Lipschitz si $${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))\leq Kd_{1}(x,y)\quad {\text{for all}}\quad x,y\in M_{1}.}$$ Los mapas de Lipschitz son particularmente importantes en geometría métrica, ya que proporcionan más flexibilidad que los mapas que preservan la distancia, pero aún así hacen un uso esencial de la métrica. ^{[ 14 ]} Por ejemplo, una curva en un espacio métrico es rectificable (tiene longitud finita) si y solo si tiene una reparametrización de Lipschitz.

Una aplicación 1-Lipschitz a veces se denomina aplicación no expansiva o métrica . Las aplicaciones métricas se suelen considerar como los morfismos de la categoría de espacios métricos .

Una aplicación K -Lipschitz para K < 1 se llama contracción . El teorema del punto fijo de Banach establece que si M es un espacio métrico completo, entonces toda contracción${\displaystyle f:M\to M}$admite un único punto fijo . Si el espacio métrico M es compacto, el resultado se mantiene para una condición ligeramente más débil sobre f : una aplicación${\displaystyle f:M\to M}$admite un único punto fijo si $${\displaystyle d(f(x),f(y))<d(x,y)\quad {\mbox{for all}}\quad x\neq y\in M_{1}.}$$

Una cuasi-isometría es una aplicación que preserva la "estructura a gran escala" de un espacio métrico. Las cuasi-isometrías no tienen por qué ser continuas. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$y su subespacio${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$son cuasi-isométricos, aunque uno sea conexo y el otro discreto. La relación de equivalencia de cuasi-isometría es importante en la teoría geométrica de grupos : el lema de Švarc-Milnor establece que todos los espacios sobre los que un grupo actúa geométricamente son cuasi-isométricos. ^{[ 15 ]}

Formalmente, el mapa${\displaystyle f\,\colon M_{1}\to M_{2}}$es una incrustación cuasi-isométrica si existen constantes A ≥ 1 y B ≥ 0 tales que $${\displaystyle {\frac {1}{A}}d_{2}(f(x),f(y))-B\leq d_{1}(x,y)\leq Ad_{2}(f(x),f(y))+B\quad {\text{ for all }}\quad x,y\in M_{1}.}$$ Es una cuasi-isometría si además es cuasi-sobreyectiva , es decir, existe una constante C ≥ 0 tal que cada punto en${\displaystyle M_{2}}$está a una distancia como máximo C de algún punto de la imagen.${\displaystyle f(M_{1})}$.

Dados dos espacios métricos${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$y${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$:

• Se denominan homeomorfos (topológicamente isomorfos) si existe un homeomorfismo entre ellos (es decir, una biyección continua con una inversa continua).${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$y el mapa identidad es un homeomorfismo, entonces${\displaystyle d_{1}}$y${\displaystyle d_{2}}$Se dice que son topológicamente equivalentes .
• Se denominan uniformicas (uniformemente isomorfas) si existe un isomorfismo uniforme entre ellas (es decir, una biyección uniformemente continua con una inversa uniformemente continua).
• Se denominan bilipschitz homeomorfos si existe una biyección bilipschitz entre ellos (es decir, una biyección Lipschitz con una inversa Lipschitz).
• Se denominan isométricos si existe una isometría (biyectiva) entre ellos. En este caso, los dos espacios métricos son esencialmente idénticos.
• Se denominan cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría entre ellos.

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial dotado de una norma , que es una función que mide la longitud de los vectores. La norma de un vector v se denota típicamente por${\displaystyle \lVert v\rVert }$Cualquier espacio vectorial normado puede equiparse con una métrica en la que la distancia entre dos vectores x e y viene dada por $${\displaystyle d(x,y):=\lVert x-y\rVert .}$$ Se dice que la métrica d está inducida por la norma.${\displaystyle \lVert {\cdot }\rVert }$.

Por el contrario, ^{[ 16 ]} si una métrica d en un espacio vectorial X es

• invariante de traslación:${\displaystyle d(x,y)=d(x+a,y+a)}$para cada x , y y a en X ; y
• absolutamente homogéneo :${\displaystyle d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha |d(x,y)}$para cada x e y en X y número real α ;

entonces${\displaystyle \lVert x\rVert$ :=d(x,0)} es una norma inducida por la métrica. Una relación similar se da entre seminormas y pseudométricas .

