Dispersión Compton inversa no lineal

La dispersión Compton inversa no lineal ( NICS ), también conocida como dispersión Compton no lineal y dispersión Compton multifotón , es la dispersión de múltiples fotones de baja energía , dada por un campo electromagnético intenso , en un fotón de alta energía ( rayos X o rayos gamma ) durante la interacción con una partícula cargada , en muchos casos un electrón . ^[1] Este proceso es una variante invertida de la dispersión Compton ya que, al contrario de esta, la partícula cargada transfiere su energía al fotón de alta energía saliente en lugar de recibir energía de un fotón de alta energía entrante. ^{[2] [3]} Además, a diferencia de la dispersión Compton, este proceso es explícitamente no lineal porque las condiciones para la absorción multifotónica por la partícula cargada se alcanzan en presencia de un campo electromagnético muy intenso, por ejemplo, el producido por láseres de alta intensidad . ^{[1] [4]}

La dispersión Compton inversa no lineal es un proceso de dispersión que pertenece a la categoría de fenómenos de interacción luz-materia. La absorción de múltiples fotones del campo electromagnético por la partícula cargada provoca la consiguiente emisión de un rayo X o un rayo gamma con energía comparable o superior con respecto a la energía en reposo de la partícula cargada . ^[4]

El potencial vectorial normalizado ayuda a aislar el régimen en el que se produce la dispersión Compton inversa no lineal ( es la carga del electrón, es la masa del electrón, la velocidad de la luz y el potencial vectorial). Si , el fenómeno de emisión se puede reducir a la dispersión de un solo fotón por un electrón, que es el caso de la dispersión Compton inversa . Mientras que, si , se produce NICS y las amplitudes de probabilidad de emisión tienen dependencias no lineales del campo. Por esta razón, en la descripción de la dispersión Compton inversa no lineal, se denomina parámetro de no linealidad clásica. ^{[1] [5]}${\displaystyle {a_{0}=eA/(mc^{2})}}$${\estilo de visualización e}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle a_{0}\ll 1}$${\displaystyle a_{0}\gg 1}$${\displaystyle a_{0}}$

El proceso físico de dispersión Compton inversa no lineal se introdujo teóricamente por primera vez en diferentes artículos científicos a partir de 1964. ^[1] Antes de esta fecha, habían surgido algunos trabajos seminales que trataban la descripción del límite clásico de NICS, llamado dispersión de Thomson no lineal o dispersión de Thomson multifotón. ^{[1] [6]} En 1964, se publicaron diferentes artículos sobre el tema de la dispersión de electrones en campos electromagnéticos intensos por LS Brown y TWB Kibble, ^[7] y por AI Nikishov y VI Ritus, ^{[8] [9]} entre otros. ^{[10] [11] [1]} El desarrollo de los sistemas láser de alta intensidad necesarios para estudiar el fenómeno ha motivado los continuos avances en los estudios teóricos y experimentales de NICS. ^[4] En el momento de los primeros estudios teóricos, los términos dispersión Compton no lineal (inversa) y dispersión Compton multifotónica no se utilizaban todavía y fueron surgiendo progresivamente en trabajos posteriores. ^[12] El caso de un electrón dispersándose a partir de fotones de alta energía en el campo de una onda plana de fondo monocromática con polarización circular o lineal fue uno de los temas más estudiados al principio. ^{[13] [5] [1]} Luego, algunos grupos han estudiado un escenario de dispersión Compton inversa no lineal más complicado, considerando campos electromagnéticos complejos de extensión espacial y temporal finita, típicos de pulsos láser. ^{[14] [15]}

