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espacio hiperbólico complejo

En matemáticas, el espacio hiperbólico complejo es una variedad hermitiana que es el equivalente del espacio hiperbólico real en el contexto de las variedades complejas. El espa...

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En matemáticas, el espacio hiperbólico complejo es una variedad hermitiana que es el equivalente del espacio hiperbólico real en el contexto de las variedades complejas. El espacio hiperbólico complejo es una variedad de Kähler , y se caracteriza por ser la única variedad de Kähler completa simplemente conexa cuya curvatura seccional holomorfa es constante igual a -1. Su variedad riemanniana subyacente tiene una curvatura negativa no constante, estrangulada entre -1 y -1/4, o entre -4 y -1, según la elección de una normalización de la métrica): en particular, es un espacio CAT(-1/4) .

El espacio hiperbólico complejo es también el espacio simétrico asociado al grupo de Lie.PAGU(norte,1){\displaystyle PU(n,1)}Estos espacios constituyen una de las tres familias de espacios simétricos de rango uno, junto con los espacios hiperbólicos reales y cuaterniónicos, clasificación a la que hay que añadir un espacio excepcional: el plano de Cayley . Es también la única familia de espacios simétricos hermíticos de rango uno.

Construcción del espacio hiperbólico complejo

Modelo proyectivo

Dejar⟨tú,v⟩:=−tú1v1¯+tú2v2¯+⋯+túnorte+1vnorte+1¯{\displaystyle \langle u,v\rangle :=-u_{1}{\overline {v_{1}}}+u_{2}{\overline {v_{2}}}+\dots +u_{n+1}{\overline {v_{n+1}}}} sea una forma pseudohermítica de signatura(norte,1){\displaystyle (n,1)}en el espacio vectorial complejodonorte+1{\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}. El modelo proyectivo del espacio hiperbólico complejo es el espacio proyectivo de todos los vectores negativos de esta forma:Hdonorte={[ξ]∈doPAGnorte∣⟨ξ,ξ⟩<0}.{\displaystyle \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}=\{[\xi ]\in \mathbb {CP} ^{n}\mid \langle \xi ,\xi \rangle <0\}.}

Como conjunto abierto del espacio proyectivo complejo, este espacio está dotado de la estructura de una variedad compleja . Es biholomorfo a la bola unitaria dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}, porque cada línea compleja negativa está generada por un vector único de la forma(1,incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle (1,x_{1},\dots ,x_{n})}con∑i=1norte|incógnitai|2<1{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}<1}. El mapa que envía el punto(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}de la bola unitaria dedonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}hasta el punto[1:incógnita1:⋯:incógnitanorte]{\displaystyle [1:x_{1}:\dots :x_{n}]}del espacio proyectivo define así un biholomorfismo.

Este modelo es equivalente al modelo del disco de Poincaré . A diferencia del espacio hiperbólico real, el espacio proyectivo complejo no puede definirse como una componente conexa del hiperboloide.⟨incógnita,incógnita⟩=−1{\displaystyle \langle x,x\rangle =-1}, porque la proyección de este hiperboloide sobre el modelo proyectivo tiene fibra conectadaS1{\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}(la fibra esZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }en el caso real).

Una métrica hermitiana se define enHdonorte{\displaystyle \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}de la siguiente manera: sipag∈donorte+1{\displaystyle p\in \mathbb {C} ^{n+1}}pertenece al cono⟨pag,pag⟩=−1{\displaystyle \langle p,p\rangle =-1}, entonces la restricción de⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }al espacio ortogonal(dopag)⊥⊂donorte+1{\displaystyle (\mathbb {C} p)^{\perp }\subset \mathbb {C} ^{n+1}}define un producto hermitiano positivo definido en este espacio, y debido a que el espacio tangente deHdonorte{\displaystyle \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}en ese punto[pag]{\displaystyle [p]}puede identificarse naturalmente con(dopag)⊥{\displaystyle (\mathbb {C} p)^{\perp }}, esto define un producto interno hermitiano enT[pag]Hdonorte{\displaystyle T_{[p]}\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}Como se puede comprobar mediante cálculos, este producto interno no depende de la elección del representante.pag{\displaystyle p}Para que la curvatura seccional holomorfa sea igual a -1 y no a -4, es necesario renormalizar esta métrica por un factor de1/2{\displaystyle 1/2}Esta métrica es una métrica de Kähler .

