Señal analítica

Desde${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$, restaurar los componentes de frecuencia negativa es una simple cuestión de descartar${\displaystyle \operatorname {Im} [s_{\mathrm {a} }(t)]}$lo cual puede parecer contraintuitivo. El conjugado complejo${\displaystyle s_{\mathrm {a} }^{*}(t)}$comprende únicamente los componentes de frecuencia negativa. Y por lo tanto${\displaystyle s(t)=\operatorname {Re} [s_{\mathrm {a} }^{*}(t)]}$restaura los componentes de frecuencia positivos suprimidos. Otro punto de vista es que el componente imaginario en ambos casos es un término que resta componentes de frecuencia de${\displaystyle s(t).}$El${\displaystyle \operatorname {Re} }$El operador elimina la resta, dando la apariencia de agregar nuevos componentes.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t),}$ dónde ${\displaystyle \omega >0.}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin(\omega t),\\s_{\mathrm {a} }(t)&=s(t)+j{\hat {s}}(t)=\cos(\omega t)+j\sin(\omega t)=e^{j\omega t}.\end{aligned}}}$

La última igualdad es la fórmula de Euler , de la cual un corolario es${\textstyle \cos(\omega t)={\frac {1}{2}}\left(e^{j\omega t}+e^{j(-\omega )t}\right).}$En general, la representación analítica de una sinusoide simple se obtiene expresándola en términos de exponenciales complejas, descartando la componente de frecuencia negativa y duplicando la componente de frecuencia positiva. La representación analítica de una suma de sinusoides es la suma de las representaciones analíticas de las sinusoides individuales.

Aquí utilizamos la fórmula de Euler para identificar y descartar la frecuencia negativa.

${\displaystyle s(t)=\cos(\omega t+\theta )={\frac {1}{2}}\left(e^{j(\omega t+\theta )}+e^{-j(\omega t+\theta )}\right)}$

Entonces:

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)={\begin{cases}e^{j(\omega t+\theta )}\ \ =\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{j\theta },&{\text{if}}\ \omega >0,\\e^{-j(\omega t+\theta )}=\ e^{j|\omega |t}\cdot e^{-j\theta },&{\text{if}}\ \omega <0.\end{cases}}}$

Este es otro ejemplo del uso del método de la transformada de Hilbert para eliminar componentes de frecuencia negativa. Nada nos impide calcular${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$para un valor complejo${\displaystyle s(t)}$. Pero podría no ser una representación reversible, porque el espectro original no es simétrico en general. Así que, salvo este ejemplo, la discusión general asume valores reales.${\displaystyle s(t)}$.

${\displaystyle s(t)=e^{-j\omega t}}$, dónde${\displaystyle \omega >0}$.

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {s}}(t)&=je^{-j\omega t},\\s_{\mathrm {a} }(t)&=e^{-j\omega t}+j^{2}e^{-j\omega t}=e^{-j\omega t}-e^{-j\omega t}=0.\end{aligned}}}$

Una señal analítica también puede expresarse en coordenadas polares :

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j\phi (t)},}$

donde se introducen las siguientes cantidades variables en el tiempo:

• ${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)\triangleq |s_{\mathrm {a} }(t)|}$se denomina amplitud instantánea o envolvente ;
• ${\displaystyle \phi (t)\triangleq \arg \!\left[s_{\mathrm {a} }(t)\right]}$se denomina fase instantánea o ángulo de fase .

En el diagrama adjunto, la curva azul representa${\displaystyle s(t)}$y la curva roja representa la correspondiente${\displaystyle s_{\mathrm {m} }(t)}$.

La derivada temporal de la fase instantánea desenrollada tiene unidades de radianes/segundo y se denomina frecuencia angular instantánea :

${\displaystyle \omega (t)\triangleq {\frac {d\phi }{dt}}(t).}$

Por lo tanto, la frecuencia instantánea (en hercios ) es:

${\displaystyle f(t)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\omega (t).}$ ^{[ 3 ]}

La amplitud instantánea, la fase instantánea y la frecuencia instantánea se utilizan en algunas aplicaciones para medir y detectar características locales de la señal. Otra aplicación de la representación analítica de una señal se relaciona con la demodulación de señales moduladas . Las coordenadas polares separan convenientemente los efectos de la modulación de amplitud y la modulación de fase (o frecuencia), y demodulan eficazmente ciertos tipos de señales.

