Dispersión de Compton

La dispersión Compton (o efecto Compton ) es la teoría cuántica de la dispersión de un fotón de alta frecuencia mediante la interacción con una partícula cargada , generalmente un electrón . Específicamente, cuando el fotón interactúa con un electrón débilmente ligado, lo libera de la capa de valencia externa de un átomo o molécula.

El efecto fue descubierto en 1923 por Arthur Holly Compton mientras investigaba la dispersión de rayos X por elementos ligeros, lo que le valió el Premio Nobel de Física en 1927. El efecto Compton se desvió significativamente de las teorías clásicas dominantes, utilizando tanto la relatividad especial como la mecánica cuántica para explicar la interacción entre fotones de alta frecuencia y partículas cargadas.

Los fotones pueden interactuar con la materia a nivel atómico (por ejemplo, efecto fotoeléctrico y dispersión de Rayleigh ), en el núcleo o solo con un electrón. La producción de pares y el efecto Compton ocurren a nivel del electrón. ^{[ 1 ]} Cuando un fotón de alta frecuencia se dispersa debido a una interacción con una partícula cargada, la energía del fotón se reduce y, por lo tanto, su longitud de onda aumenta. Esta compensación entre longitud de onda y energía en respuesta a la colisión es el efecto Compton. Debido a la conservación de la energía , la energía que pierde el fotón se transfiere a la partícula de retroceso (dicho electrón se denominaría "electrón de retroceso Compton").

Esto implica que si la partícula que retrocede inicialmente tuviera más energía que el fotón, ocurriría lo contrario. Esto se conoce como dispersión Compton inversa , en la que el fotón dispersado aumenta su energía.

En el experimento original de Compton (véase la figura  1), la energía del fotón de rayos X (≈  17  keV) era significativamente mayor que la energía de enlace del electrón atómico, por lo que los electrones podían considerarse libres tras la dispersión. La magnitud del cambio en la longitud de onda de la luz se denomina desplazamiento de Compton . Aunque existe la dispersión de Compton en un núcleo, ^{[ 3 ]} la dispersión de Compton suele referirse a la interacción que involucra únicamente a los electrones de un átomo. El efecto Compton fue observado por Arthur Holly Compton en 1923 en la Universidad de Washington en San Luis y posteriormente verificado por su estudiante de posgrado YH Woo en los años siguientes. Compton recibió el Premio Nobel de Física de 1927 por este descubrimiento.

El efecto es significativo porque demuestra que la luz no puede explicarse puramente como un fenómeno ondulatorio . ^{[ 4 ]} La dispersión de Thomson , la teoría clásica de una onda electromagnética dispersada por partículas cargadas, no puede explicar los cambios en la longitud de onda a baja intensidad: clásicamente, la luz de intensidad suficiente para que el campo eléctrico acelere una partícula cargada a una velocidad relativista causará un retroceso de presión de radiación y un desplazamiento Doppler asociado de la luz dispersada, ^{[ 5 ]} pero el efecto se volvería arbitrariamente pequeño a intensidades de luz suficientemente bajas, independientemente de la longitud de onda . Por lo tanto, si queremos explicar la dispersión Compton de baja intensidad, la luz debe comportarse como si consistiera en partículas. O la suposición de que el electrón puede tratarse como libre es inválida, lo que resulta en una masa electrónica efectivamente infinita igual a la masa nuclear (véase, por ejemplo, el comentario a continuación sobre la dispersión elástica de rayos X que proviene de ese efecto). El experimento de Compton convenció a los físicos de que la luz puede tratarse como un flujo de objetos similares a partículas (cuantos llamados fotones), cuya energía es proporcional a la frecuencia de la onda luminosa.

Como se muestra en la Fig. 2, la interacción entre un electrón y un fotón da como resultado que el electrón reciba parte de la energía (lo que provoca su retroceso) y que un fotón con la energía restante se emita en una dirección distinta a la original, de modo que el momento total del sistema también se conserve. Si el fotón dispersado aún tiene suficiente energía, el proceso puede repetirse. En este caso, el electrón se considera libre o débilmente ligado. La verificación experimental de la conservación del momento en procesos individuales de dispersión Compton por parte de Bothe y Geiger , así como por Compton y Simon, ha sido importante para refutar la teoría BKS .

