Transformación de Hilbert

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada de Hilbert es una integral singular específica que toma una función, u ( t ) de una variable real y produce otra función de una variable real H( u )( t ) . La transformada de Hilbert viene dada por el valor principal de Cauchy de la convolución con la función${\displaystyle 1/(\pi t)}$ (véase §  Definición ). La transformada de Hilbert tiene una representación particularmente simple en el dominio de la frecuencia : imparte un desfase de ±90° ( π /2  radianes) a cada componente de frecuencia de una función, cuyo signo depende del signo de la frecuencia (véase §  Relación con la transformada de Fourier ). La transformada de Hilbert es importante en el procesamiento de señales, donde es un componente de la representación analítica de una señal de valor real u ( t ) . La transformada de Hilbert fue introducida por primera vez por David Hilbert en este contexto, para resolver un caso especial del problema de Riemann-Hilbert para funciones analíticas.

La transformada de Hilbert de u puede considerarse como la convolución de u ( t ) con la función h ( t ) = 1 / π t , conocida como núcleo de Cauchy . Debido a que 1/ t no es integrable en t = 0 , la integral que define la convolución no siempre converge. En cambio, la transformada de Hilbert se define utilizando el valor principal de Cauchy ( denotado aquí por pv ). Explícitamente, la transformada de Hilbert de una función (o señal) u ( t ) viene dada por

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {1}{\pi }}\,\operatorname {pv} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,\mathrm {d} \tau ,}$$

siempre que esta integral exista como un valor principal. Esto es precisamente la convolución de u con la distribución temperada p.v. ⁠ 1 / π t ⁠ . ^{[ 1 ]} Alternativamente, cambiando variables, la integral de valor principal se puede escribir explícitamente ^{[ 2 ]} como

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\,\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau .}$$

Cuando se aplica la transformada de Hilbert dos veces consecutivas a una función u , el resultado es

$${\displaystyle \operatorname {H} {\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(t)=-u(t),}$$

siempre que las integrales que definen ambas iteraciones converjan en un sentido adecuado. En particular, la transformada inversa es ${\displaystyle -\operatorname {H} }$Este hecho se puede apreciar más fácilmente considerando el efecto de la transformada de Hilbert sobre la transformada de Fourier de u ( t ) (véase la sección  Relación con la transformada de Fourier más adelante).

Para una función analítica en el semiplano superior , la transformada de Hilbert describe la relación entre la parte real y la parte imaginaria de los valores de contorno. Es decir, si f ( z ) es analítica en el semiplano complejo superior { z  : Im{ z } > 0} , y u ( t ) = Re{ f ( t + 0· i )} , entonces Im{ f ( t + 0· i )} = H( u )( t ) salvo una constante aditiva, siempre que exista esta transformada de Hilbert.

La transformada de Hilbert surgió en el trabajo de Hilbert de 1905 sobre un problema planteado por Riemann en relación con las funciones analíticas, ^{[ 6 ] [ 7 ]} que se ha llegado a conocer como el problema de Riemann-Hilbert . El trabajo de Hilbert se centró principalmente en la transformada de Hilbert para funciones definidas en el círculo. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Algunos de sus trabajos anteriores relacionados con la transformada discreta de Hilbert se remontan a las conferencias que impartió en Göttingen . Los resultados fueron publicados posteriormente por Hermann Weyl en su disertación. ^{[ 10 ]} Schur mejoró los resultados de Hilbert sobre la transformada discreta de Hilbert y los extendió al caso integral. ^{[ 11 ]} Estos resultados se restringieron a los espacios L ² y ℓ ² . En 1928, Marcel Riesz demostró que la transformada de Hilbert puede definirse para u en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$( L ^p espacio ) para 1 < p < ∞ , que la transformada de Hilbert es un operador acotado en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$para 1 < p < ∞ , y que resultados similares se cumplen para la transformada de Hilbert en el círculo, así como para la transformada de Hilbert discreta. ^{[ 12 ]} La transformada de Hilbert fue un ejemplo motivador para Antoni Zygmund y Alberto Calderón durante su estudio de integrales singulares . ^{[ 13 ]} Sus investigaciones han desempeñado un papel fundamental en el análisis armónico moderno. Varias generalizaciones de la transformada de Hilbert, como las transformadas de Hilbert bilineal y trilineal, siguen siendo áreas activas de investigación en la actualidad.