El advenimiento de las técnicas de amplificación láser y en particular de la amplificación de pulsos chirped (CPA) ha permitido alcanzar intensidades láser suficientemente altas para estudiar nuevos regímenes de interacción luz-materia y observar significativamente la dispersión Compton inversa no lineal y sus efectos peculiares. ^[16] La dispersión de Thomson no lineal se observó por primera vez en 1983 con un haz de electrones de keV que colisionaba con un láser Nd:YAG conmutado por Q que proporcionaba una intensidad de W/cm ² ( ), se produjeron fotones de frecuencia dos veces la del láser, ^[17] luego en 1995 con un láser CPA de intensidad máxima alrededor de W/cm ² interactuando con gas neón, ^[18] y en 1998 en la interacción de un láser Nd:YAG de modo bloqueado ( W/cm ² , ) con electrones de plasma de un chorro de gas helio, produciendo múltiples armónicos de la frecuencia del láser. ^[19] El NICS se detectó por primera vez en un experimento pionero ^[20] en el Laboratorio Nacional de Aceleradores SLAC de la Universidad de Stanford, EE. UU. En este experimento, la colisión de un haz de electrones ultrarrelativista, con energía de aproximadamente GeV, con un láser de Nd: vidrio de teravatios , con una intensidad de W/cm ² ( , ), produjo fotones de NICS que se observaron indirectamente a través de un cambio de energía no lineal en el espectro de electrones en la salida; la consiguiente generación de positrones también se observó en este experimento. ^{[21] [1]}${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1.7\cdot 10^{14}}$${\displaystyle a_{0}=0.01}$${\displaystyle 10^{18}}$${\displaystyle 4.4\cdot 10^{18}}$${\displaystyle a_{0}=1.88}$${\displaystyle 46.6}$${\displaystyle 10^{18}}$${\displaystyle a_{0}=0.8}$${\displaystyle \chi =0.3}$

Se han realizado múltiples experimentos cruzando un pulso láser de alta energía con un haz de electrones relativista de un acelerador de electrones lineal convencional, pero se ha logrado un logro adicional en el estudio de la dispersión Compton inversa no lineal con la realización de configuraciones totalmente ópticas. ^[1] En estos casos, un pulso láser es responsable tanto de la aceleración de electrones, a través de los mecanismos de aceleración de plasma , como de la dispersión Compton inversa no lineal que ocurre en la interacción de electrones acelerados con un pulso láser (posiblemente contrapropagándose con respecto a los electrones). Uno de los primeros experimentos de este tipo se realizó en 2006 produciendo fotones de energía de a keV con un haz láser Ti:Sa ( W/cm ² ). ^{[22] [1]} La investigación aún está en curso y activa en este campo como lo atestiguan las numerosas publicaciones teóricas y experimentales. ^{[23] [24] [25] [26] [27]}${\displaystyle 0.4}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2\cdot 10^{19}}$

El límite clásico de la dispersión Compton inversa no lineal, también llamada dispersión de Thomson no lineal y dispersión de Thomson multifotón, es un caso especial de emisión sincrotrón clásica impulsada por la fuerza ejercida sobre una partícula cargada por campos eléctricos y magnéticos intensos . ^[23] Prácticamente, una carga en movimiento emite radiación electromagnética mientras experimenta la fuerza de Lorentz inducida por la presencia de estos campos electromagnéticos. ^[2] El cálculo del espectro emitido en este caso clásico se basa en la solución de la ecuación de Lorentz para la partícula y la sustitución de la trayectoria de la partícula correspondiente en los campos de Liénard-Wiechert . ^[1] En lo que sigue, las partículas cargadas consideradas serán electrones y se utilizarán unidades gaussianas .

