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Articulo de referencia

Matriz simétrica

Simetría de una matriz de 5×5 En álgebra lineal , una matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta . Formalmente, A \\text{ is symmetric} \\iff A = A^\\...

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Simetría de una matriz de 5×5

En álgebra lineal , una matriz simétrica es una matriz cuadrada que es igual a su transpuesta . Formalmente,

A es simétrico⟺A=AT.{\displaystyle A{\text{ es simétrico}}\iff A=A^{\textsf {T}}.}

Dado que las matrices iguales tienen dimensiones iguales, solo las matrices cuadradas pueden ser simétricas.

Las entradas de una matriz simétrica son simétricas con respecto a la diagonal principal . Por lo tanto, siaij{\displaystyle a_{ij}}denota la entrada en eli{\displaystyle i}fila yj{\displaystyle j}entonces la columna

A es simétrico⟺ por cada i,j,aji=aij.{\displaystyle A{\text{ es simétrica}}\iff {\text{ para todo }}i,j,\quad a_{ji}=a_{ij}.}

Toda matriz diagonal cuadrada es simétrica, ya que todos los elementos fuera de la diagonal son cero. De manera similar, en característica diferente de ⁠2{\displaystyle 2}⁠ , cada elemento diagonal de una matriz antisimétrica debe ser cero, ya que cada uno es su propio negativo.

En álgebra lineal, una matriz simétrica real representa un operador autoadjunto [ 1 ] representado en una base ortonormal sobre un espacio de producto interno real . El objeto correspondiente para un espacio de producto interno complejo es una matriz hermitiana con entradas de valor complejo, que es igual a su transpuesta conjugada . Por lo tanto, en álgebra lineal sobre los números complejos, a menudo se asume que una matriz simétrica se refiere a una que tiene entradas de valor real. Las matrices simétricas aparecen de forma natural en diversas aplicaciones, y el software típico de álgebra lineal numérica las adapta especialmente.

Ejemplo

La siguiente3×3{\displaystyle 3\times 3}La matriz es simétrica: A=[173745352];{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&5\\3&5&2\end{bmatrix}};} en efecto,A=AT{\displaystyle A=A^{\textsf {T}}}.

Propiedades

Propiedades básicas

  • La suma y la diferencia de dos matrices simétricas son simétricas.
  • Esto no siempre es cierto para el producto : dadas matrices simétricasA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}, el productoAB{\displaystyle AB}es simétrico si y solo siA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}desplazamiento diario , es decir,AB=BA{\displaystyle AB=BA}.
  • SiA{\displaystyle A}es simétrico, entonces para cualquier enterok≥0{\displaystyle k\geq 0},{\displaystyle \,}Ak{\displaystyle A^{k}}También es simétrico.
  • SiA−1{\displaystyle A^{-1}}existe, es simétrico si y solo siA{\displaystyle A}es simétrico.
  • El rango de una matriz simétricaA{\displaystyle A}es igual al número de valores propios distintos de cero deA{\displaystyle A}.

Descomposición en simétricas y antisimétricas.

Cualquier matriz cuadrada puede escribirse de forma única como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. Esta descomposición se conoce como descomposición de Toeplitz.Esteranorte{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}denotamos el espacio denorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices. SiSimnorte{\displaystyle {\mbox{Sym}}_{n}}denota el espacio denorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices simétricas ySesgarnorte{\displaystyle {\mbox{Sesgo}}_{n}}el espacio denorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices antisimétricas, entonces

Esteranorte=Simnorte+SesgarnorteySimnorte∩Sesgarnorte={0},{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}+{\mbox{Skew}}_{n}\qquad {\mbox{y}}\qquad {\mbox{Sym}}_{n}\cap {\mbox{Skew}}_{n}=\{0\},}

es decir

Esteranorte=Simnorte⊕Sesgarnorte,{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Sym}}_{n}\oplus {\mbox{Skew}}_{n},}

dónde⊕{\displaystyle \oplus }denota la suma directa . SeaMETRO∈Esteranorte{\displaystyle M\in {\mbox{Mat}}_{n}}, entonces

