Función holomorfa

En matemáticas , una función holomorfa es una función de valores complejos de una o más variables complejas que es diferenciable en el sentido complejo en un entorno de cada punto de un dominio en el espacio de coordenadas complejas .${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$La existencia de una derivada compleja en un entorno es una condición muy fuerte: implica que una función holomorfa es infinitamente diferenciable y localmente igual a su propia serie de Taylor (es analítica ). Las funciones holomorfas son los objetos centrales de estudio en el análisis complejo .

Aunque el término «función analítica » se usa a menudo indistintamente con «función holomorfa», la palabra «analítica» se define en un sentido más amplio para denotar cualquier función (real, compleja o de tipo más general) que pueda escribirse como una serie de potencias convergente en un entorno de cada punto de su dominio . Que todas las funciones holomorfas son funciones analíticas complejas, y viceversa, es un teorema fundamental del análisis complejo . ^{[ 1 ]}

Las funciones holomorfas también se denominan a veces funciones regulares . ^{[ 2 ]} Una función holomorfa cuyo dominio es todo el plano complejo se denomina función entera . La frase "holomorfa en un punto ⁠${\displaystyle z_{0}}$⁠ " significa no solo diferenciable en ⁠${\displaystyle z_{0}}$⁠ , pero diferenciable en todas partes dentro de algún entorno cercano de ⁠${\displaystyle z_{0}}$en el plano complejo.

Dada una función de valor complejo${\displaystyle f}$de una sola variable compleja, la derivada de${\displaystyle f}$en un punto${\displaystyle z_{0}}$⁠ en su dominio se define como el límite ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

Esta es la misma definición que para la derivada de una función real , excepto que todas las cantidades son complejas. En particular, el límite se toma como el número complejo ⁠${\displaystyle z}$⁠ tiende a ⁠${\displaystyle z_{0}}$⁠ , y esto significa que se obtiene el mismo valor para cualquier secuencia de valores complejos para ⁠${\displaystyle z}$que tiende a${\displaystyle z_{0}}$⁠ . Si el límite existe, ⁠${\displaystyle f}$Se dice que es diferenciable compleja en${\displaystyle z_{0}}$Este concepto de diferenciabilidad compleja comparte varias propiedades con la diferenciabilidad real : es lineal y obedece la regla del producto , la regla del cociente y la regla de la cadena . ^{[ 4 ]}

Una función es holomorfa en un conjunto abierto .${\displaystyle U}$⁠ si es diferenciable compleja en cada punto de ⁠${\displaystyle U}$⁠ . Una función ⁠${\displaystyle f}$es holomorfa enun punto${\displaystyle z_{0}}$⁠ si es holomorfa en algún entorno de ⁠${\displaystyle z_{0}}$⁠ . ^{[ 5 ]} Una función es holomorfa en algún conjunto no abierto ⁠${\displaystyle A}$⁠ si es holomorfa en cada punto de ⁠${\displaystyle A}$⁠ .

Una función puede ser diferenciable compleja en un punto pero no holomorfa en ese punto. Por ejemplo, la función ⁠${\displaystyle \textstyle f(z)=\vert z\vert {\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}$es diferenciable compleja en${\displaystyle 0}$⁠ , pero no es diferenciable de forma compleja en ningún otro lugar, especialmente incluyendo en ningún lugar cercano a ⁠${\displaystyle 0}$( véanse las ecuaciones de Cauchy-Riemann, más abajo). Por lo tanto, no esholomorfa en${\displaystyle 0}$⁠ .

La relación entre la diferenciabilidad real y la diferenciabilidad compleja es la siguiente: Si una función compleja${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$Si es holomorfo, entonces${\displaystyle u}$y​​${\displaystyle v}$⁠ tienen primeras derivadas parciales con respecto a ⁠${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$⁠ , y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann : ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}$

o, equivalentemente, el derivado de Wirtinger de ⁠${\displaystyle f}$con respecto a${\displaystyle {\bar {z}}}$⁠ , el conjugado complejo de ⁠${\displaystyle z}$⁠ , es cero: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}$

lo que quiere decir que, aproximadamente ,${\displaystyle f}$es funcionalmente independiente de${\displaystyle {\bar {z}}}$⁠ , el conjugado complejo de ⁠${\displaystyle z}$⁠ .