El componente de la fuerza de Lorentz perpendicular a la velocidad de la partícula es el componente responsable de la aceleración radial local y, por lo tanto, de la parte relevante de la emisión de radiación por un electrón relativista de carga , masa y velocidad . ^[2] En una imagen simplificada, se puede suponer una trayectoria circular local para una partícula relativista y se puede asumir una fuerza centrípeta relativista igual a la magnitud de la fuerza de Lorentz perpendicular que actúa sobre la partícula: ^[28] y son los campos eléctrico y magnético respectivamente, es la magnitud de la velocidad del electrón y es el factor de Lorentz . ^[2] Esta ecuación define una dependencia simple del radio de curvatura local en la velocidad de la partícula y en los campos electromagnéticos sentidos por la partícula. Dado que el movimiento de la partícula es relativista, la magnitud se puede sustituir por la velocidad de la luz para simplificar la expresión para . ^[2] Dada una expresión para , el modelo dado en el Ejemplo 1: imán de flexión se puede utilizar para describir aproximadamente el límite clásico de la dispersión Compton inversa no lineal. De esta manera, la distribución de potencia en frecuencia de la dispersión de Thomson no lineal por una partícula cargada relativista puede verse como equivalente al caso general de emisión de sincrotrón con los parámetros principales explícitamente dependientes de la velocidad de la partícula y de los campos electromagnéticos. ^[23]${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \gamma {\dfrac {mv^{2}}{\rho }}=e{\sqrt {\left(\mathbf {E} +{\dfrac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} \right)^{2}-\left({\dfrac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }{v}}\right)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Al aumentar la intensidad del campo electromagnético y la velocidad de las partículas, la emisión de fotones con energía comparable a la del electrón se hace más probable y la dispersión Compton inversa no lineal comienza a diferir progresivamente del límite clásico debido a efectos cuánticos como el retroceso de fotones. ^{[1] [5]} Se puede introducir un parámetro adimensional, llamado parámetro cuántico del electrón, para describir qué tan lejos está la condición física del límite clásico y cuánto importan los efectos no lineales y cuánticos. ^{[1] [5]} Este parámetro viene dado por la siguiente expresión:

donde V/m es el campo de Schwinger . En la literatura científica, también se llama . ^[23] El campo de Schwinger , que aparece en esta definición, es un campo crítico capaz de realizar sobre los electrones un trabajo de sobre una longitud Compton reducida , donde es la constante de Planck reducida . ^{[29] [30]} La presencia de un campo tan fuerte implica la inestabilidad del vacío y es necesario explorar efectos QED no lineales , como la producción de pares a partir del vacío. ^{[1] [30]} El campo de Schwinger corresponde a una intensidad de casi W/cm ² . ^[23] En consecuencia, representa el trabajo, en unidades de , realizado por el campo sobre la longitud Compton y de esta manera también mide la importancia de los efectos cuánticos no lineales ya que compara la intensidad del campo en el sistema de reposo del electrón con la del campo crítico. ^{[13] [5] [31]} Los efectos cuánticos no lineales, como la producción de un par electrón-positrón en el vacío, ocurren por encima del campo crítico , sin embargo, también se pueden observar muy por debajo de este límite ya que las partículas ultrarrelativistas con factor de Lorentz igual a ven campos del orden de en su marco de reposo. ^[5] también se llama parámetro cuántico no lineal mientras que es una medida de la magnitud de los efectos cuánticos no lineales. ^[5] El parámetro cuántico del electrón está vinculado a la magnitud de la fuerza cuaternaria de Lorentz que actúa sobre la partícula debido al campo electromagnético y es un invariante de Lorentz : ^[5] La fuerza cuaternaria que actúa sobre la partícula es igual a la derivada del momento cuaternario con respecto al tiempo propio . ^[2] Utilizando este hecho en el límite clásico, la potencia radiada según la generalización relativista de la fórmula de Larmor se convierte en: ^[13] Como resultado, la emisión se mejora con valores más altos de y, por lo tanto, se pueden hacer algunas consideraciones sobre cuáles son las condiciones para una emisión prolífica, evaluando más a fondo la definición ( 1 ). El parámetro cuántico del electrón aumenta con la energía del electrón (proporcionalidad directa a ) y es mayor cuando aumenta la fuerza ejercida por el campo perpendicularmente a la velocidad de la partícula. ^[28]${\displaystyle E_{s}=m^{2}c^{3}/(\hbar e)\simeq 1.3\cdot 10^{18}}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle E_{s}}$${\displaystyle mc^{2}}$ ${\displaystyle \hbar /(mc)}$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle 10^{29}}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle mc^{2}}$${\displaystyle \hbar /(mc)}$${\displaystyle E_{s}}$${\displaystyle E_{s}/|\mathbf {E} |}$${\displaystyle E_{s}}$ ${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle \chi ={\dfrac {e\hbar }{m^{3}c^{4}}}|F_{\alpha \beta }p^{\alpha }|}$$$${\displaystyle P={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}m^{2}c^{3}}{\hbar ^{2}}}\chi ^{2}}$$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \gamma }$