METRO=12(METRO+METROT)+12(METRO−METROT).{\displaystyle M={\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(MM^{\mathsf {T}}\right).}

Observa que12(METRO+METROT)∈Simnorte{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)\in {\mbox{Sym}}_{n}}y12(METRO−METROT)∈Skmiwnorte{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(MM^{\mathsf {T}}\right)\in \mathrm {Skew} _{n}}Esto es cierto para cualquier matriz cuadrada .METRO{\displaystyle M}con entradas de cualquier campo cuya característica sea diferente de ⁠2{\displaystyle 2}.​

Una simétricanorte×norte{\displaystyle n\times n}La matriz está determinada por12norte(norte+1){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n+1)}escalares (el número de entradas en o por encima de la diagonal principal ). De manera similar, una matriz antisimétrica se determina mediante12norte(norte−1){\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n(n-1)}escalares (el número de entradas por encima de la diagonal principal).

Matriz congruente con una matriz simétrica

Cualquier matriz congruente con una matriz simétrica también es simétrica: siA{\displaystyle A}es una matriz simétrica, entonces también lo esPAGAPAGT{\displaystyle PAP^{\mathsf {T}}}para cualquier matrizPAG{\displaystyle P}.

La simetría y los valores reales implican normalidad.

Una matriz real simétrica es necesariamente una matriz normal . [ 2 ]

Matrices simétricas reales

Denotemos por⟨⋅,⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }el producto interior estándar enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. El verdaderonorte×norte{\displaystyle n\times n}matrizA{\displaystyle A}es simétrico si y solo si ⟨Aincógnita,y⟩=⟨incógnita,Ay⟩∀incógnita,y∈Rnorte.{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle \quad \forall x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}

Dado que esta definición es independiente de la elección de la base , la simetría es una propiedad que depende únicamente del operador lineal.A{\displaystyle A}y la elección de un producto interno . Esta caracterización de la simetría es útil, por ejemplo, en geometría diferencial , ya que cada espacio tangente a una variedad puede dotarse de un producto interno, dando lugar a lo que se denomina una variedad riemanniana . Otro ámbito donde se utiliza esta formulación es el de los espacios de Hilbert .

El teorema espectral de dimensión finita dice que cualquier matriz simétrica cuyas entradas sean reales puede diagonalizarse mediante una matriz ortogonal . Más explícitamente: Para cada matriz simétrica realA{\displaystyle A}, existe una matriz ortogonal realQ{\displaystyle Q}de tal manera queD=QTAQ{\displaystyle D=Q^{\mathsf {T}}AQ}es una matriz diagonal . Toda matriz simétrica real es, por lo tanto, salvo elección de una base ortonormal , una matriz diagonal.

SiA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}sonnorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices simétricas reales que conmutan, entonces pueden diagonalizarse simultáneamente mediante una matriz ortogonal: [ 3 ] existe una base deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}de tal manera que cada elemento de la base sea un vector propio para ambosA{\displaystyle A}yB{\displaystyle B}.

Toda matriz simétrica real es hermitiana y, por lo tanto, todos sus valores propios son reales. (De hecho, los valores propios son las entradas de la matriz diagonal).D{\displaystyle D}(arriba), y por lo tantoD{\displaystyle D}está determinado de forma única porA{\displaystyle A}hasta el orden de sus entradas.) Esencialmente, la propiedad de ser simétrica para una matriz real corresponde a la propiedad de ser hermitiana para una matriz compleja.