La dispersión Compton se describe comúnmente como dispersión inelástica . Esto se debe a que, a diferencia de la dispersión Thomson, más común y que ocurre en el límite de baja energía, la energía del fotón dispersado en la dispersión Compton es menor que la energía del fotón incidente. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Como el electrón suele estar débilmente ligado al átomo, la dispersión puede verse desde la perspectiva de un electrón en un pozo de potencial o como un átomo con una pequeña energía de ionización. En la primera perspectiva, la energía del fotón incidente se transfiere a la partícula de retroceso, pero solo como energía cinética. El electrón no gana energía interna, las masas respectivas permanecen iguales, lo que indica una colisión elástica . Desde esta perspectiva, la dispersión Compton podría considerarse elástica porque el estado interno del electrón no cambia durante el proceso de dispersión. En la segunda perspectiva, el estado del átomo cambia, constituyendo una colisión inelástica . Que la dispersión Compton se considere elástica o inelástica depende de la perspectiva que se utilice, así como del contexto.

La dispersión Compton es uno de los cuatro procesos competitivos que ocurren cuando los fotones interactúan con la materia. A energías de unos pocos eV a unos pocos keV, que corresponden a la luz visible hasta los rayos X blandos, un fotón puede ser absorbido completamente y su energía puede expulsar un electrón de su átomo huésped, un proceso conocido como efecto fotoeléctrico. Los fotones de alta energía deLos fotones de 1,022  MeV y superiores pueden bombardear el núcleo y provocar la formación de un electrón y un positrón, un proceso denominado producción de pares ; fotones de energía aún mayor (más allá de un umbral de energía de al menos(1,670  MeV , dependiendo de los núcleos involucrados), puede expulsar un nucleón o una partícula alfa del núcleo en un proceso llamado fotodesintegración . La dispersión Compton es la interacción más importante en la región de energía intermedia, a energías de fotones mayores que las típicas del efecto fotoeléctrico pero menores que el umbral de producción de pares.

A principios del siglo XX, la investigación sobre la interacción de los rayos X con la materia estaba muy avanzada. Se observó que cuando los rayos X de una longitud de onda conocida interactúan con los átomos, los rayos X se dispersan en un ángulo${\displaystyle \theta }$y emergen en una longitud de onda diferente relacionada con${\displaystyle \theta }$Aunque el electromagnetismo clásico predijo que la longitud de onda de los rayos dispersos debería ser igual a la longitud de onda inicial, ^{[ 8 ]} múltiples experimentos encontraron que la longitud de onda de los rayos dispersos era mayor (correspondiente a menor energía) que la longitud de onda inicial. ^{[ 8 ]}

En 1923, Compton publicó un artículo que explicaba el desplazamiento de los rayos X atribuyendo momento de tipo partícula a los cuantos de luz ( Albert Einstein había propuesto los cuantos de luz en 1905 para explicar el efecto fotoeléctrico, pero Compton no se basó en el trabajo de Einstein). La energía de los cuantos de luz depende únicamente de la frecuencia de la luz. En su artículo, Compton derivó la relación matemática entre el desplazamiento de la longitud de onda y el ángulo de dispersión de los rayos X, suponiendo que cada fotón de rayos X dispersado interactuaba con un solo electrón. Su artículo concluye informando sobre experimentos que verificaron la relación que había derivado. $${\displaystyle \lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{\text{e}}c}}(1-\cos {\theta }),}$$ dónde

• ${\displaystyle \lambda }$es la longitud de onda inicial,
• ${\displaystyle \lambda '}$es la longitud de onda después de la dispersión,
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck ,
• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa del electrón ,
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz y
• ${\displaystyle \theta }$es el ángulo de dispersión.

La cantidad ⁠ h / m _e c ⁠ se conoce como la longitud de onda Compton del electrón; es igual a2,43 × 10 ⁻¹²  m . El desplazamiento de longitud de onda λ ′ − λ es al menos cero (para θ = 0° ) y como máximo el doble de la longitud de onda Compton del electrón (para θ = 180° ).

Compton descubrió que algunos rayos X no experimentaban ningún desplazamiento de longitud de onda a pesar de dispersarse en ángulos amplios; en cada uno de estos casos, el fotón no expulsó un electrón. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento no está relacionada con la longitud de onda Compton del electrón, sino con la longitud de onda Compton del átomo completo, que puede ser hasta 10 000 veces menor. Esto se conoce como dispersión "coherente" del átomo completo, ya que el átomo permanece intacto y no experimenta excitación interna.