Considerando una onda plana el parámetro cuántico del electrón puede reescribirse usando esta relación entre los campos eléctrico y magnético: ^[2] donde es el vector de onda de la onda plana y la magnitud del vector de onda. Insertando esta expresión en la fórmula de : donde se utilizó la identidad vectorial . Elaborando la expresión: Dado que para una onda plana y los dos últimos términos bajo la raíz cuadrada se compensan entre sí, se reduce a: ^[28]$${\displaystyle \mathbf {B} ={\dfrac {\mathbf {k} \times \mathbf {E} }{k}}}$$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle \chi ={\dfrac {\gamma }{E_{s}}}{\sqrt {\left(\mathbf {E} +{\dfrac {(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )}{c}}{\dfrac {\mathbf {k} }{k}}-{\dfrac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )}{kc}}\mathbf {E} \right)^{2}-\left({\dfrac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }{c}}\right)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }$$${\displaystyle \chi ={\dfrac {\gamma }{E_{s}}}{\sqrt {\left[\mathbf {E} \left(1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} }{kc}}\right)\right]^{2}-2\left(1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} }{kc}}\right)\left({\dfrac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }{kc}}\right)\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} +\left({\dfrac {(\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} )}{c}}{\dfrac {\mathbf {k} }{k}}\right)^{2}-\left({\dfrac {\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }{c}}\right)^{2}}}}$$${\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {E} =0}$${\displaystyle \chi }$ $${\displaystyle \chi ={\dfrac {\gamma |\mathbf {E} |}{E_{s}}}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} }{kc}}\right)^{2}}}}$$

En la configuración simplificada de una onda plana que incide sobre el electrón, se obtienen valores más altos del parámetro cuántico del electrón cuando la onda plana se propaga en sentido contrario con respecto a la velocidad del electrón. ^[28]

Una descripción completa de la dispersión Compton inversa no lineal debe incluir algunos efectos relacionados con la cuantificación de la luz y la materia. ^{[1] [5] [13]} Los principales se enumeran a continuación.

• Inclusión de la discretización de la radiación emitida, es decir, la introducción de fotones con respecto a la descripción continua del límite clásico. ^[2] Este efecto no cambia cuantitativamente las características de emisión pero cambia cómo se interpreta la radiación emitida. ^[2] Se puede introducir un parámetro equivalente a para el fotón de frecuencia y se llama parámetro cuántico del fotón: ^{[23] [5]} donde es el vector de onda de cuatro ondas del fotón y es el vector de onda tridimensional. En el límite en el que la partícula se acerca a la velocidad de la luz, la relación entre y es igual a: A partir de la distribución de frecuencia de la energía radiada se puede obtener una tasa de emisión de fotones de alta energía distribuida en como una función de y pero aún válida en el límite clásico: ^[32]${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \omega }$$${\displaystyle \eta ={\dfrac {e\hbar ^{2}}{m^{3}c^{4}}}|F_{\alpha \beta }k^{\alpha }|}$$${\displaystyle k^{\alpha }=(\omega /c,\mathbf {k} )}$${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \chi }$$${\displaystyle \zeta ={\dfrac {\eta }{\chi }}\simeq {\dfrac {\hbar \omega }{\gamma mc^{2}}}}$$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle \eta }$

donde representa las funciones de McDonald . La energía media del fotón emitido está dada por ^[2] . En consecuencia, un factor de Lorentz grande y campos intensos aumentan la posibilidad de producir fotones de alta energía. se debe a esta fórmula. ${\displaystyle K_{\alpha }}$ ${\textstyle \langle \hbar \omega \rangle =4\chi \gamma mc^{2}/(5{\sqrt {3}})}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \chi }$