Matrices simétricas complejas

Una matriz simétrica compleja puede ser 'diagonalizada' utilizando una matriz unitaria : por lo tanto, siA{\displaystyle A}es una matriz simétrica compleja, hay una matriz unitariaU{\displaystyle U}de tal manera queUAUT{\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}es una matriz diagonal real con entradas no negativas. Este resultado se conoce como la factorización de Autonne-Takagi . Fue demostrada originalmente por Léon Autonne (1915) y Teiji Takagi (1925), y redescubierta con diferentes demostraciones por varios otros matemáticos. [ 4 ] [ 5 ]

De hecho, la matrizB=A†A{\displaystyle B=A^{\dagger }A}es hermitiana y semidefinida positiva , por lo que existe una matriz unitaria.V{\displaystyle V}de tal manera queV†BV{\displaystyle V^{\daga }BV}es diagonal con entradas reales no negativas. Por lo tantodo=VTAV{\displaystyle C=V^{\mathsf {T}}AV}es simétrico complejo condo†do{\displaystyle C^{\dagger }C}real. Escriturado=incógnita+iY{\displaystyle C=X+iY}conincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}matrices simétricas reales,do†do=incógnita2+Y2+i(incógnitaY−Yincógnita){\displaystyle C^{\dagger }C=X^{2}+Y^{2}+i(XY-YX)}. De este modoincógnitaY=Yincógnita{\displaystyle XY=YX}. Desdeincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}para viajar, hay una matriz ortogonal realW{\displaystyle W}de tal manera que ambosWincógnitaWT{\displaystyle WXW^{\mathsf {T}}}yWYWT{\displaystyle WYW^{\mathsf {T}}}son diagonales. ConfiguraciónU=WVT{\displaystyle U=WV^{\mathsf {T}}}(una matriz unitaria), la matrizUAUT{\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}es diagonal compleja. PremultiplicandoU{\displaystyle U}mediante una matriz unitaria diagonal adecuada (que preserva la unitariedad deU{\displaystyle U}), las entradas diagonales deUAUT{\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}}puede hacerse real y no negativo según se desee. Para construir esta matriz, expresamos la matriz diagonal comoUAUT=diagnóstico⁡(r1miiθ1,r2miiθ2,…,rnortemiiθnorte){\displaystyle UAU^{\mathsf {T}}=\operatorname {diag} (r_{1}e^{i\theta _{1}},r_{2}e^{i\theta _{2}},\dots ,r_{n}e^{i\theta _{n}})}La matriz que buscamos viene dada simplemente porD=diagnóstico⁡(mi−iθ1/2,mi−iθ2/2,…,mi−iθnorte/2){\displaystyle D=\operatorname {diag} (e^{-i{\theta _{1}}/2},e^{-i{\theta _{2}}/2},\dots ,e^{-i{\theta _{n}}/2})}. ClaramenteDUAUTD=diagnóstico⁡(r1,r2,…,rnorte){\displaystyle DUAU^{\mathsf {T}}D=\operatorname {diag} (r_{1},r_{2},\dots,r_{n})}como se desea, así que hacemos la modificación.U′=DU{\displaystyle U'=DU}. Dado que sus cuadrados son los valores propios deA†A{\displaystyle A^{\dagger }A}, coinciden con los valores singulares deA{\displaystyle A}. (Nota sobre la descomposición en valores propios de una matriz simétrica compleja)A{\displaystyle A}, la forma normal de JordaniaA{\displaystyle A}puede que no sea diagonal, por lo tantoA{\displaystyle A}(No puede ser diagonalizado por ninguna transformación de similitud).

Descomposición

Utilizando la forma normal de Jordan , se puede demostrar que toda matriz cuadrada real se puede escribir como producto de dos matrices simétricas reales, y toda matriz cuadrada compleja se puede escribir como producto de dos matrices simétricas complejas. [ 6 ]

Toda matriz real no singular puede factorizarse de forma única como el producto de una matriz ortogonal y una matriz simétrica definida positiva , lo que se denomina descomposición polar . Las matrices singulares también pueden factorizarse, pero no de forma única.