Entre los ejemplos de métricas inducidas por una norma se encuentran las métricas d ₁ , d ₂ , y d _∞ en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, que son inducidas por la norma de Manhattan , la norma euclidiana y la norma máxima , respectivamente. De manera más general, la incrustación de Kuratowski permite ver cualquier espacio métrico como un subespacio de un espacio vectorial normado.

Los espacios vectoriales normados de dimensión infinita, en particular los espacios de funciones, se estudian en el análisis funcional . La completitud es especialmente importante en este contexto: un espacio vectorial normado completo se conoce como espacio de Banach . Una propiedad inusual de los espacios vectoriales normados es que las transformaciones lineales entre ellos son continuas si y solo si son Lipschitz. Dichas transformaciones se conocen como operadores acotados .

Una curva en un espacio métrico ( M , d ) es una función continua.${\displaystyle \gamma$ :[0,T]\to M} . La longitud de γ se mide por $${\displaystyle L(\gamma )=\sup _{0=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=T}\left\{\sum _{k=1}^{n}d(\gamma (x_{k-1}),\gamma (x_{k}))\right\}.}$$ En general, este supremo puede ser infinito; una curva de longitud finita se llama rectificable . ^{[ 17 ]} Supongamos que la longitud de la curva γ es igual a la distancia entre sus extremos, es decir, es el camino más corto posible entre sus extremos. Después de la reparametrización por longitud de arco, γ se convierte en una geodésica : una curva que es una función que conserva la distancia. ^{[ 15 ]} Una geodésica es el camino más corto posible entre dos cualesquiera de sus puntos. ^{[ c ]}

Un espacio métrico geodésico es un espacio métrico que admite una geodésica entre cualesquiera dos de sus puntos.${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$y${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$son ambos espacios métricos geodésicos. En${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{2})}$, las geodésicas son únicas, pero en${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$A menudo existen infinitas geodésicas entre dos puntos, como se muestra en la figura que aparece al principio del artículo.

El espacio M es un espacio de longitud (o la métrica d es intrínseca ) si la distancia entre dos puntos cualesquiera x e y es el ínfimo de las longitudes de los caminos que los unen. A diferencia de un espacio métrico geodésico, no es necesario alcanzar el ínfimo. Un ejemplo de un espacio de longitud que no es geodésico es el plano euclidiano menos el origen: los puntos (1, 0) y (-1, 0) pueden unirse mediante caminos de longitud arbitrariamente cercana a 2, pero no mediante un camino de longitud 2. Un ejemplo de un espacio métrico que no es un espacio de longitud lo proporciona la métrica de la línea recta en la esfera: la línea recta entre dos puntos que pasa por el centro de la Tierra es más corta que cualquier camino a lo largo de la superficie.

Dado cualquier espacio métrico ( M , d ) , se puede definir una nueva función de distancia intrínseca d _intrínseca en M estableciendo la distancia entre los puntos x e y como el ínfimo de las d longitudes de los caminos entre ellos. Por ejemplo, si d es la distancia en línea recta en la esfera, entonces d _intrínseca es la distancia del círculo máximo. Sin embargo, en algunos casos d _intrínseca puede tener valores infinitos. Por ejemplo, si M es el copo de nieve de Koch con la métrica de subespacio d inducida desde${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, entonces la distancia intrínseca resultante es infinita para cualquier par de puntos distintos.

Una variedad riemanniana es un espacio dotado de un tensor métrico riemanniano , que determina las longitudes de los vectores tangentes en cada punto. Esto puede entenderse como la definición de una noción de distancia infinitesimal. En particular, un camino diferenciable.${\displaystyle \gamma$ :[0,T]\to M} en una variedad riemanniana M tiene una longitud definida como la integral de la longitud del vector tangente a la trayectoria: $${\displaystyle L(\gamma )=\int _{0}^{T}|{\dot {\gamma }}(t)|dt.}$$ En una variedad riemanniana conexa, se define la distancia entre dos puntos como el ínfimo de las longitudes de los caminos suaves que los unen. Esta construcción se generaliza a otros tipos de métricas infinitesimales en variedades, como las métricas subriemannianas y de Finsler .