Si no se da continuidad, el recíproco no es necesariamente cierto. Un recíproco simple es que si ⁠${\displaystyle u}$y​​${\displaystyle v}$Si tienen derivadas parciales primeras continuas y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces${\displaystyle f}$es holomorfa. Un recíproco más satisfactorio, que es mucho más difícil de demostrar, es el teorema de Looman-Menchoff : si${\displaystyle f}$es continuo ,${\displaystyle u}$y​​${\displaystyle v}$Si tienen primeras derivadas parciales (pero no necesariamente continuas) y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, entonces${\displaystyle f}$es holomorfo. ^{[ 8 ]}

Una consecuencia útil inmediata de las ecuaciones de Cauchy-Riemann anteriores es que la derivada compleja puede definirse explícitamente en términos de derivadas parciales reales. Si${\displaystyle f(z)}$es una función compleja que es diferenciable en sentido complejo respecto a un punto${\displaystyle z=x+iy}$⁠ entonces (como hicimos anteriormente en el artículo) podemos escribir ⁠${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$y entonces la derivada compleja de la función se puede escribir como${\displaystyle f'(z)={\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}}$⁠ . ^{[ 9 ]}

El término holomorfo fue introducido en 1875 por Charles Briot y Jean-Claude Bouquet , dos de los alumnos de Augustin-Louis Cauchy , y deriva del griego ὅλος ( hólos ), que significa "entero", y μορφή ( morphḗ ), que significa "forma", "apariencia" o "tipo", en contraste con el término meromorfo, derivado de μέρος ( méros ), que significa "parte". Una función holomorfa se asemeja a una función entera ("entero") en un dominio del plano complejo, mientras que una función meromorfa (definida como holomorfa excepto en ciertos polos aislados ) se asemeja a una fracción racional ("parte") de funciones enteras en un dominio del plano complejo. ^{[ 10 ]} Cauchy había utilizado en cambio el término sinéctico . ^{[ 11 ]}

Actualmente, a veces se prefiere el término «función holomorfa» al de «función analítica». Un resultado importante en el análisis complejo es que toda función holomorfa es analítica compleja, un hecho que no se deduce directamente de las definiciones. Sin embargo, el término «analítica» también se usa ampliamente.

Debido a que la diferenciación compleja es lineal y obedece las reglas del producto, del cociente y de la cadena, las sumas, productos y composiciones de funciones holomorfas son holomorfas, y el cociente de dos funciones holomorfas es holomorfo siempre que el denominador no sea cero. ^{[ 12 ]} Es decir, si las funciones${\displaystyle f}$y​​${\displaystyle g}$son holomorfos en un dominio${\displaystyle U}$⁠ , entonces también lo son ⁠${\displaystyle f+g}$,​​${\displaystyle f-g}$,​​${\displaystyle fg}$y​​${\displaystyle f\circ g}$⁠ . Además, ⁠${\displaystyle f/g}$es holomorfa si${\displaystyle g}$⁠ no tiene ceros en ⁠${\displaystyle U}$⁠ ; de lo contrario es meromorfo .

Si uno identifica${\displaystyle \mathbb {C} }$con el avión real${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$⁠ , entonces las funciones holomorfas coinciden con aquellas funciones de dos variables reales con derivadas primeras continuas que resuelven las ecuaciones de Cauchy-Riemann , un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales . ^{[ 6 ]}

Toda función holomorfa puede separarse en sus partes real e imaginaria .${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$⁠ , y cada una de ellas es una función armónica en ⁠${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}$( cada una satisface la ecuación de Laplace )${\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}$) , con${\displaystyle v}$⁠ el conjugado armónico de ⁠${\displaystyle u}$⁠ . ^{[ 13 ]} Por el contrario, toda función armónica ⁠${\displaystyle u(x,y)}$en un dominio simplemente conexo${\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$⁠ es la parte real de una función holomorfa: Si ⁠${\displaystyle v}$⁠ es el conjugado armónico de ⁠${\displaystyle u}$⁠ , único salvo una constante, entonces ⁠${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}$es holomorfo.