La descomposición de Cholesky establece que toda matriz simétrica definida positiva realA{\displaystyle A}es un producto de una matriz triangular inferiorL{\displaystyle L}y su transpuesta, A=LLT.{\displaystyle A=LL^{\mathsf {T}}.}

Si la matriz es simétrica indefinida, aún puede descomponerse comoPAGAPAGT=LDLT{\displaystyle PAP^{\mathsf {T}}=LDL^{\mathsf {T}}}dóndePAG{\displaystyle P}es una matriz de permutación (que surge de la necesidad de pivotar ),L{\displaystyle L}una matriz triangular unitaria inferior, yD{\displaystyle D}es una suma directa de simétricas1×1{\displaystyle 1\times 1}y2×2{\displaystyle 2\times 2}bloques, lo que se denomina descomposición de Bunch-Kaufman [ 7 ]

Una matriz simétrica general (compleja) puede ser defectuosa y, por lo tanto, no ser diagonalizable . SiA{\displaystyle A}es diagonalizable puede descomponerse como A=QΛQT{\displaystyle A=Q\Lambda Q^{\mathsf {T}}} dóndeQ{\displaystyle Q}es una matriz ortogonalQQT=I{\displaystyle QQ^{\mathsf {T}}=I}, yΛ{\displaystyle \Lambda }es una matriz diagonal de los valores propios deA{\displaystyle A}. En el caso especial queA{\displaystyle A}es simétrico real, entoncesQ{\displaystyle Q}yΛ{\displaystyle \Lambda }también son reales. Para ver la ortogonalidad, supongamosincógnita{\displaystyle \mathbf {x} }yy{\displaystyle \mathbf {y} }son vectores propios que corresponden a valores propios distintosλ1{\displaystyle \lambda _{1}},λ2{\displaystyle \lambda _{2}}. Entonces λ1⟨incógnita,y⟩=⟨Aincógnita,y⟩=⟨incógnita,Ay⟩=λ2⟨incógnita,y⟩.{\displaystyle \lambda _{1}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle A\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {y} \rangle =\lambda _{2}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .}

Desdeλ1{\displaystyle \lambda _{1}}yλ2{\displaystyle \lambda _{2}}son distintos, tenemos⟨incógnita,y⟩=0{\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0}.

arpillera

Simétriconorte×norte{\displaystyle n\times n}Las matrices de funciones reales aparecen como los hessianos de funciones dos veces diferenciables denorte{\displaystyle n}variables reales (la continuidad de la segunda derivada no es necesaria, a pesar de la creencia común en sentido contrario [ 8 ] ).

Cada forma cuadráticaq{\displaystyle q}enRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}puede escribirse de forma única en el formatoq(incógnita)=incógnitaTAincógnita{\displaystyle q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }con una simetríanorte×norte{\displaystyle n\times n}matrizA{\displaystyle A}Debido al teorema espectral anterior, se puede decir que toda forma cuadrática, salvo la elección de una base ortonormal deRnorte{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}"parece" q(incógnita1,…,incógnitanorte)=∑i=1norteλiincógnitai2{\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}} con números realesλi{\displaystyle \lambda _{i}}Esto simplifica considerablemente el estudio de las formas cuadráticas, así como el estudio de los conjuntos de nivel.{incógnita:q(incógnita)=1}{\displaystyle \left\{\mathbf {x} :q(\mathbf {x} )=1\right\}}que son generalizaciones de secciones cónicas .

Esto es importante en parte porque el comportamiento de segundo orden de toda función multivariable suave se describe mediante la forma cuadrática perteneciente al hessiano de la función; esto es una consecuencia del teorema de Taylor .

Matriz simetrizable

Unnorte×norte{\displaystyle n\times n}matrizA{\displaystyle A}Se dice que es simetrizable si existe una matriz diagonal invertible.D{\displaystyle D}y matriz simétricaS{\displaystyle S}de tal manera queA=DS.{\displaystyle A=DS.}

La transpuesta de una matriz simetrizable es simetrizable, ya queAT=(DS)T=SD=D−1(DSD){\displaystyle A^{\mathsf {T}}=(DS)^{\mathsf {T}}=SD=D^{-1}(DSD)}yDSD{\displaystyle DSD}es simétrica. Una matrizA=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})}es simetrizable si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

  1. aij=0{\displaystyle a_{ij}=0}implicaaji=0{\displaystyle a_{ji}=0}a pesar de1≤i≤j≤norte.{\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n.}
  2. ai1i2ai2i3…aiki1=ai2i1ai3i2…ai1ik{\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}\dots a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}\dots a_{i_{1}i_{k}}}para cualquier secuencia finita(i1,i2,…,ik).{\displaystyle \left(i_{1},i_{2},\dots ,i_{k}\right).}

Véase también

Otros tipos de simetría o patrones en matrices cuadradas tienen nombres especiales; véase, por ejemplo:

Véase también simetría en matemáticas .