La métrica riemanniana está determinada unívocamente por la función de distancia; esto significa que, en principio, toda la información sobre una variedad riemanniana puede recuperarse a partir de su función de distancia. Una línea de investigación en geometría métrica consiste en encontrar formulaciones puramente métricas ( "sintéticas" ) de las propiedades de las variedades riemannianas. Por ejemplo, una variedad riemanniana es un espacio CAT( k ) (una condición sintética que depende exclusivamente de la métrica) si y solo si su curvatura seccional está acotada superiormente por k . ^{[ 20 ]} Así, los espacios CAT( k ) generalizan las cotas superiores de curvatura a espacios métricos generales.

El análisis real utiliza tanto la métrica como la${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y la medida de Lebesgue . Por lo tanto, las generalizaciones de muchas ideas del análisis residen naturalmente en espacios de medida métrica : espacios que tienen una medida y una métrica que son compatibles entre sí. Formalmente, un espacio de medida métrica es un espacio métrico equipado con una medida regular de Borel tal que cada bola tiene medida positiva. ^{[ 21 ]} Por ejemplo, los espacios euclidianos de dimensión n , y más generalmente las variedades riemannianas n -dimensionales, tienen naturalmente la estructura de un espacio de medida métrica, equipado con la medida de Lebesgue . Ciertos espacios métricos fractales como el triángulo de Sierpiński pueden equiparse con la medida de Hausdorff α-dimensional donde α es la dimensión de Hausdorff . En general, sin embargo, un espacio métrico puede no tener una elección "obvia" de medida.

Una aplicación de los espacios métricos con medida es la generalización de la noción de curvatura de Ricci más allá de las variedades riemannianas. Así como los espacios CAT( k ) y Alexandrov generalizan las cotas de curvatura seccional, los espacios RCD son una clase de espacios métricos con medida que generalizan las cotas inferiores de la curvatura de Ricci. ^{[ 22 ]}

AUn espacio métrico es discreto si su topología inducida es la topología discreta . Aunque muchos conceptos, como la completitud y la compacidad, no son interesantes para tales espacios, son, no obstante, objeto de estudio en varias ramas de las matemáticas. En particular,Los espacios métricos finitos (aquellos que tienen un número finito de puntos) se estudian en combinatoria y ciencias de la computación teórica . ^{[ 23 ]} Las incrustaciones en otros espacios métricos se estudian particularmente bien. Por ejemplo, no todo espacio métrico finito puede incrustarse isométricamente en un espacio euclidiano o en un espacio de Hilbert . Por otro lado, en el peor de los casos, la distorsión requerida (constante de bilipschitz) es solo logarítmica en el número de puntos. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Para cualquier grafo conexo no dirigido G , el conjunto V de vértices de G puede transformarse en un espacio métrico definiendo la distancia entre vértices x e y como la longitud del camino de arista más corto que los conecta. En teoría de grafos, esto también se denomina distancia del camino más corto o distancia geodésica. En teoría geométrica de grupos, esta construcción se aplica al grafo de Cayley de un grupo finitamente generado (típicamente infinito) , obteniendo la métrica de palabras . Salvo cuasisometría , la métrica de palabras depende únicamente del grupo y no del conjunto generador finito elegido. ^{[ 15 ]}

Un área de estudio importante en espacios métricos finitos es la incrustación de espacios métricos complejos en otros más simples, controlando la distorsión de las distancias. Esto resulta particularmente útil en informática y matemáticas discretas, donde los algoritmos suelen ser más eficientes en estructuras simples como las métricas de árbol.

Un resultado significativo en esta área es que cualquier espacio métrico finito puede incrustarse probabilísticamente en una métrica de árbol con una distorsión esperada de${\displaystyle O(\log n)}$, dónde${\displaystyle n}$es el número de puntos en el espacio métrico. ^{[ 26 ]}

Esta incrustación es notable porque logra el mejor límite asintótico posible en la distorsión, coincidiendo con el límite inferior de${\displaystyle \Omega (\log n)}$Las métricas de árbol generadas en esta incrustación predominan sobre las métricas originales, lo que significa que las distancias en el árbol son mayores o iguales que las del espacio original. Esta propiedad es particularmente útil para diseñar algoritmos de aproximación, ya que permite preservar las propiedades relacionadas con la distancia al tiempo que simplifica la estructura subyacente.