Modelo de Siegel

El modelo de Siegel del espacio hiperbólico complejo es el subconjunto de(w,z)∈do×donorte−1{\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ^{n-1}}de tal manera que

i(w¯−w)>2zz¯.{\displaystyle i({\bar {w}}-w)>2z{\bar {z}}.}

Es biholomorfo a la bola unitaria endonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}a través de la transformación de Cayley

(w,z)↦(w−iw+i,2zw+i).{\displaystyle (w,z)\mapsto \left({\frac {wi}{w+i}},{\frac {2z}{w+i}}\right).}

Límite en el infinito

En el modelo proyectivo, el espacio hiperbólico complejo se identifica con la bola unitaria compleja de dimensiónnorte{\displaystyle n}y su límite puede definirse como el límite de la bola, que es difeomorfa a la esfera de dimensión real.2norte−1{\displaystyle 2n-1}Esto equivale a definir  : ∂Hdonorte={[ξ]∈doPAGnorte|⟨ξ,ξ⟩=0}.{\displaystyle \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}=\{[\xi ]\in \mathbb {CP} ^{n}|\langle \xi ,\xi \rangle =0\}.}

Como espacio CAT(0) , el espacio hiperbólico complejo también tiene un límite en el infinito.∂∞Hdonorte{\displaystyle \partial _{\infty }\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}Este límite coincide con el límite∂Hdonorte{\displaystyle \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}recién definido.

El límite del espacio hiperbólico complejo posee de forma natural una estructura CR . Esta estructura es también la estructura de contacto estándar en la esfera (de dimensión impar).

Grupo de isometrías holomorfas y espacio simétrico

El grupo de isometrías holomorfas del espacio hiperbólico complejo es el grupo de Lie.PAGU(norte,1){\displaystyle PU(n,1)}Este grupo actúa transitivamente sobre el espacio hiperbólico complejo, y el estabilizador de un punto es isomorfo al grupo unitario.U(norte){\displaystyle U(n)}El espacio hiperbólico complejo es, por lo tanto, homeomorfo al espacio homogéneo .PAGU(norte,1)/U(norte){\displaystyle PU(n,1)/U(n)}El estabilizadorU(norte){\displaystyle U(n)}es el subgrupo compacto maximal dePAGU(norte,1){\displaystyle PU(n,1)}.

En consecuencia, el espacio hiperbólico complejo es el espacio simétrico riemanniano.SU(norte,1)/S(U(norte)×U(1))=PAGU(norte,1)/U(norte){\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)/\mathrm {S} (\mathrm {U} (n)\times \mathrm {U} (1))=\mathrm {PU} (n,1)/\mathrm {U} (n)}, [ 1 ] dondeSU(norte,1){\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}es el grupo pseudounitario yPAGU(norte,1){\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}es el cociente deSU(norte,1){\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}por su centro, que es isomorfo aZ/(norte+1)Z{\displaystyle \mathbb {Z} /(n+1)\mathbb {Z} }.

El grupo de isometrías holomorfas del espacio hiperbólico complejo también actúa sobre el límite de este espacio, y actúa así mediante homeomorfismos sobre el disco cerrado.D¯=Hdonorte∪∂Hdonorte{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}=\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}\cup \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}Según el teorema del punto fijo de Brouwer, cualquier isometría holomorfa del espacio hiperbólico complejo debe fijar al menos un punto enD¯{\displaystyle {\bar {\mathbb {D} }}}. Existe una clasificación de isometrías en tres tipos: [ 2 ]

  • Se dice que una isometría es elíptica si fija un punto en el espacio hiperbólico complejo.
  • Se dice que una isometría es parabólica si no fija un punto en el espacio hiperbólico complejo y fija un único punto en la frontera.
  • Se dice que una isometría es hiperbólica (o loxodrómica) si no fija ningún punto en el espacio hiperbólico complejo y fija exactamente dos puntos en la frontera.

La descomposición de Iwasawa dePAGU(norte,1){\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}es la descomposiciónPAGU(norte,1)=K×A×norte{\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)=K\times A\times N}, dóndeK=U(norte){\displaystyle K=U(n)}es el grupo unitario ,A=R{\displaystyle A=\mathbb {R} }es el grupo aditivo de los números reales ynorte=Hnorte{\displaystyle N={\mathcal {H_{n}}}}es el grupo de Heisenberg de dimensión real2norte−1{\displaystyle 2n-1}Dicha descomposición depende de la elección de  :