• El efecto de la reacción de radiación , debido al retroceso del fotón . ^{[13] [33]} La energía del electrón después del proceso de interacción se reduce porque parte de ella se entrega al fotón emitido y la energía máxima alcanzable por el fotón emitido no puede ser mayor que la energía cinética del electrón . Este efecto no se tiene en cuenta en la dispersión de Thomson no lineal en la que se supone que la energía del electrón permanece casi inalterada en energía, como en la dispersión elástica . Los efectos de la reacción de radiación cuántica se vuelven importantes cuando la energía del fotón emitido se aproxima a la energía del electrón. Dado que , si el límite clásico de NICS es una descripción válida, mientras que para la energía del fotón emitido es del orden de la energía del electrón y el retroceso del fotón es muy relevante. ^[33]${\displaystyle \chi \sim \zeta \sim \hbar \omega /(\gamma mc^{2})}$${\displaystyle \chi ,\zeta \ll 1}$${\displaystyle \chi ,\zeta \sim 1}$
• La cuantificación del movimiento del electrón y los efectos del espín . ^{[13] [28]} Se realiza una descripción precisa de la dispersión Compton inversa no lineal considerando la dinámica del electrón descrita con la ecuación de Dirac en presencia de un campo electromagnético. ^[1]

Cuando el campo entrante es muy intenso , la interacción del electrón con el campo electromagnético es completamente equivalente a la interacción del electrón con múltiples fotones, sin necesidad de cuantificar explícitamente el campo electromagnético de la radiación entrante de baja energía. ^[5] Mientras que la interacción con el campo de radiación, es decir, el fotón emitido, se trata con la teoría de perturbaciones: la probabilidad de emisión del fotón se evalúa considerando la transición entre los estados del electrón en presencia del campo electromagnético. ^[5] Este problema se ha resuelto principalmente en el caso en el que los campos eléctrico y magnético son ortogonales e iguales en magnitud (campo cruzado); en particular, se ha considerado el caso de una onda electromagnética plana. ^{[8] [5]} Los campos cruzados representan en buena aproximación muchos campos existentes por lo que la solución encontrada puede considerarse bastante general. ^[5] El espectro de dispersión Compton inversa no lineal, obtenido con este enfoque y válido para y , es: ^[28]${\displaystyle a_{0}\gg 1}$${\displaystyle a_{0}\gg 1}$${\displaystyle \gamma \gg 1}$

donde el parámetro , ahora se define como: El resultado es similar al clásico excepto por la diferente expresión de . Porque se reduce al espectro clásico ( 2 ). Nótese que si ( o ) el espectro debe ser cero porque la energía del fotón emitido no puede ser mayor que la energía del electrón, en particular no podría ser mayor que la energía cinética del electrón . ^[13]${\displaystyle y}$$${\displaystyle y={\dfrac {2\eta }{3\chi (\chi -\eta )}}={\dfrac {2\zeta }{3\chi (1-\zeta )}}}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle \chi ,\zeta \to 0}$${\displaystyle \zeta \geq 1}$${\displaystyle \eta \geq \chi }$${\displaystyle y<0}$${\displaystyle (\gamma -1)mc^{2}}$