El resultado tiene implicaciones significativas para diversos problemas computacionales:

• Diseño de redes : Mejora los algoritmos de aproximación para problemas como el problema del árbol de Steiner grupal (una generalización del problema del árbol de Steiner ) y el diseño de redes de compra a granel (un problema en la planificación y el diseño de redes ) al simplificar el espacio métrico a una métrica de árbol.
• Agrupamiento : Mejora los algoritmos para problemas de agrupamiento donde el agrupamiento jerárquico se puede realizar de manera más eficiente en métricas de árbol.
• Algoritmos en línea : Benefician problemas como el problema del k-servidor y el sistema de tareas métricas al proporcionar mejores índices de competitividad mediante métricas simplificadas.

La técnica consiste en construir una descomposición jerárquica del espacio métrico original y convertirlo en una métrica de árbol mediante un algoritmo aleatorio.${\displaystyle O(\log n)}$La limitación de la distorsión ha dado lugar a mejores índices de aproximación en varios problemas algorítmicos, lo que demuestra la importancia práctica de este resultado teórico.

En matemáticas modernas, a menudo se estudian espacios cuyos puntos son, a su vez, objetos matemáticos. Una función de distancia en dicho espacio generalmente busca medir la disimilitud entre dos objetos. He aquí algunos ejemplos:

• Funciones a un espacio métrico. Si X es un conjunto cualquiera y M es un espacio métrico, entonces el conjunto de todas las funciones acotadas es...${\displaystyle f\colon X\to M}$(es decir, aquellas funciones cuya imagen es un subconjunto acotado de${\displaystyle M}$) se puede convertir en un espacio métrico definiendo la distancia entre dos funciones acotadas f y g como$${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in X}d(f(x),g(x)).}$$Esta métrica se denomina métrica uniforme o métrica suprema. ^{[ 27 ]} Si M es completo, entonces este espacio de funciones también es completo; además, si X es también un espacio topológico, entonces el subespacio que consta de todas las funciones continuas acotadas de X a M también es completo. Cuando X es un subespacio de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Este espacio de funciones se conoce como espacio de Wiener clásico .
• La distancia de edición de grafos es una medida de disimilitud entre dos grafos , definida como el número mínimo de operaciones de edición de grafos necesarias para transformar un grafo en otro.
• Las métricas de Wasserstein miden la distancia entre dos medidas en el mismo espacio métrico. La distancia de Wasserstein entre dos medidas es, en términos generales, el costo de transportar una a la otra.
• El conjunto de todas las matrices m por n sobre algún campo es un espacio métrico con respecto a la distancia de rango .${\displaystyle d(A,B)=\mathrm {rank} (B-A)}$.
• En teoría de juegos, la métrica de Helly mide la diferencia entre estrategias en un juego.

La idea de espacios de objetos matemáticos también puede aplicarse a subconjuntos de un espacio métrico, así como a los propios espacios métricos. Las distancias de Hausdorff y Gromov-Hausdorff definen métricas en el conjunto de subconjuntos compactos de un espacio métrico y en el conjunto de espacios métricos compactos, respectivamente.

Supongamos que ( M , d ) es un espacio métrico y sea S un subconjunto de M. La distancia de S a un punto x de M es, informalmente, la distancia de x al punto más cercano de S. Sin embargo, dado que puede que no haya un único punto más cercano, se define mediante un ínfimo : $${\displaystyle d(x,S)=\inf\{d(x,s):s\in S\}.}$$ En particular,${\displaystyle d(x,S)=0}$si y solo si x pertenece a la clausura de S. Además, las distancias entre puntos y conjuntos satisfacen una versión de la desigualdad triangular: $${\displaystyle d(x,S)\leq d(x,y)+d(y,S),}$$ y por lo tanto el mapa${\displaystyle d_{S}:M\to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle d_{S}(x)=d(x,S)}$es continua. Por cierto, esto demuestra que los espacios métricos son completamente regulares .

Dados dos subconjuntos S y T de M , su distancia de Hausdorff es $${\displaystyle d_{H}(S,T)=\max\{\sup\{d(s,T):s\in S\},\sup\{d(t,S):t\in T\}\}.}$$ De manera informal, dos conjuntos S y T están cerca el uno del otro en la distancia de Hausdorff si ningún elemento de S está demasiado lejos de T y viceversa. Por ejemplo, si S es un conjunto abierto en el espacio euclidiano y T es una ε-red dentro de S , entonces${\displaystyle d_{H}(S,T)<\varepsilon }$En general, la distancia de Hausdorff${\displaystyle d_{H}(S,T)}$puede ser infinito o cero. Sin embargo, la distancia de Hausdorff entre dos conjuntos compactos distintos siempre es positiva y finita. Por lo tanto, la distancia de Hausdorff define una métrica en el conjunto de subconjuntos compactos de M.

