Teoría de la cohomología orientada a complejos

En topología algebraica , una teoría de cohomología compleja-orientable es una teoría de cohomología multiplicativa E tal que el mapa de restricción${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })\to E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})}$es sobreyectivo. Un elemento de${\displaystyle E^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })}$que se restringe al generador canónico de la teoría reducida${\displaystyle {\widetilde {E}}^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1})}$Se denomina orientación compleja . Esta noción es fundamental en el trabajo de Quillen , que relaciona la cohomología con las leyes formales de grupo .

Si${\displaystyle E}$es una teoría de grado uniforme que significa${\displaystyle \pi _{3}E=\pi _{5}E=\cdots =0}$, entonces${\displaystyle E}$es orientable complejo. Esto se deduce de la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch .

Ejemplos:

• Una cohomología ordinaria con cualquier anillo de coeficientes R es orientable compleja, como${\displaystyle \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty };R)\simeq \operatorname {H} ^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{1};R)}$.
• La teoría K compleja , denotada KU , es orientable en sentido complejo, ya que es graduada en sentido par. ( Teorema de periodicidad de Bott )
• El cobordismo complejo , cuyo espectro se denota por MU, es orientable de forma compleja.

Una orientación compleja, llamémosla t , da lugar a una ley de grupo formal como sigue: sea m la multiplicación

${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty },([x],[y])\mapsto [xy]}$

dónde${\displaystyle [x]}$denota una línea que pasa por x en el espacio vectorial subyacente.${\displaystyle \mathbb {C} [t]}$de${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$. Este es el mapa que clasifica el producto tensorial del fibrado lineal universal sobre${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }}$Visualización

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})=\varprojlim R[t]/(t^{n+1})=R[\![t]\!],\quad R=\pi _{*}E}$,

dejar${\displaystyle f=m^{*}(t)}$ser el retroceso de t a lo largo de m . Vive en

${\displaystyle E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty }\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{\infty })=\varprojlim E^{*}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\times \mathbb {C} \mathbf {P} ^{m})=\varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1})=R[\![x,y]\!]}$

y se puede demostrar, utilizando propiedades del producto tensorial de haces de líneas, que se trata de una ley de grupo formal (por ejemplo, satisface la asociatividad).

• teoría de la homotopía cromática

• M. Hopkins , Teoría de la cohomología orientada compleja y el lenguaje de las pilas
• J. Lurie , Teoría de la homotopía cromática (252x)