La potencia total emitida en radiación viene dada por la integración en del espectro ( 3 ): ^[34] donde el resultado de la integración de está contenido en el último término: ^[28]${\displaystyle \eta }$$${\displaystyle P={\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}m^{2}c^{3}}{\hbar ^{2}}}\chi ^{2}g(\chi )}$$${\displaystyle F(\chi ,\eta )}$

$${\displaystyle g(\chi )={\dfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi \chi ^{2}}}\int _{0}^{+\infty }F(\chi ,\eta )d\eta ={\dfrac {9{\sqrt {3}}}{8\pi }}\int _{0}^{+\infty }\left[{\dfrac {2y^{2}K_{\frac {5}{3}}(y)}{(2+3\chi y)^{2}}}+{\dfrac {36\chi ^{2}y^{3}K_{\frac {2}{3}}(y)}{2+3\chi y)^{4}}}\right]dy}$$Esta expresión es igual a la clásica si es igual a uno y puede expandirse en dos casos límite, cerca del límite clásico y cuando los efectos cuánticos son de mayor importancia: ^{[13] [28]} Una cantidad relacionada es la tasa de emisión de fotones: donde se hace explícito que la integración está limitada por la condición de que si no se pueden producir fotones. ^[23] Esta tasa de emisión de fotones depende explícitamente del parámetro cuántico del electrón y del factor de Lorentz para el electrón. ${\displaystyle g(\chi )}$$${\displaystyle {\begin{cases}P\approx {\dfrac {2}{3}}{\dfrac {e^{2}m^{2}c^{3}}{\hbar ^{2}}}\left(1-{\dfrac {55{\sqrt {3}}}{16}}\chi +48\chi ^{2}\right),&{\text{for }}\chi \ll 1\\P\approx 0.37{\dfrac {e^{2}m^{2}c^{3}}{\hbar ^{2}}}(3\chi )^{\frac {2}{3}},&{\text{for }}\chi \gg 1\end{cases}}}$$$${\displaystyle {\dfrac {dN}{dt}}={\dfrac {\sqrt {3}}{2\pi }}{\dfrac {q^{2}mc}{\hbar ^{2}}}{\dfrac {\chi }{\gamma }}\int _{0}^{\chi }{\dfrac {F(\chi ,\eta )}{\eta }}d\eta }$$${\displaystyle \eta \geq \chi }$

La dispersión Compton inversa no lineal es un fenómeno interesante para todas las aplicaciones que requieren fotones de alta energía, ya que NICS es capaz de producir fotones con energía comparable o superior. ^[1] En el caso de los electrones, esto significa que es posible producir fotones con energía de MeV que, en consecuencia, pueden desencadenar otros fenómenos como la producción de pares, la producción de pares Breit-Wheeler , la dispersión Compton y las reacciones nucleares . ^{[35] [23] [36]}${\displaystyle mc^{2}}$

En el contexto de la aceleración láser-plasma, pueden estar presentes tanto electrones relativistas como pulsos láser de intensidad ultraalta, lo que establece condiciones favorables para la observación y la explotación de la dispersión Compton inversa no lineal para la producción de fotones de alta energía, para el diagnóstico del movimiento de electrones y para sondear los efectos cuánticos no lineales y la QED no lineal. ^[1] Debido a esta razón, se han introducido varias herramientas numéricas para estudiar la dispersión Compton inversa no lineal. ^[1] Por ejemplo, se han desarrollado códigos de partículas en celdas para el estudio de la aceleración láser-plasma con las capacidades de simular la dispersión Compton inversa no lineal con métodos de Monte Carlo . ^[37] Estas herramientas se utilizan para explorar los diferentes regímenes de NICS en el contexto de la interacción láser-plasma. ^{[22] [27] [26]}

• Dispersión Compton
• Radiación de sincrotrón
• Proceso Breit-Wheeler
• Electrodinámica cuántica
• Láser

• Emisión de fotones de alta energía y reacción de radiación en el código PIC SMILEI: ejemplo de código de partícula en celda con un módulo para simulación NICS.
• Investigación CORELS - Ejemplo de actividad de investigación en NICS.