La métrica de Gromov-Hausdorff define una distancia entre (clases de isometría de) espacios métricos compactos. La distancia de Gromov-Hausdorff entre los espacios compactos X e Y es el ínfimo de la distancia de Hausdorff sobre todos los espacios métricos Z que contienen a X e Y como subespacios. Si bien el valor exacto de la distancia de Gromov-Hausdorff rara vez resulta útil, la topología resultante ha encontrado numerosas aplicaciones.

• Dado un espacio métrico ( X , d ) y una función cóncava creciente${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$tal que f ( t ) = 0 si y solo si t = 0 , entonces${\displaystyle d_{f}(x,y)=f(d(x,y))}$También es una métrica en X. Si f ( t ) = t ^α para algún número real α < 1 , dicha métrica se conoce como un copo de nieve de d . ^{[ 28 ]}
• El rango estrecho de un espacio métrico es otro espacio métrico que puede considerarse como una versión abstracta de la envoltura convexa .
• La métrica de movimientos del caballo , el número mínimo de movimientos del caballo para alcanzar un punto en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$de otro, es una métrica en${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$.
• La métrica de British Rail (también llamada "métrica de la oficina de correos" o " métrica ferroviaria francesa ") en un espacio vectorial normado viene dada por${\displaystyle d(x,y)=\lVert x\rVert +\lVert y\rVert }$para puntos distintos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, y${\displaystyle d(x,x)=0}$En términos más generales${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$puede ser reemplazado por una función${\displaystyle f}$tomando un conjunto arbitrario${\displaystyle S}$a reales no negativos y tomando el valor${\displaystyle 0}$como máximo una vez: entonces la métrica se define en${\displaystyle S}$por${\displaystyle d(x,y)=f(x)+f(y)}$para puntos distintos${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$, y${\displaystyle d(x,x)=0}$El nombre alude a la tendencia de los viajes en tren a pasar por Londres (o París) independientemente de su destino final .
• La métrica de Robinson-Foulds utilizada para calcular las distancias entre árboles filogenéticos en filogenética ^{[ 29 ]}

Si${\displaystyle (M_{1},d_{1}),\ldots ,(M_{n},d_{n})}$son espacios métricos, y N es la norma euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces${\displaystyle {\bigl (}M_{1}\times \cdots \times M_{n},d_{\times }{\bigr )}}$es un espacio métrico, donde la métrica del producto se define por $${\displaystyle d_{\times }{\bigl (}(x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\bigr )}=N{\bigl (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\bigr )},}$$ y la topología inducida coincide con la topología del producto . Mediante la equivalencia de normas en dimensiones finitas, se obtiene una métrica topológicamente equivalente si N es la norma del taxi , una p-norma , la norma máxima o cualquier otra norma que no sea decreciente a medida que aumentan las coordenadas de una n -tupla positiva (lo que da lugar a la desigualdad triangular).

De manera similar, se puede obtener una métrica en el producto topológico de una cantidad numerable de espacios métricos utilizando la métrica $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {d_{i}(x_{i},y_{i})}{1+d_{i}(x_{i},y_{i})}}.}$$

El producto topológico de una cantidad incontable de espacios métricos no tiene por qué ser metrizable. Por ejemplo, un producto incontable de copias de${\displaystyle \mathbb {R} }$no es numerable de primer orden y, por lo tanto, no es metrizable.

Si M es un espacio métrico con métrica d , y${\displaystyle \sim }$es una relación de equivalencia en M , entonces podemos dotar al conjunto cociente${\displaystyle M/{\sim }}$con una pseudométrica. La distancia entre dos clases de equivalencia${\displaystyle [x]}$y${\displaystyle [y]}$se define como $${\displaystyle d'([x],[y])=\inf\{d(p_{1},q_{1})+d(p_{2},q_{2})+\dotsb +d(p_{n},q_{n})\},}$$ donde el ínfimo se toma sobre todas las secuencias finitas${\displaystyle (p_{1},p_{2},\dots ,p_{n})}$y${\displaystyle (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}$con${\displaystyle p_{1}\sim x}$,${\displaystyle q_{n}\sim y}$,${\displaystyle q_{i}\sim p_{i+1},i=1,2,\dots ,n-1}$. ^{[ 30 ]} En general, esto solo definirá una pseudométrica , es decir,${\displaystyle d'([x],[y])=0}$no implica necesariamente${\displaystyle [x]=[y]}$. Sin embargo, para algunas relaciones de equivalencia (por ejemplo, las que se obtienen al pegar poliedros a lo largo de sus caras),${\displaystyle d'}$es una métrica.