Las señales analíticas a menudo se desplazan en frecuencia (se convierten hacia abajo) hacia 0  Hz, lo que puede crear componentes de frecuencia negativa [no simétricas]: $${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)\triangleq s_{\mathrm {a} }(t)e^{-j\omega _{0}t}=s_{\mathrm {m} }(t)e^{j(\phi (t)-\omega _{0}t)},}$$ dónde${\displaystyle \omega _{0}}$es una frecuencia angular de referencia arbitraria. ^{[ 2 ]}

Esta función recibe varios nombres, como envolvente compleja y banda base compleja . La envolvente compleja no es única; está determinada por la elección de${\displaystyle \omega _{0}}$Este concepto se utiliza a menudo al tratar con señales de banda de paso . Si${\displaystyle s(t)}$es una señal modulada,${\displaystyle \omega _{0}}$podría equipararse a su frecuencia portadora .

En otros casos,${\displaystyle \omega _{0}}$se selecciona para que esté en algún punto medio de la banda de paso deseada. Entonces, un filtro paso bajo simple con coeficientes reales puede eliminar la porción de interés. Otro motivo es reducir la frecuencia más alta, lo que reduce la tasa mínima para el muestreo sin aliasing. Un cambio de frecuencia no socava la tratabilidad matemática de la representación de la señal compleja. Así que, en ese sentido, la señal convertida a frecuencias más bajas sigue siendo analítica . Sin embargo, restaurar la representación de valor real ya no es una simple cuestión de extraer el componente real. Puede ser necesaria una conversión a frecuencias más altas, y si la señal ha sido muestreada (tiempo discreto), la interpolación ( sobremuestreo ) también podría ser necesaria para evitar el aliasing .

Si${\displaystyle \omega _{0}}$se elige mayor que la frecuencia más alta de${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t),}$entonces${\displaystyle {s_{\mathrm {a} }}_{\downarrow }(t)}$No tiene frecuencias positivas. En ese caso, al extraer el componente real se restauran, pero en orden inverso; los componentes de baja frecuencia se convierten en altos y viceversa. Esto se puede utilizar para demodular un tipo de señal de banda lateral única llamada banda lateral inferior o banda lateral invertida .

En ocasiones se consideran otras opciones de frecuencia de referencia:

• A veces${\displaystyle \omega _{0}}$se elige para minimizar$${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }(\omega -\omega _{0})^{2}|S_{\mathrm {a} }(\omega )|^{2}\,d\omega .}$$
• Alternativamente, ^{[ 4 ]}${\displaystyle \omega _{0}}$se puede elegir para minimizar el error cuadrático medio al aproximar linealmente la fase instantánea desenrollada${\displaystyle \phi (t)}$:$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\omega (t)-\omega _{0}]^{2}|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}\,dt}$$
• o otra alternativa (para algún óptimo)${\displaystyle \theta }$):$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }[\phi (t)-(\omega _{0}t+\theta )]^{2}\,dt.}$$

En el campo del procesamiento de señales tiempo-frecuencia, se demostró que la señal analítica era necesaria en la definición de la distribución de Wigner-Ville para que el método pudiera tener las propiedades deseables necesarias para aplicaciones prácticas. ^{[ 5 ]}

A veces, la frase "envolvente compleja" se traduce al significado más simple de amplitud compleja de un fasor (de frecuencia constante); ^{[ a ] ​​[ b ]} otras veces la envolvente compleja${\displaystyle s_{m}(t)}$como se definió anteriormente se interpreta como una generalización dependiente del tiempo de la amplitud compleja. ^{[ c ]} Su relación no es muy diferente a la del caso de valor real: envolvente variable que generaliza amplitud constante .

Una generalización directa de la señal analítica puede realizarse para una señal multidimensional una vez que se establece qué se entiende por frecuencias negativas en este caso. Esto puede hacerse introduciendo un vector unitario.${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$en el dominio de Fourier y etiquetar cualquier vector de frecuencia${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$como negativo si${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}\cdot {\boldsymbol {\hat {u}}}<0}$La señal analítica se produce eliminando todas las frecuencias negativas y multiplicando el resultado por 2, de acuerdo con el procedimiento descrito para el caso de señales de una variable. Sin embargo, no hay una dirección particular para${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$que debe elegirse a menos que existan algunas restricciones adicionales. Por lo tanto, la elección de${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {u}}}}$es ad hoc o específico para cada aplicación.

Las partes real e imaginaria de la señal analítica corresponden a los dos elementos de la señal monogénica vectorial , tal como se define para señales de una variable. Sin embargo, la señal monogénica puede extenderse a un número arbitrario de variables de manera sencilla, generando una función vectorial de ( n + 1) dimensiones para el caso de señales de n variables.

• Modulación de banda lateral única
• Filtro de cuadratura
• Filtro causal