La transformada de Hilbert es un operador multiplicador . ^{[ 14 ]} El multiplicador de H es σ _H ( ω ) = − i sgn( ω ) , donde sgn es la función signo . Por lo tanto:

$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\bigl (}\operatorname {H} (u){\bigr )}(\omega )=-i\operatorname {sgn}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}(u)(\omega ),}$$

dónde${\displaystyle {\mathcal {F}}}$denota la transformada de Fourier . Dado que sgn( x ) = sgn(2 π x ) , se deduce que este resultado se aplica a las tres definiciones comunes de${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Según la fórmula de Euler , $${\displaystyle \sigma _{\operatorname {H} }(\omega )={\begin{cases}~~i=e^{+i\pi /2}&{\text{si }}\omega <0\\~~0&{\text{si }}\omega =0\\-i=e^{-i\pi /2}&{\text{si }}\omega >0\end{cases}}}$$

Por lo tanto, H( u )( t ) tiene el efecto de desplazar la fase de los componentes de frecuencia negativa de u ( t ) en +90° ( π ⁄ 2  radianes) y la fase de los componentes de frecuencia positiva en −90°, e i ·H( u )( t ) tiene el efecto de restaurar los componentes de frecuencia positiva mientras desplaza los de frecuencia negativa en +90° adicionales, lo que resulta en su negación (es decir, una multiplicación por −1).

Cuando se aplica la transformada de Hilbert dos veces, la fase de los componentes de frecuencia negativa y positiva de u ( t ) se desplazan respectivamente en +180° y −180°, que son cantidades equivalentes. La señal se niega; es decir, H(H( u )) = −u , porque

$${\displaystyle \left(\sigma _{\operatorname {H} }(\omega )\right)^{2}=e^{\pm i\pi }=-1\quad {\text{para }}\omega \neq 0.}$$

En la siguiente tabla, el parámetro de frecuencia${\displaystyle \omega }$es real.

Notas

Se dispone de una tabla extensa de transformadas de Hilbert. ^{[ 15 ]} Nótese que la transformada de Hilbert de una constante es cero.

No es en absoluto obvio que la transformada de Hilbert esté bien definida, ya que la integral impropia que la define debe converger en un sentido adecuado. Sin embargo, la transformada de Hilbert está bien definida para una amplia clase de funciones, a saber, aquellas en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$para 1 < p < ∞ .

Más precisamente, si u está en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$para 1 < p < ∞ , entonces el límite que define la integral impropia

$${\displaystyle \operatorname {H} (u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,d\tau }$$

existe para casi todo t . La función límite también está en${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$y de hecho es también el límite en la media de la integral impropia. Es decir,

$${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }}\,\mathrm {d} \tau \to \operatorname {H} (u)(t)}$$

como ε → 0 en la norma L ^p , así como puntualmente casi en todas partes, por el teorema de Titchmarsh . ^{[ 16 ]}

En el caso p = 1 , la transformada de Hilbert sigue convergiendo puntualmente casi en todas partes, pero puede que no sea integrable, incluso localmente. ^{[ 17 ]} En particular, la convergencia en la media no se da en general en este caso. Sin embargo, la transformada de Hilbert de una función L ¹ sí converge en L ¹ -débil, y la transformada de Hilbert es un operador acotado de L ¹ a L ^1,w . ^{[ 18 ]} (En particular, dado que la transformada de Hilbert también es un operador multiplicador en L ² , la interpolación de Marcinkiewicz y un argumento de dualidad proporcionan una prueba alternativa de que H está acotada en L ^p .)

La transformada de Hilbert puede entenderse en términos de un par de funciones f ( x ) y g ( x ) tales que la función $${\displaystyle F(x)=f(x)+i\,g(x)}$$ es el valor límite de una función holomorfa F ( z ) en el semiplano superior. ^{[ 32 ]} En estas circunstancias, si f y g son suficientemente integrables, entonces una es la transformada de Hilbert de la otra.