La métrica del cociente${\displaystyle d'}$se caracteriza por la siguiente propiedad universal . Si${\displaystyle f\colon (M,d)\to (X,\delta )}$es una aplicación métrica (es decir, 1-Lipschitz) entre espacios métricos que satisface f ( x ) = f ( y ) siempre que${\displaystyle x\sim y}$, entonces la función inducida${\displaystyle {\overline {f}}\colon M/{\sim }\to X}$, dado por${\displaystyle {\overline {f}}([x])=f(x)}$es un mapa métrico${\displaystyle {\overline {f}}\colon (M/{\sim },d')\to (X,\delta ).}$

La métrica cociente no siempre induce la topología cociente . Por ejemplo, el cociente topológico del espacio métrico${\displaystyle \mathbb {N} \times [0,1]}$identificar todos los puntos de la forma${\displaystyle (n,0)}$no es metrizable ya que no es primeramente numerable , pero la métrica cociente es una métrica bien definida en el mismo conjunto que induce una topología más gruesa . Además, diferentes métricas en el espacio topológico original (una unión disjunta de un número numerable de intervalos) conducen a diferentes topologías en el cociente. ^{[ 31 ]}

Un espacio topológico es secuencial si y solo si es un cociente (topológico) de un espacio métrico. ^{[ 32 ]}

Algunos autores definen métricas de manera que la función de distancia d pueda alcanzar el valor ∞, es decir, las distancias son números no negativos en la recta numérica real extendida . ^{[ 4 ]} Dicha función también se denomina métrica extendida o "∞-métrica". Toda métrica extendida puede ser reemplazada por una métrica de valor real que sea topológicamente equivalente. Esto puede hacerse utilizando una función acotada, monótona y subaditiva que sea cero en cero, por ejemplo${\displaystyle d'(x,y)=d(x,y)/(1+d(x,y))}$o${\displaystyle d''(x,y)=\min(1,d(x,y))}$.

El requisito de que la métrica tome valores en${\displaystyle [0,\infty )}$se puede flexibilizar para considerar métricas con valores en otras estructuras, incluyendo:

• Campos ordenados , que dan lugar a la noción de una métrica generalizada .
• Conjuntos dirigidos más generales . En ausencia de una operación de suma, la desigualdad triangular no tiene sentido y se reemplaza por una desigualdad ultramétrica . Esto conduce a la noción de una ultramétrica generalizada . ^{[ 33 ]}

Estas generalizaciones aún inducen una estructura uniforme en el espacio.

Una pseudométrica en${\displaystyle X}$es una función${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$que satisface los axiomas para una métrica, excepto que en lugar del segundo (identidad de indiscernibles) solo${\displaystyle d(x,x)=0}$a pesar de${\displaystyle x}$es necesario. ^{[ 34 ]} En otras palabras, los axiomas para una pseudométrica son:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$.

En algunos contextos, las pseudométricas se denominan semimétricas ^{[ 35 ]} debido a su relación con las seminormas .

En ocasiones, una cuasimétrica se define como una función que satisface todos los axiomas de una métrica, con la posible excepción de la simetría. ^{[ 36 ]} El nombre de esta generalización no está completamente estandarizado. ^{[ 37 ]}

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

Las cuasimétricas son comunes en la vida real. Por ejemplo, dado un conjunto X de pueblos de montaña, los tiempos típicos de caminata entre los elementos de X forman una cuasimétrica, ya que el viaje cuesta arriba lleva más tiempo que el viaje cuesta abajo. Otro ejemplo es la duración de los viajes en coche en una ciudad con calles de sentido único: en este caso, el camino más corto del punto A al punto B discurre por un conjunto de calles diferente al del camino más corto del punto B al punto A , y puede tener una longitud diferente.

