Mapa completamente positivo

En matemáticas, una aplicación positiva es una aplicación entre C*-álgebras que asigna elementos positivos a elementos positivos. Una aplicación completamente positiva es aquella que satisface una condición más estricta y robusta.

Dejar${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$ser C*-álgebras . Un mapeo lineal${\displaystyle \phi :A\to B}$se denomina mapa positivo si${\displaystyle \phi }$asigna elementos positivos a elementos positivos:${\displaystyle a\geq 0\implica \phi (a)\geq 0}$.

Cualquier mapa lineal${\displaystyle \phi :A\to B}$induce otro mapa

${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi$ :\mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A\to \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes B}

de forma natural. Si${\displaystyle \mathbb {C} ^{k\times k}\otimes A}$se identifica con el álgebra C*${\displaystyle A^{k\times k}}$de${\displaystyle k\times k}$-matrices con entradas en${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle {\textrm {id}}\otimes \phi }$actúa como

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1k}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{k1}&\cdots &a_{kk}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\phi (a_{11})&\cdots &\phi (a_{1k})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\phi (a_{k1})&\cdots &\phi (a_{kk})\end{pmatrix}}.}$

Entonces decimos${\displaystyle \phi }$es k-positivo si${\displaystyle {\textrm {id}}_{\mathbb {C} ^{k\times k}}\otimes \phi }$es un mapa positivo y completamente positivo si${\displaystyle \phi }$es k-positivo para todo k.

• Los mapas positivos son monótonos, es decir${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\implies \phi (a_{1})\leq \phi (a_{2})}$para todos los elementos autoadjuntos${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A_{sa}}$.
• Desde${\displaystyle -\|a\|_{A}1_{A}\leq a\leq \|a\|_{A}1_{A}}$para todos los elementos autoadjuntos${\displaystyle a\in A_{sa}}$, cada aplicación positiva es automáticamente continua con respecto a las normas C* y su norma de operador es igual a${\displaystyle \|\phi (1_ {A}) \|_ {B}}$Una afirmación similar, con unidades aproximadas, es válida para álgebras no unitarias.
• El conjunto de funcionales positivos${\displaystyle \to \mathbb {C} }$es el cono dual del cono de elementos positivos de${\displaystyle A}$.

• Todo homomorfismo *- es completamente positivo. ^{[ 1 ]}
• Para cada operador lineal${\displaystyle V:H_{1}\a H_{2}}$entre espacios de Hilbert, el mapa${\displaystyle L(H_{1})\to L(H_{2}),\ A\mapsto VAV^{\ast }}$es completamente positivo. ^{[ 2 ]} El teorema de Stinespring dice que todos los mapas completamente positivos son composiciones de *-homomorfismos y estos mapas especiales.
• Cada función positiva${\displaystyle \phi :A\to \mathbb {C} }$(en particular, cada estado ) es automáticamente completamente positivo.
• Dadas las álgebras${\displaystyle C(X)}$y${\displaystyle C(Y)}$de funciones continuas de valor complejo en espacios compactos de Hausdorff${\displaystyle X,Y}$, cada mapa positivo${\displaystyle C(X)\to C(Y)}$es completamente positivo.
• La transposición de matrices es un ejemplo estándar de una aplicación positiva que no es 2-positiva. Sea T esta aplicación en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n\times n}}$. La siguiente es una matriz positiva en${\displaystyle \mathbb {C} ^{2\times 2}\otimes \mathbb {C} ^{2\times 2}}$:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\\\end{bmatrix}}.}$$La imagen de esta matriz bajo${\displaystyle I_{2}\otimes T}$es$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}^{T}\\{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}^{T}&{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}^{T}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},}$$lo cual claramente no es positivo, ya que tiene determinante −1. Además, los valores propios de esta matriz son 1, 1, 1 y −1. (De hecho, esta matriz es la matriz de Choi de T ).
  Por cierto, se dice que un mapa Φ es copositivo si la composición Φ${\displaystyle \circ }$T es positivo. El mapa de transposición en sí mismo es un mapa copositivo.

• Teorema de Choi sobre mapas completamente positivos