Funciones y secuencias absolutamente y completamente monótonas

Una función de valor real${\displaystyle f(x)}$definido sobre un intervalo${\displaystyle I}$En la recta real, una función se denomina absolutamente monótona si tiene derivadas.${\displaystyle f^{(n)}(x)}$de todos los pedidos${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$y${\displaystyle f^{(n)}(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle I}$. ^{[ 1 ]} La función${\displaystyle f(x)}$se denomina función completamente monótona si${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle x}$en${\displaystyle I}$. ^{[ 1 ]}

Las dos nociones están relacionadas entre sí. La función${\displaystyle f(x)}$es completamente monótono si y solo si${\displaystyle f(-x)}$ es absolutamente monótono en ${\displaystyle -I}$dónde${\displaystyle -I}$el intervalo obtenido al reflejar${\displaystyle I}$con respecto al origen. (Por lo tanto, si${\displaystyle I}$es el intervalo${\displaystyle (a,b)}$entonces${\displaystyle -I}$es el intervalo${\displaystyle (-b,-a)}$.)

En las aplicaciones, el intervalo en la recta real que se suele considerar es la mitad derecha cerrada-abierta de la recta real, es decir, el intervalo${\displaystyle [0,\infty )}$.

A veces, especialmente al definir funciones completamente monótonas en semigrupos , ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} se definen como funciones${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle \nabla _{a_{1}}\ldots \nabla _{a_{n}}f\geq 0}$para todas las secuencias${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\geq 0}$a pesar de${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$dónde${\displaystyle \nabla _{a}}$es el operador de diferencias finitas definido por${\displaystyle (\nabla _{a}f)(x)=f(x)-f(x+a)}$.

Las siguientes funciones son absolutamente monótonas en las regiones especificadas. ^{[ 11 ] : 142–143}

1. ${\displaystyle f(x)=c}$, dónde${\displaystyle c}$una constante no negativa, en la región${\displaystyle -\infty <x<\infty }$
2. ${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$, dónde${\displaystyle a_{k}\geq 0}$a pesar de${\displaystyle k}$, en la región${\displaystyle 0\leq x<\infty }$
3. ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$en la región${\displaystyle -\infty <x<\infty }$
4. ${\displaystyle f(x)=-\log(-x)}$en la región${\displaystyle -1\leq x<0}$
5. ${\displaystyle f(x)=\sin ^{-1}x}$en la región${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$

Las siguientes funciones son completamente monótonas en [ 0,∞)

1. ${\displaystyle f(x)=c}$para${\displaystyle c\geq 0}$
2. ${\displaystyle f(x)=e^{-tx}}$para${\displaystyle t\geq 0}$
3. ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{-\beta }}$para${\displaystyle \beta \geq 0}$
4. ${\displaystyle f(x)=\log(1+1/x)}$porque es la transformada de Laplace de${\displaystyle (1-\exp(-t))/t\geq 0}$

Las siguientes combinaciones de funciones completamente y absolutamente monótonas son completamente monótonas: ^{[ 12 ]}

• combinación lineal no negativa de funciones completamente monótonas
• producto de funciones completamente monótonas
• ${\displaystyle f\circ g}$dónde${\displaystyle f}$es absolutamente monótono y${\displaystyle g}$es completamente monótono
• ${\displaystyle f\circ g}$dónde${\displaystyle f}$es completamente monótono y${\displaystyle g}$es una función de Bernstein (${\displaystyle g\geq 0}$y su derivado${\displaystyle g'}$es completamente monótono)

La diferencia hacia adelante${\displaystyle f(x)-f(x+b)}$para${\displaystyle b\geq 0}$de una función completamente monótona${\displaystyle f}$es completamente monótono (ya que${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}}$es una función decreciente para todo${\displaystyle n\geq 0}$).

Si${\displaystyle f}$es completamente monótono en${\displaystyle [x-a,x]}$con${\displaystyle a>0}$, podemos usar el teorema de Taylor con el resto de Lagrange

${\displaystyle f(x-a)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}f^{(k)}(x)}{k!}}a^{k}+{\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(\xi )}{n!}}a^{n}\geq {\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(x)}{n!}}a^{n}}$

dónde${\displaystyle x-a\leq \xi \leq x}$y hemos utilizado eso${\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(x)\geq 0}$a pesar de${\displaystyle k}$y${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}}$está disminuyendo. De esto obtenemos el límite superior.

${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\leq {\frac {n!}{a^{n}}}f(x-a)}$

Como consecuencia, los coeficientes${\displaystyle c_{n}}$de la serie Taylor de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$verificar${\displaystyle |c_{n}|=|f^{(n)}(x)|/n!\leq f(x-a)\,a^{-n}}$y aplicando el teorema de Cauchy-Hadamard encontramos que el radio de convergencia de la serie de Taylor en${\displaystyle x}$es al menos${\displaystyle a}$.

Si${\displaystyle f}$es completamente monótono en${\displaystyle [x,x+b]}$con${\displaystyle b>0}$, entonces podemos escribir${\displaystyle f(x+b)=P_{n}(b)+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}b^{n+1}}$dónde${\displaystyle P_{n}}$es el polinomio de Taylor de orden${\displaystyle n}$de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$y${\displaystyle x\leq \xi \leq x+b}$y puesto que el signo de${\displaystyle f^{(n)}(\xi )}$depende de la paridad de${\displaystyle n}$, para todos${\displaystyle k\geq 0}$tenemos ^{[ 13 ]}

${\displaystyle P_{2k+1}(b)\leq f(x+b)\leq P_{2k}(b)}$

Esto implica entonces que${\displaystyle f}$es analítico en${\displaystyle [x,x+R)}$dónde${\displaystyle R}$es el radio de convergencia de la serie de Taylor de${\displaystyle f}$en${\displaystyle x}$y si tenemos${\displaystyle R>0}$.