El teorema integral de Cauchy implica que la integral de contorno de toda función holomorfa a lo largo de un lazo se anula: ^{[ 14 ]}

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}$

Aquí​${\displaystyle \gamma }$es un camino rectificable en un dominio complejo simplemente conexo${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$cuyo punto de inicio es igual a su punto final, y${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$es una función holomorfa.

La fórmula integral de Cauchy establece que toda función holomorfa dentro de un disco está completamente determinada por sus valores en el límite del disco. ^{[ 14 ]} Además: Supongamos que${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$es un dominio complejo ,${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$es una función holomorfa y el disco cerrado${\displaystyle D\equiv \{z:\vert z-z_{0}\vert \leq r\}}$está completamente contenido en​${\displaystyle U}$⁠ . Deja ⁠${\displaystyle \gamma }$⁠ sea el círculo que forma el límite de ⁠${\displaystyle D}$⁠ . Entonces, por cada ⁠${\displaystyle a}$en el interior de​${\displaystyle D}$:​

${\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}$

donde la integral de contorno se toma en sentido contrario a las agujas del reloj .

La derivada${\displaystyle {f'}(a)}$⁠ se puede escribir como una integral de contorno ^{[ 14 ]} usando la fórmula de diferenciación de Cauchy :

${\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}$

para cualquier bucle simple que se enrolla positivamente una vez alrededor${\displaystyle a}$y​

${\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}$

para bucles positivos infinitesimales${\displaystyle \gamma }$alrededor​​${\displaystyle a}$⁠ .

En regiones donde la primera derivada no es cero, las funciones holomorfas son conformes : conservan los ángulos y la forma (pero no el tamaño) de las figuras pequeñas. ^{[ 15 ]}

Toda función holomorfa es analítica . Es decir, una función holomorfa ⁠${\displaystyle f}$Tiene derivadas de cada orden en cada punto .${\displaystyle a}$⁠ en su dominio, y coincide con su propia serie Taylor en ⁠${\displaystyle a}$en un barrio de${\displaystyle a}$⁠ . De hecho, ⁠${\displaystyle f}$⁠ coincide con su serie Taylor en ⁠${\displaystyle a}$en cualquier disco centrado en ese punto y que se encuentre dentro del dominio de la función.

Desde un punto de vista algebraico, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto es un anillo conmutativo y un espacio vectorial complejo . Además, el conjunto de funciones holomorfas en un conjunto abierto${\displaystyle U}$⁠ es un dominio de integridad si y solo si el conjunto abierto ⁠${\displaystyle U}$⁠ está conectado. ^{[ 7 ]} De hecho, es un espacio vectorial topológico localmente convexo , donde las seminormas son las supremas en subconjuntos compactos .

Desde una perspectiva geométrica, una función${\displaystyle f}$es holomorfa en${\displaystyle z_{0}}$⁠ si y solo si su derivada exterior ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f}$en un barrio${\displaystyle U}$de​​${\displaystyle z_{0}}$es igual a${\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}$para alguna función continua${\displaystyle f'}$⁠ . Se deduce de

${\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}$

eso​${\displaystyle \mathrm {d} f'}$También es proporcional a${\displaystyle \mathrm {d} z}$⁠ , lo que implica que la derivada ⁠${\displaystyle \mathrm {d} f'}$⁠ es en sí mismo holomorfo y por lo tanto que ⁠${\displaystyle f}$es infinitamente diferenciable. De manera similar ,${\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}$⁠ implica que cualquier función ⁠${\displaystyle f}$que es holomorfa en la región simplemente conexa${\displaystyle U}$También es integrable en${\displaystyle U}$⁠ .

Para un camino${\displaystyle \gamma }$de​​${\displaystyle z_{0}}$a​​${\displaystyle z}$⁠ completamente dentro de${\displaystyle U}$, definir

⁠${\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z.}$⁠

A la luz del teorema de la curva de Jordan y del teorema generalizado de Stokes ,${\displaystyle F_{\gamma }(z)}$es independiente de la elección particular del camino${\displaystyle \gamma }$⁠ , y por lo tanto ⁠${\displaystyle F(z)}$es una función bien definida en${\displaystyle U}$tener​​${\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}$⁠ , o equivalentemente ⁠${\displaystyle f=\mathrm {d} F/\mathrm {d} z}$⁠ .