  • Un puntoξ{\displaystyle \xi }en el límite del espacio hiperbólico complejo (norte{\displaystyle N}es entonces el grupo de elementos parabólicos unipotentes dePAGU(norte,1){\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}fijaciónξ{\displaystyle \xi })
  • Una línea geodésica orientadaℓ{\displaystyle \ell }ir aξ{\displaystyle \xi }en el infinito (A{\displaystyle A}es entonces el grupo de elementos hiperbólicos dePAGU(norte,1){\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}actuando como una traslación a lo largo de esta geodésica y sin ninguna parte rotacional a su alrededor)
  • La elección de un origen paraℓ{\displaystyle \ell }, es decir, una parametrización de velocidad unitariaγ:R→Hdonorte{\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}} cuya imagen esℓ{\displaystyle \ell }(K{\displaystyle K}es entonces el grupo de elementos elípticos dePAGU(norte,1){\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}fijaciónγ(0){\displaystyle \gamma (0)})

Para cualquier descomposición de este tipoPAGU(norte,1){\displaystyle \mathrm {PU} (n,1)}, la acción del subgrupoA×norte{\displaystyle A\times N}es libre y transitivo, por lo tanto induce un difeomorfismo.A×norte→Hdonorte{\displaystyle \mathrm {A} \times N\to \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}}Este difeomorfismo puede considerarse una generalización del modelo de Siegel.

Curvatura

El grupo de isometrías holomorfasPAGU(norte,1){\displaystyle PU(n,1)}actúa transitivamente sobre las líneas complejas tangentes del espacio complejo hiperbólico. Por eso este espacio tiene una curvatura seccional holomorfa constante , que se puede calcular como igual a -4 (con la normalización de la métrica anterior). Esta propiedad caracteriza el espacio complejo hiperbólico  : salvo biholomorfismo isométrico, solo existe una variedad de Kähler completa simplemente conexa de curvatura seccional holomorfa constante dada . [ 3 ] .

Además, cuando una variedad hermitiana tiene una curvatura seccional holomorfa constante igual ak{\displaystyle k}, la curvatura seccional de cada plano tangente realΠ{\displaystyle \Pi }está completamente determinado por la fórmula  :

K(Π)=k4(1+3porque2⁡(α(Π)){\displaystyle K(\Pi )={\frac {k}{4}}\left(1+3\cos ^{2}(\alpha (\Pi )\right)}

dóndeα(Π){\displaystyle \alpha (\Pi )}es el ángulo entreΠ{\displaystyle \Pi }yJΠ{\displaystyle J\Pi }, es decir, el ínfimo de los ángulos entre un vector enΠ{\displaystyle \Pi }y un vector enJΠ{\displaystyle J\Pi }. [ 3 ] Este ángulo es igual a 0 si y solo siΠ{\displaystyle \Pi }es una línea compleja, y es igual aπ/2{\displaystyle \pi /2}si y solo siΠ{\displaystyle \Pi }es totalmente real. Por lo tanto, la curvatura seccional del espacio hiperbólico complejo varía de -4 (para líneas complejas) a -1 (para planos totalmente reales).

En dimensión compleja 1, todo plano real en el espacio tangente es una línea compleja: por lo tanto, el espacio hiperbólico complejo de dimensión 1 tiene una curvatura constante igual a -1, y por el teorema de uniformización , es isométrico al plano hiperbólico real. Los espacios hiperbólicos complejos pueden considerarse, por lo tanto, como otra generalización de alta dimensión del plano hiperbólico, menos estándar que los espacios hiperbólicos reales. Una tercera generalización posible es el espacio homogéneo.SLnorte(R)/SOnorte(R){\displaystyle SL_{n}(\mathbb {R} )/SO_{n}(\mathbb {\mathbb {R} } )}, que paranorte=2{\displaystyle n=2}vuelve a coincidir con el plano hiperbólico, pero se convierte en un espacio simétrico de rango mayor que 1 cuandonorte≥3{\displaystyle n\geq 3}.

Subespacios totalmente geodésicos

Toda subvariedad totalmente geodésica del espacio hiperbólico complejo de dimensión n es una de las siguientes  :

  • una copia de un espacio hiperbólico complejo de menor dimensión
  • una copia de un espacio hiperbólico real de dimensión real menor quenorte{\displaystyle n}

En particular, no existe ningún subespacio totalmente geodésico de codimensión 1 del espacio hiperbólico complejo.

  • En la bola unitaria, la métrica hiperbólica compleja coincide, salvo alguna renormalización escalar, con la métrica de Bergman . Esto implica que todo biholomorfismo de la bola es, en realidad, una isometría de la métrica hiperbólica compleja.
  • La métrica hiperbólica compleja también coincide con la métrica de Kobayashi .
  • Hasta la renormalización, la métrica hiperbólica compleja es de Kähler-Einstein , lo que significa que su curvatura de Ricci es un múltiplo de la métrica.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Besse, Arthur (1987), Variedades de Einstein , Springer, pág.  180.
  2. ↑ Cano, Navarrete & Seade (2013)
  3. 1 2 Besse (1987)

Fuentes

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