Notas

  1. ↑ Jesús Rojo García (1986). Álgebra lineal (en español) (2ª  ed.). Editorial AC. ISBN 84-7288-120-2.
  2. ↑ Pero una matriz compleja simétrica no tiene por qué ser normal. Ejemplo:
    S=[1ii0]{\displaystyle S={\begin{bmatrix}1&i\\i&0\end{bmatrix}}}es simétrico(ST=S).{\displaystyle {\big (}S^{\mathsf {T}}=S{\big )}.}
    Nota:S{\displaystyle S}no es hermitiano, ya que
    S∗=[1−i−i0]≠S.{\displaystyle S^{*}={\begin{bmatrix}1&-i\\-i&0\end{bmatrix}}\neq S.}
    Cálculos:
    S∗S=[2i−i1],SS∗=[2−ii1].{\displaystyle S^{*}S={\begin{bmatrix}2&i\\-i&1\end{bmatrix}},\qquad S\,S^{*}={\begin{bmatrix}2&-i\\i&1\end{bmatrix}}.}
    Conclusión:S∗S≠SS∗,{\displaystyle S^{*}S\neq S\,S^{*},}entoncesS{\displaystyle S}no es normal.
  3. ↑ Bellman, Richard (1997). Introducción al análisis matricial (2.ª ed.). SIAM. ISBN  08-9871-399-4.
  4. ↑ Horn y Johnson 2013 , págs. 263, 278 
  5. ↑ Ver:
    • Autonne, L. (1915), "Sur les matrices hipohermitiennes et sur les matrices unitaires" , Ann. Univ. Lyon , 38 : 1– 77
    • Takagi, T. (1925), "Sobre un problema algebraico relacionado con un teorema analítico de Carathéodory y Fejér y sobre un teorema afín de Landau", Jpn. J. Math. , 1 : 83– 93, doi : 10.4099/jjm1924.1.0_83
    • Siegel, Carl Ludwig (1943), "Geometría simpléctica", American Journal of Mathematics , 65 (1): 1–86 , doi : 10.2307/2371774 , JSTOR 2371774 , Lema 1, página 12 
    • Hua, L.-K. (1944), "Sobre la teoría de las funciones automorfas de una variable matricial I: base geométrica", Amer. J. Math. , 66 (3): 470– 488, doi : 10.2307/2371910 , JSTOR 2371910 
    • Schur, I. (1945), "Ein Satz über quadratische Formen mit komplexen Koeffizienten", Amer. J. Matemáticas. , 67 (4): 472– 480, doi : 10.2307/2371974 , JSTOR 2371974 
    • Benedetti, R.; Cragnolini, P. (1984), "Sobre la diagonalización simultánea de una forma hermitiana y una forma simétrica", Linear Algebra Appl. , 57 : 215–226 , doi : 10.1016/0024-3795(84)90189-7
  6. ↑ Bosch, AJ (1986). "La factorización de una matriz cuadrada en dos matrices simétricas". American Mathematical Monthly . 93 (6): 462– 464. doi : 10.2307/2323471 . JSTOR 2323471 . 
  7. ↑ Golub, GH ; van Loan, CF (1996). Matrix Computations . Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-XOCLC 34515797​​ 
  8. ↑ Dieudonné, Jean A. (1969). «Teorema (8.12.2)». Fundamentos del análisis moderno . Academic Press. pág. 180. ISBN  0-12-215550-5OCLC 576465​​ 

Referencias

  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Análisis matricial (2.ª  ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6
  • "Matriz simétrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Breve introducción y demostración de las propiedades de los valores propios de la matriz simétrica real.
  • Cómo implementar una matriz simétrica en C++
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