Supongamos que${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ).}$Entonces, por la teoría de la integral de Poisson , f admite una extensión armónica única en el semiplano superior, y esta extensión viene dada por

$${\displaystyle u(x+iy)=u(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {y}{(x-s)^{2}+y^{2}}}\;\mathrm {d} s}$$

que es la convolución de f con el núcleo de Poisson

$${\displaystyle P(x,y)={\frac {y}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}}$$

Además, existe una única función armónica v definida en el semiplano superior tal que F ( z ) = u ( z ) + iv ( z ) es holomorfa y $${\displaystyle \lim _{y\to \infty }v\,(x+i\,y)=0}$$

Esta función armónica se obtiene a partir de f mediante una convolución con el núcleo de Poisson conjugado.

$${\displaystyle Q(x,y)={\frac {x}{\pi \,\left(x^{2}+y^{2}\right)}}.}$$

De este modo $${\displaystyle v(x,y)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }f(s)\;{\frac {x-s}{\,(x-s)^{2}+y^{2}\,}}\;\mathrm {d} s.}$$

De hecho, las partes real e imaginaria del núcleo de Cauchy son $${\displaystyle {\frac {i}{\pi \,z}}=P(x,y)+i\,Q(x,y)}$$

de modo que F = u + iv es holomorfa según la fórmula integral de Cauchy .

La función v obtenida de u de esta manera se llama conjugada armónica de u . El límite de frontera (no tangencial) de v ( x , y ) cuando y → 0 es la transformada de Hilbert de f . Por lo tanto, sucintamente, $${\displaystyle \operatorname {H} (f)=\lim _{y\to 0}Q(-,y)\star f}$$

Para una función periódica f, se define la transformada de Hilbert circular:

$${\displaystyle {\tilde {f}}(x)\triangleq {\frac {1}{2\pi }}\operatorname {p.v.} \int _{0}^{2\pi }f(t)\,\cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)\,\mathrm {d} t}$$

La transformada circular de Hilbert se utiliza para caracterizar el espacio de Hardy y en el estudio de la función conjugada en series de Fourier . El núcleo, $${\displaystyle \cot \left({\frac {x-t}{2}}\right)}$$ Se le conoce como núcleo de Hilbert, ya que fue en esta forma que se estudió originalmente la transformada de Hilbert. ^{[ 8 ]}

El núcleo de Hilbert (para la transformada de Hilbert circular) se puede obtener haciendo que el núcleo de Cauchy sea periódico 1 / x . Más precisamente, para x ≠ 0

$${\displaystyle {\frac {1}{\,2\,}}\cot \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{x+2n\pi }}+{\frac {1}{\,x-2n\pi \,}}\right)}$$

Muchos resultados sobre la transformada de Hilbert circular pueden derivarse de los resultados correspondientes para la transformada de Hilbert a partir de esta correspondencia.

Otra conexión más directa la proporciona la transformación de Cayley C ( x ) = ( x – i ) / ( x + i ) , que traslada la recta real al círculo y el semiplano superior al disco unitario . Esto induce una transformación unitaria.

$${\displaystyle U\,f(x)={\frac {1}{(x+i)\,{\sqrt {\pi }}}}\,f\left(C\left(x\right)\right)}$$

de L ² ( T ) sobre${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ).}$El operador U transporta el espacio de Hardy H ² ( T ) al espacio de Hardy.${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} )}$. ^{[ 39 ]}

Para una función discreta,${\displaystyle u[n],}$con transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT),${\displaystyle U(\omega )}$y la transformada discreta de Hilbert${\displaystyle {\widehat {u}}[n],}$la DTFT de${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$en la región − π < ω < π viene dada por :

${\displaystyle \operatorname {DTFT} ({\widehat {u}})=U(\omega )\cdot (-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega )).}$

La DTFT inversa, utilizando el teorema de convolución , es : ^{[ 46 ] [ 47 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {u}}[n]&={\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(U(\omega ))\ *\ {\scriptstyle \mathrm {DTFT} ^{-1}}(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\\&=u[n]\ *\ {\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \\&=u[n]\ *\ \underbrace {{\frac {1}{2\pi }}\left[\int _{-\pi }^{0}i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega -\int _{0}^{\pi }i\cdot e^{i\omega n}\,\mathrm {d} \omega \right]} _{h[n]},\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle h[n]\ \triangleq \ {\begin{cases}0,&{\text{if }}n{\text{ even}}\\{\frac {2}{\pi n}}&{\text{if }}n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

que es una respuesta de impulso infinita (IIR).