Una cuasimétrica en los reales se puede definir estableciendo $${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}x-y&{\text{if }}x\geq y,\\1&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$ El 1 puede ser reemplazado, por ejemplo, por infinito o por${\displaystyle 1+{\sqrt {y-x}}}$o cualquier otra función subaditiva de y - x . Esta cuasimétrica describe el costo de modificar una barra de metal: es fácil reducir su tamaño limándola , pero es difícil o imposible aumentarla.

Dado un cuasimétrico en X , se puede definir una R -bola alrededor de x como el conjunto${\displaystyle \{y\in X|d(x,y)\leq R\}}$. Como en el caso de una métrica, tales bolas forman una base para una topología en X , pero esta topología no tiene por qué ser metrizable. Por ejemplo, la topología inducida por la cuasimétrica en los reales descrita anteriormente es la línea de Sorgenfrey (invertida) .

En una metamétrica , se satisfacen todos los axiomas de una métrica, excepto que la distancia entre puntos idénticos no es necesariamente cero. En otras palabras, los axiomas de una metamétrica son:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\implies x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}$

La metametría aparece en el estudio de los espacios métricos hiperbólicos de Gromov y sus fronteras. La metametría visual en dicho espacio satisface${\displaystyle d(x,x)=0}$por puntos${\displaystyle x}$en el límite, pero por lo demás${\displaystyle d(x,x)}$es aproximadamente la distancia desde${\displaystyle x}$hasta el límite. Las metamétricas fueron definidas por primera vez por Jussi Väisälä. ^{[ 38 ]} En otros trabajos, una función que satisface estos axiomas se denomina métrica parcial ^{[ 39 ] [ 40 ]} o métrica dislocada . ^{[ 34 ]}

Una semimétrica en${\displaystyle X}$es una función${\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} }$que satisface los tres primeros axiomas, pero no necesariamente la desigualdad triangular:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$

Algunos autores trabajan con una forma más débil de la desigualdad triangular, como por ejemplo:

La desigualdad ρ-inframétrica implica la desigualdad triangular ρ-relajada (suponiendo el primer axioma), y la desigualdad triangular ρ-relajada implica la desigualdad 2ρ-inframétrica. Las semimétricas que satisfacen estas condiciones equivalentes se han denominado a veces cuasimétricas , ^{[ 41 ]} casimétricas ^{[ 42 ]} o inframétricas . ^{[ 43 ]}

Las desigualdades ρ-inframétricas se introdujeron para modelar los tiempos de retardo de ida y vuelta en Internet . ^{[ 43 ]} La desigualdad triangular implica la desigualdad 2-inframétrica, y la desigualdad ultramétrica es exactamente la desigualdad 1-inframétrica.

Al relajar los últimos tres axiomas, se llega a la noción de una premétrica , es decir, una función que satisface las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$
2. ${\displaystyle d(x,x)=0}$

Este no es un término estándar. A veces se usa para referirse a otras generalizaciones de métricas, como pseudosemimétricas ^{[ 44 ]} o pseudométricas ^{[ 45 ]} ; en traducciones de libros rusos a veces aparece como "premétrica" ^{​​[ 46 ]} . Una premétrica que satisface la simetría, es decir, una pseudosemimétrica, también se llama distancia ^{[ 47 ] .}

Cualquier premétrica da lugar a una topología como la siguiente. Para un número real positivo${\displaystyle r}$, el${\displaystyle r}$-bola centrada en un punto${\displaystyle p}$se define como

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x|d(x,p)<r\}.}$

Un conjunto se llama abierto si para cualquier punto${\displaystyle p}$en el conjunto hay un${\displaystyle r}$-bola centrada en${\displaystyle p}$que está contenido en el conjunto. Todo espacio premétrico es un espacio topológico y, de hecho, un espacio secuencial . En general, el${\displaystyle r}$-las bolas en sí mismas no tienen por qué ser conjuntos abiertos con respecto a esta topología. En cuanto a las métricas, la distancia entre dos conjuntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$, se define como

${\displaystyle d(A,B)={\underset {x\in A,y\in B}{\inf }}d(x,y).}$

Esto define una premétrica en el conjunto potencia de un espacio premétrico. Si partimos de un espacio (pseudosemi)métrico, obtenemos una pseudosemimétrica, es decir, una premétrica simétrica. Cualquier premétrica da lugar a un operador de precierre.${\displaystyle cl}$como sigue:

${\displaystyle cl(A)=\{x|d(x,A)=0\}.}$

Los prefijos pseudo- , cuasi- y semi- también se pueden combinar, por ejemplo, un espacio pseudocuasimétrico (a veces llamado hemimétrico ) relaja tanto el axioma de indiscernibilidad como el axioma de simetría y es simplemente un espacio premétrico que satisface la desigualdad triangular. Para espacios pseudocuasimétricos, el espacio abierto${\displaystyle r}$Las bolas forman una base de conjuntos abiertos. Un ejemplo muy básico de un espacio pseudocuasimétrico es el conjunto${\displaystyle \{0,1\}}$con la premétrica dada por${\displaystyle d(0,1)=1}$y${\displaystyle d(1,0)=0.}$El espacio topológico asociado es el espacio de Sierpiński .

Los conjuntos equipados con una pseudocuasimetría extendida fueron estudiados por William Lawvere como "espacios métricos generalizados". ^{[ 48 ]} Desde un punto de vista categórico, los espacios pseudométricos extendidos y los espacios pseudocuasimétricos extendidos, junto con sus correspondientes aplicaciones no expansivas, son las categorías de espacios métricos mejor comportadas . Se pueden tomar productos y coproductos arbitrarios y formar objetos cociente dentro de la categoría dada. Si se omite "extendido", solo se pueden tomar productos y coproductos finitos. Si se omite "pseudo", no se pueden tomar cocientes.

Lawvere también dio una definición alternativa de tales espacios como categorías enriquecidas . El conjunto ordenado${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$puede verse como una categoría con un morfismo${\displaystyle a\to b}$si${\displaystyle a\geq b}$y ninguna otra. Usando + como producto tensorial y 0 como identidad , esta categoría se convierte en una categoría monoidal.${\displaystyle R^{*}}$. Todo espacio (pseudocuasi-)métrico extendido${\displaystyle (M,d)}$ahora puede verse como una categoría${\displaystyle M^{*}}$enriquecido con${\displaystyle R^{*}}$:

• Los objetos de la categoría son los puntos de M.
• Para cada par de puntos x e y tales que${\displaystyle d(x,y)<\infty }$, hay un único morfismo al que se le asigna el objeto${\displaystyle d(x,y)}$de${\displaystyle R^{*}}$.
• La desigualdad triangular y el hecho de que${\displaystyle d(x,x)=0}$para todos los puntos x derivan de las propiedades de composición e identidad en una categoría enriquecida.
• Desde${\displaystyle R^{*}}$es un poset, todos los diagramas que se requieren para una categoría enriquecida conmutan automáticamente.

La noción de métrica puede generalizarse desde la distancia entre dos elementos hasta un número asignado a un multiconjunto de elementos. Un multiconjunto es una generalización de la noción de conjunto en la que un elemento puede aparecer más de una vez. Defina la unión de multiconjuntos.${\displaystyle U=XY}$de la siguiente manera: si un elemento x aparece m veces en X y n veces en Y , entonces aparece m + n veces en U. Una función d en el conjunto de multiconjuntos finitos no vacíos de elementos de un conjunto M es una métrica ^{[ 49 ]} si

1. ${\displaystyle d(X)=0}$si todos los elementos de X son iguales y${\displaystyle d(X)>0}$de lo contrario ( definición positiva )
2. ${\displaystyle d(X)}$depende únicamente del multiconjunto (no ordenado) X ( simetría )
3. ${\displaystyle d(XY)\leq d(XZ)+d(ZY)}$( desigualdad triangular )

Al considerar los casos de los axiomas 1 y 2, en los que el multiconjunto X tiene dos elementos, y el caso del axioma 3, en el que los multiconjuntos X , Y y Z tienen un elemento cada uno, se recuperan los axiomas usuales para una métrica. Es decir, toda métrica de multiconjunto produce una métrica ordinaria cuando se restringe a conjuntos de dos elementos.

Un ejemplo sencillo es el conjunto de todos los multiconjuntos finitos no vacíos.${\displaystyle X}$de enteros con${\displaystyle d(X)=\max(X)-\min(X)}$Ejemplos más complejos son la distancia de información en multiconjuntos; ^{[ 49 ]} y la distancia de compresión normalizada (NCD) en multiconjuntos. ^{[ 50 ]}