En los experimentos originales de Compton, el desplazamiento de longitud de onda mencionado anteriormente era la magnitud directamente medible. En los experimentos modernos, es convencional medir las energías, no las longitudes de onda, de los fotones dispersados. Para una energía incidente dada${\displaystyle E_{\gamma }=hc/\lambda }$, la energía del fotón de estado final saliente,${\displaystyle E_{\gamma ^{\prime }}}$, se da por $${\displaystyle E_{\gamma ^{\prime }}={\frac {E_{\gamma }}{1+(E_{\gamma }/m_{\text{e}}c^{2})(1-\cos \theta )}}.}$$

Derivación de la fórmula de dispersión

Un fotón γ con longitud de onda λ colisiona con un electrón e en un átomo, que se considera en reposo. La colisión provoca que el electrón retroceda y un nuevo fotón γ ′ con longitud de onda λ ′ emerge con un ángulo θ respecto a la trayectoria del fotón incidente. Sea e′ el electrón tras la colisión. Compton contemplaba la posibilidad de que la interacción acelerara el electrón a velocidades suficientemente cercanas a la de la luz como para requerir la aplicación de la teoría de la relatividad especial de Einstein para describir adecuadamente su energía y momento.

Al concluir el artículo de Compton de 1923, informó sobre los resultados de experimentos que confirmaban las predicciones de su fórmula de dispersión, apoyando así la suposición de que los fotones transportan momento además de energía cuantizada. Al inicio de su derivación, había postulado una expresión para el momento de un fotón igualando la relación masa-energía ya establecida por Einstein, ^E = mc² , ^a las energías cuantizadas de los fotones hf , que Einstein había postulado por separado. Si mc² = hf , la masa equivalente del fotón debe ser hf / c² . El momento del fotón es entonces simplemente esta masa efectiva multiplicada ^por la velocidad invariante del fotón c . Para un fotón, su momento${\displaystyle p=hf/c}$Por lo tanto, se puede sustituir pc por hf para todos los términos de momento del fotón que surgen en la siguiente derivación. La derivación que aparece en el artículo de Compton es más concisa, pero sigue la misma lógica y secuencia que la siguiente.

La conservación de la energía E simplemente iguala la suma de las energías antes y después de la dispersión.

${\displaystyle E_{\gamma }+E_{\text{e}}=E_{\gamma '}+E_{{\text{e}}'}.}$

Compton postuló que los fotones transportan momento; ^{[ 8 ]} por lo tanto, a partir de la conservación del momento , los momentos de las partículas deberían estar relacionados de manera similar por

${\displaystyle \mathbf {p} _{\gamma }=\mathbf {p} _{\gamma '}+\mathbf {p} _{{\text{e}}'},}$

en la que p _e se omite por ser insignificante.

Las energías de los fotones están relacionadas con las frecuencias mediante

${\displaystyle E_{\gamma }=hf}$

${\displaystyle E_{\gamma '}=hf'}$

donde h es la constante de Planck .

Antes del evento de dispersión, se trata al electrón como suficientemente cerca de estar en reposo, de modo que su energía total consiste enteramente en la equivalencia masa-energía de su masa en reposo m _e ,

${\displaystyle E_{\text{e}}=m_{\text{e}}c^{2}.}$

Tras la dispersión, la posibilidad de que el electrón pueda acelerarse a una fracción significativa de la velocidad de la luz requiere que su energía total se represente utilizando la relación energía-momento relativista.

${\displaystyle E_{{\text{e}}'}={\sqrt {(p_{{\text{e}}'}c)^{2}+(m_{\text{e}}c^{2})^{2}}}~.}$

Sustituyendo estas cantidades en la expresión para la conservación de la energía se obtiene

${\displaystyle hf+m_{\text{e}}c^{2}=hf'+{\sqrt {(p_{{\text{e}}'}c)^{2}+(m_{\text{e}}c^{2})^{2}}}.}$

Esta expresión se puede utilizar para hallar la magnitud del momento del electrón dispersado,

Nótese que esta magnitud del momento ganado por el electrón (anteriormente cero) excede la energía/ c perdida por el fotón,

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\sqrt {(hf-hf'+m_{\text{e}}c^{2})^{2}-m_{\text{e}}^{2}c^{4}}}>{\frac {hf-hf'}{c}}~.}$

La ecuación (1) relaciona las distintas energías asociadas a la colisión. El cambio de momento del electrón implica un cambio relativista en su energía, por lo que no se relaciona simplemente con el cambio de energía que se produce en la física clásica. El cambio en la magnitud del momento del fotón no solo se relaciona con el cambio de su energía, sino que también implica un cambio de dirección.