Consideraciones prácticas ^{[ 48 ]}

Método 1: Convolución directa de flujo${\displaystyle u[n]}$datos con una aproximación FIR de${\displaystyle h[n],}$que designaremos por${\displaystyle {\tilde {h}}[n].}$ Ejemplos de truncados${\displaystyle h[n]}$se muestran en las figuras 1 y 2. La figura 1 tiene un número impar de coeficientes antisimétricos y se denomina Tipo  III. ^{[ 49 ]} Este tipo exhibe inherentemente respuestas de magnitud cero en las frecuencias 0 y Nyquist, lo que resulta en una forma de filtro paso banda. ^{[ 50 ] [ 51 ]} Un  diseño de Tipo IV (número par de coeficientes antisimétricos) se muestra en la figura 2. [ ^{52 ] [ 53 ] Tiene} una respuesta de frecuencia paso alto. ^{[ 54 ]} El Tipo III es la opción habitual. ^{[ 55 ] [ 56 ]} por estas razones :

• Un ejemplo típico (es decir, filtrado y muestreado correctamente)${\displaystyle u[n]}$La secuencia no tiene componentes útiles en la frecuencia de Nyquist.
• La  respuesta impulsional de tipo IV requiere una${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$cambio de muestra en el${\displaystyle h[n]}$secuencia. Esto provoca que los coeficientes con valor cero se vuelvan distintos de cero, como se observa en la Figura  2. Por lo tanto, un  diseño de Tipo III es potencialmente el doble de eficiente que uno de Tipo  IV.
• El retardo de grupo de un  diseño de tipo III es un número entero de muestras, lo que facilita la alineación.${\displaystyle {\widehat {u}}[n]}$con${\displaystyle u[n]}$para crear una señal analítica . El retardo de grupo de tipo  IV está a medio camino entre dos muestras.

La abrupta truncación de${\displaystyle h[n]}$crea una ondulación (efecto Gibbs) de la respuesta de frecuencia plana. Esto se puede mitigar mediante el uso de una función de ventana para atenuar${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$a cero. ^{[ 57 ]}

Método 2: Convolución por partes. Es bien sabido que la convolución directa es computacionalmente mucho más intensiva que métodos como overlap-save que dan acceso a las eficiencias de la transformada rápida de Fourier a través del teorema de convolución. ^{[ 58 ]} Específicamente, la transformada discreta de Fourier (DFT) de un segmento de${\displaystyle u[n]}$se multiplica punto por punto con una DFT de la${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$secuencia. Se realiza una DFT inversa sobre el producto y se descartan los artefactos transitorios en los bordes de entrada y salida del segmento. Los segmentos de entrada superpuestos evitan huecos en el flujo de salida. Una descripción equivalente en el dominio del tiempo es que los segmentos de longitud${\displaystyle N}$(un parámetro arbitrario) se convolucionan con la función periódica :

${\displaystyle {\tilde {h}}_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }{\tilde {h}}[n-mN].}$

Cuando la duración de valores distintos de cero de${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$es${\displaystyle M<N,}$La secuencia de salida incluye${\displaystyle N-M+1}$muestras de${\displaystyle {\widehat {u}}.}$ ${\displaystyle M-1}$Las salidas se descartan de cada bloque de${\displaystyle N,}$y los bloques de entrada se superponen en esa cantidad para evitar huecos.

Método 3: Igual que el método 2, excepto que la DFT de${\displaystyle {\tilde {h}}[n]}$es reemplazado por muestras de la${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$distribución (cuyos componentes reales e imaginarios son todos simplemente${\displaystyle 0}$o ${\displaystyle \pm 1.}$) Eso se complica${\displaystyle u[n]}$con una suma periódica : ^{[ A ]}

${\displaystyle h_{N}[n]\ \triangleq \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-mN],}$   ^{[ B ] [ C ]}

para algún parámetro arbitrario,${\displaystyle N.}$${\displaystyle h[n]}$No se trata de un filtro FIR, por lo que los efectos de borde se extienden a lo largo de toda la transformación. Decidir qué eliminar y la cantidad correspondiente de superposición es una cuestión de diseño que depende de la aplicación.