A partir de los resultados anteriores sobre el radio de convergencia de la serie de Taylor y sobre la analiticidad de una función completamente monótona, podemos deducir el siguiente resultado, a veces llamado el pequeño teorema de Bernstein.

Una función que es completamente monótona en el intervalo abierto.${\displaystyle (a,b)}$puede extenderse a una función analítica en el disco abierto en el plano complejo definido por${\displaystyle |z-b|<b-a}$y esta función será completamente monótona en el intervalo${\displaystyle (a,b]}$De ello se deduce que si una función es completamente monótona en${\displaystyle (a,\infty )}$Entonces se puede extender a una función analítica en el semiplano complejo.${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>a}$y si es completamente monótono en${\displaystyle (-\infty ,b)}$Entonces se puede extender a una función que sea analítica en todo el plano complejo.

Se obtienen resultados similares para cualquier función absolutamente monótona.${\displaystyle f}$, como su reverso${\displaystyle f(-x)}$es completamente monótona. Una función que es absolutamente monótona en el intervalo abierto.${\displaystyle (a,b)}$puede extenderse a una función analítica en el disco abierto en el plano complejo definido por${\displaystyle |z-a|<b-a}$y esta función será absolutamente monótona en el intervalo${\displaystyle [a,b)}$. ^{[ 11 ] [ 14 ]} De ello se deduce que si una función es absolutamente monótona en${\displaystyle (-\infty ,b)}$Entonces se puede extender a una función analítica en el semiplano complejo.${\displaystyle \operatorname {Re} (z)<b}$y si es absolutamente monótono en${\displaystyle (a,\infty )}$Entonces se puede extender a una función que sea analítica en todo el plano complejo.

El conjunto de funciones completamente monótonas en${\displaystyle (0,\infty )}$de tal manera que${\displaystyle f\leq 1}$es un subconjunto compacto de${\displaystyle C^{\infty }(0,\infty )}$para la topología de Fréchet habitual .

Teorema de Bernstein sobre funciones monótonas : Una función${\displaystyle f(x)}$que es completamente monótono en${\displaystyle [0,\infty )}$allí se puede representar como una integral de Laplace en la forma

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-xt}\,d\mu (t)}$

dónde${\displaystyle \mu (t)}$es no decreciente y acotada en${\displaystyle [0,\infty )}$.

A partir de la representación de la transformada de Laplace obtenemos

${\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-xt}\,d\mu (t)}$

y luego podemos usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a las funciones${\displaystyle t^{(n-1)/2}}$y${\displaystyle t^{(n+1)/2}}$con peso${\displaystyle e^{-xt}\,d\mu (t)}$Llegar

${\displaystyle (f^{(n)}(x))^{2}\leq f^{(n-1)}(x)f^{(n+1)}(x)}$

Esto significa que por cada${\displaystyle x}$la secuencia${\displaystyle f^{(n)}(x)}$para${\displaystyle n\geq 0}$es log-convexa. También significa que para cada${\displaystyle n}$la función${\displaystyle f^{(n)}}$es log-convexa porque${\displaystyle (\log f^{(n)})''=(f^{(n)}f^{(n+2)}-(f^{(n+1)})^{2})/(f^{(n)})^{2}\geq 0}$.

Se pueden encontrar desigualdades más generales basadas en la noción de Schur-convexidad . ^{[ 15 ] [ 16 ]}

En relación con lo anterior, las funciones de Bernstein se definen como aquellas que no son negativas y cuya derivada es completamente monótona.

Las siguientes funciones son funciones de Bernstein.

1. ${\displaystyle f(x)=x^{\beta }}$para${\displaystyle \beta \in [0,1]}$
2. ${\displaystyle f(x)=\log(1+x)}$
3. ${\displaystyle f(x)=x/(1+x)}$
4. ${\displaystyle f(x)=1-e^{-tx}}$para${\displaystyle t\geq 0}$

Cada función de Bernstein tiene la siguiente representación:

${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$

dónde${\displaystyle a,b\geq 0}$y${\displaystyle \mu }$es una medida en la semirrecta real positiva tal que

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .}$

Una secuencia${\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}$Se denomina secuencia absolutamente monótona si sus elementos son no negativos y sus diferencias sucesivas son todas no negativas, es decir, si

${\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }$

dónde${\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}\mu _{n+k-m}}$.

Una secuencia${\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}$Se denomina secuencia completamente monótona si sus elementos son no negativos y sus diferencias sucesivas son alternativamente no positivas y no negativas, ^{[ 11 ] : 101} es decir, si

${\displaystyle (-1)^{k}\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }$

Las secuencias${\displaystyle \left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}_{0}^{\infty }}$y${\displaystyle \{c^{n}\}_{0}^{\infty }}$para${\displaystyle 0\leq c\leq 1}$son secuencias completamente monótonas.

Una secuencia${\displaystyle \{\mu _{n}\}_{0}^{\infty }}$es completamente monótona si y solo si existe una función creciente${\displaystyle \alpha (t)}$en${\displaystyle [0,1]}$de tal manera que

${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\,d\alpha (t),\quad n=0,1,2,\ldots }$

La determinación de esta función a partir de la secuencia se conoce como el problema de los momentos de Hausdorff .