Todas las funciones polinómicas en${\displaystyle z}$Las funciones con coeficientes complejosson funciones enteras (holomorfas en todo el plano complejo ).${\displaystyle \mathbb {C} }$) , y también lo es la función exponencial${\displaystyle \exp z}$y las funciones trigonométricas${\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}$y​​${\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}$( cf. fórmula de Euler ). La rama principal de lafunción logaritmo complejo${\displaystyle \log z}$es holomorfa en el dominio${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}$⁠ . La función raíz cuadrada se puede definir como ⁠${\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}$y por lo tanto es holomorfo dondequiera que el logaritmo${\displaystyle \log z}$⁠ es. La función recíproca ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}$es holomorfo en${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}$⁠ . (La función recíproca, y cualquier otra función racional , es meromorfa en ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$. )

Como consecuencia de las ecuaciones de Cauchy-Riemann , cualquier función holomorfa de valor real debe ser constante . Por lo tanto, el valor absoluto ⁠${\displaystyle \vert z\vert }$⁠ , el argumento ⁠${\displaystyle \arg z}$⁠ , la parte real ⁠${\displaystyle \operatorname {Re} (z)}$y la parte imaginaria${\displaystyle \operatorname {Im} (z)}$⁠ no son holomorfas. Otro ejemplo típico de una función continua que no es holomorfa es el conjugado complejo ⁠${\displaystyle {\bar {z}}}$⁠ . (El conjugado complejo es antiholomórfico .)

La definición de una función holomorfa se generaliza a varias variables complejas de forma directa. Una función${\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$en​​${\displaystyle n}$Las variables complejas son analíticas en un punto .${\displaystyle p}$⁠ si existe un vecindario de ⁠${\displaystyle p}$en el cual${\displaystyle f}$es igual a una serie de potencias convergente en${\displaystyle n}$variables complejas ; ^{[ 16 ]} la función${\displaystyle f}$es holomorfa en un subconjuntoabierto${\displaystyle U}$de​​${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$⁠ si es analítica en cada punto en ⁠${\displaystyle U}$⁠ . El lema de Osgood muestra (utilizando la fórmula integral de Cauchy multivariada) que, para una función continua ⁠${\displaystyle f}$⁠ , esto es equivalente a ⁠${\displaystyle f}$⁠ ser holomorfa en cada variable por separado (lo que significa que si alguna ⁠${\displaystyle n-1}$⁠ las coordenadas están fijas, entonces la restricción de ⁠${\displaystyle f}$es una función holomorfa de la coordenada restante). El teorema de Hartogs, mucho más profundo,demuestra que la suposición de continuidad es innecesaria :${\displaystyle f}$es holomorfa si y solo si es holomorfa en cada variable por separado.

En términos más generales, una función de varias variables complejas que es de cuadrado integrable sobre cada subconjunto compacto de su dominio es analítica si y solo si satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el sentido de las distribuciones.

Las funciones de varias variables complejas son, en algunos aspectos fundamentales, más complicadas que las funciones de una sola variable compleja. Por ejemplo, la región de convergencia de una serie de potencias no es necesariamente una bola abierta; estas regiones son dominios de Reinhardt logarítmicamente convexos , cuyo ejemplo más simple es un polidisco . Sin embargo, también presentan algunas restricciones fundamentales. A diferencia de las funciones de una sola variable compleja, los dominios posibles en los que existen funciones holomorfas que no pueden extenderse a dominios mayores son muy limitados. Dicho conjunto se denomina dominio de holomorfía .

Un diferencial complejo${\displaystyle (p,0)}$-forma​​${\displaystyle \alpha }$⁠ es holomorfa si y solo si su derivada de Dolbeault antiholomorfa es cero: ⁠${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}$⁠ .

El concepto de función holomorfa puede extenderse a los espacios de dimensión infinita del análisis funcional . Por ejemplo, la derivada de Fréchet o Gateaux puede utilizarse para definir una noción de función holomorfa en un espacio de Banach sobre el cuerpo de los números complejos.

• Blakey, Joseph (1958). Matemáticas universitarias (2.ª  ed.). Londres, Reino Unido: Blackie and Sons. OCLC 2370110 . 

• "Función analítica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]