La figura 3 muestra la diferencia entre los métodos 2 y 3. Solo se muestra la mitad de la respuesta al impulso antisimétrico y solo los coeficientes distintos de cero. El gráfico azul corresponde al método 2 donde${\displaystyle h[n]}$Se trunca mediante una función de ventana rectangular, en lugar de una función cónica. Se genera mediante la función hilb(65) de Matlab . Sus efectos transitorios se conocen con exactitud y se pueden descartar fácilmente. La respuesta en frecuencia, que viene determinada por el argumento de la función, es el único aspecto de diseño que depende de la aplicación.

El gráfico rojo es${\displaystyle h_{512}[n],}$correspondiente al método 3. Es la DFT inversa de la${\displaystyle -i\operatorname {sgn} (\omega )}$distribución. Específicamente, es la función que se convoluciona con un segmento de${\displaystyle u[n]}$mediante la función de MATLAB , hilbert(u,512) . ^{[ 61 ]} La parte real de la secuencia de salida es la secuencia de entrada original, de modo que la salida compleja es una representación analítica de${\displaystyle u[n].}$

Cuando la entrada es un segmento de un coseno puro, la convolución resultante para dos valores diferentes de${\displaystyle N}$se muestra en la Fig. 4 (gráficos rojo y azul). Los efectos de borde impiden que el resultado sea una función sinusoidal pura (gráfico verde). Dado que${\displaystyle h_{N}[n]}$No es una secuencia FIR; el alcance teórico de los efectos es toda la secuencia de salida. Sin embargo, las diferencias con una función sinusoidal disminuyen con la distancia a los bordes. Parámetro${\displaystyle N}$es la longitud de la secuencia de salida. Si excede la longitud de la secuencia de entrada, la entrada se modifica agregando elementos con valor cero. En la mayoría de los casos, eso reduce la magnitud de las distorsiones de borde. Pero su duración está dominada por los tiempos inherentes de subida y bajada de la${\displaystyle h[n]}$respuesta impulsional.

La figura 5 es un ejemplo de convolución por partes, utilizando ambos métodos 2 (en azul) y 3 (puntos rojos). Se crea una función seno calculando la transformada discreta de Hilbert de una función coseno, que se procesó en cuatro segmentos superpuestos y se volvió a unir. Como muestra el resultado FIR (azul), las distorsiones aparentes en el resultado IIR (rojo) no son causadas por la diferencia entre${\displaystyle h[n]}$y${\displaystyle h_{N}[n]}$(verde y rojo en la Fig. 3 ). El hecho de que${\displaystyle h_{N}[n]}$está ahusado ( con ventana ) es realmente útil en este contexto. El verdadero problema es que no tiene suficiente ventana. Efectivamente,${\displaystyle M=N,}$mientras que el método de guardado por superposición necesita${\displaystyle M<N.}$

La transformada de Hilbert de teoría de números es una extensión ^{[ 62 ]} de la transformada de Hilbert discreta a enteros módulo un número primo apropiado. En esto sigue la generalización de la transformada discreta de Fourier a transformadas de teoría de números. La transformada de Hilbert de teoría de números se puede utilizar para generar conjuntos de secuencias discretas ortogonales. ^{[ 63 ]}

• Señal analítica
• conjugado armónico
• Espectroscopia de Hilbert
• Transformada de Hilbert en el plano complejo
• Transformación de Hilbert-Huang
• Relaciones Kramers-Kronig
• Riesz transforma
• Modulación de banda lateral única
• Operadores integrales singulares de tipo convolución
• Transformación de Stieltjes

• Derivación de la acotación de la transformada de Hilbert
• Transformada de Hilbert de Mathworld : contiene una tabla de transformadas.
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Titchmarsh" . MathWorld .
• "GS256 Lección 3: Transformación de Hilbert" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 27 de febrero de 2012.Una introducción básica a la transformación de Hilbert.