Resolviendo la expresión de conservación del momento para el momento del electrón dispersado se obtiene

${\displaystyle \mathbf {p} _{{\text{e}}'}=\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '}.}$

Haciendo uso del producto escalar se obtiene el cuadrado de su magnitud,

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{{\text{e}}'}^{\,2}&=\mathbf {p} _{{\text{e}}'}\cdot \mathbf {p} _{{\text{e}}'}=(\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\cdot (\mathbf {p} _{\gamma }-\mathbf {p} _{\gamma '})\\&=p_{\gamma }^{\,2}+p_{\gamma '}^{\,2}-2p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .\end{aligned}}}$

En previsión de${\displaystyle p_{\gamma }c}$siendo reemplazado por hf , multiplicar ambos lados por c ² ,

${\displaystyle p_{{\text{e}}'}^{\,2}c^{2}=p_{\gamma }^{\,2}c^{2}+p_{\gamma '}^{\,2}c^{2}-2c^{2}p_{\gamma }\,p_{\gamma '}\cos \theta .}$

Después de reemplazar los términos del momento del fotón con hf / c , obtenemos una segunda expresión para la magnitud del momento del electrón dispersado,

Igualando las expresiones alternativas para este momento se obtiene

${\displaystyle (hf-hf'+m_{\text{e}}c^{2})^{2}-m_{\text{e}}^{\,2}c^{4}=\left(hf\right)^{2}+\left(hf'\right)^{2}-2h^{2}ff'\cos {\theta },}$

que, después de evaluar el cuadrado y cancelar y reorganizar los términos, produce además

${\displaystyle 2hfm_{\text{e}}c^{2}-2hf'm_{\text{e}}c^{2}=2h^{2}ff'\left(1-\cos \theta \right).}$

Dividiendo ambos lados por 2 hff ′ m _e c se obtiene

${\displaystyle {\frac {c}{f'}}-{\frac {c}{f}}={\frac {h}{m_{\text{e}}c}}\left(1-\cos \theta \right).}$

Finalmente, dado que fλ = f ′ λ ′ = c ,

Además, se puede observar que el ángulo φ del electrón saliente con la dirección del fotón incidente está especificado por

La dispersión Compton es de suma importancia para la radiobiología , ya que es la interacción más probable de los rayos gamma y los rayos X de alta energía con los átomos en los seres vivos y se aplica en la radioterapia . ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La dispersión Compton es un efecto importante en la espectroscopia gamma que da lugar al borde Compton , ya que es posible que los rayos gamma se dispersen fuera de los detectores utilizados. La supresión Compton se utiliza para detectar los rayos gamma dispersos y contrarrestar este efecto.

• S. Chen; H. Avakian; V. Burkert; L. Vandenaweele; P. Eugenio; la colaboración CLAS; Ambrozewicz; Anghinolfi; Asryan; Bagdasaryan; Baillie; Ball; Baltzell; Barrow; Batourine; Battaglieri; Beard; Bedlinskiy; Bektasoglu; Bellis; Benmouna; Berman; Biselli; Bonner; Bouchigny; Boiarinov; Bosted; Bradford; Branford; et  al. (2006). "Medición de la dispersión Compton virtual profunda con un blanco de protones polarizados". Physical Review Letters . 97 (7) 072002. arXiv : hep-ex/0605012 . Bibcode : 2006PhRvL..97g2002C . doi : 10.1103/ PhysRevLett.97.072002 . PMID 17026221. S2CID 15326395 .  
• Compton, Arthur H. (mayo de 1923). "Una teoría cuántica de la dispersión de rayos X por elementos ligeros" . Physical Review . 21 (5): 483– 502. Bibcode : 1923PhRv...21..483C . doi : 10.1103/PhysRev.21.483 .(El artículo original de 1923 en el sitio web de la APS )
• Stuewer, Roger H. (1975), El efecto Compton: un punto de inflexión en la física (Nueva York: Science History Publications)

• Dispersión de Compton – Universidad Estatal de Georgia
• Datos de dispersión Compton – Universidad Estatal de Georgia
• Derivación de la ecuación de desplazamiento de Compton