longitud de onda de Compton

La longitud de onda de Compton se define como la longitud de onda de un fotón cuya energía es igual a la energía en reposo de esa partícula. ^{[ 1 ] : 237} La longitud de onda establece el espacio mínimo requerido para una partícula relativista libre, ^{[ 2 ]} y se utiliza como una línea divisoria entre las combinaciones de masa y tamaño que requieren mecánica cuántica y aquellas que pueden describirse con teorías clásicas. ^{[ 3 ]}

Fue introducido por Arthur Compton en 1923 en su explicación de la dispersión de fotones por electrones (un proceso conocido como dispersión Compton ). La longitud de onda del fotón saliente,${\displaystyle \lambda '}$, se desplaza de la longitud de onda del fotón incidente,${\displaystyle \lambda _{0}}$, por una cantidad dada por $${\displaystyle \lambda '-\lambda _{0}=\lambda _{c}(1-\cos \theta )}$$ con${\displaystyle \lambda _{c}={h}/{mc}}$, donde h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz . ^{[ 1 ]}

La longitud de onda Compton reducida ƛ ( lambda barrada ) de una partícula se define como su longitud de onda Compton dividida por 2π : $${\displaystyle \lambda \!\!\!{\bar {}}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$$ donde ħ es la constante de Planck reducida . La longitud de onda de Compton reducida es una representación natural de la masa en la escala cuántica y se utiliza en ecuaciones relacionadas con la masa inercial, como las ecuaciones de Klein-Gordon y Schrödinger. ^{[ 4 ]}

^{Las ecuaciones que se refieren a las longitudes de onda de los} fotones que interactúan con la masa utilizan la longitud de onda de Compton no reducida. Una partícula de masa m tiene una energía en reposo de E = mc² . La longitud de onda de Compton para esta partícula es la longitud de onda de un fotón de la misma energía. Para fotones de frecuencia f , la energía viene dada por $${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$ lo que produce la fórmula de la longitud de onda de Compton si se resuelve para λ .

La longitud de onda Compton reducida inversa es una representación natural de la masa en la escala cuántica y, como tal, aparece en las ecuaciones fundamentales de la mecánica cuántica. La longitud de onda Compton reducida aparece en la ecuación relativista de Klein-Gordon para una partícula libre : $${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

Aparece en la ecuación de Dirac (la siguiente es una forma explícitamente covariante que emplea la convención de suma de Einstein ): $${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

La longitud de onda Compton reducida también está presente en la ecuación de Schrödinger para un electrón en un átomo similar al hidrógeno , aunque esto no es fácilmente evidente en las representaciones tradicionales de la ecuación. La siguiente es la representación tradicional de la ecuación de Schrödinger: $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

Dividiendo por ħc y reescribiendo en términos de la constante de estructura fina , se obtiene: $${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

Las longitudes atómicas típicas, los números de onda y las áreas en física se pueden relacionar con la longitud de onda Compton reducida para el electrón ( ⁠${\displaystyle \textstyle \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _ {\text{e}}}{2\pi }}\simeq \mathrm {386~fm} }$⁠ ) ​​y la constante de estructura fina electromagnética ( ⁠${\displaystyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$⁠ ).

El radio clásico del electrón es aproximadamente 3 veces mayor que el radio del protón y se escribe: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

El radio de Bohr se relaciona con la longitud de onda de Compton mediante: $${\displaystyle a_{0}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

El número de onda angular de un fotón con un hartree (la unidad atómica de energía )${\displaystyle E_{\text{h}}=4\pi \hbar cR_{\infty }}$, donde​${\displaystyle R_{\infty }}$donde es la constante de Rydberg , siendo (aproximadamente) la energía potencial negativa del electrón en el átomo de hidrógeno, y el doble de la energía necesaria para ionizarlo, es: $${\displaystyle {\frac {\hbar c}{E_{\text{h}}}}={\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}={\frac {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 7.25~{\textrm {nm}}}$$

Esto produce la siguiente secuencia: $${\displaystyle \alpha ^{-1}r_{\text{e}}=\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{e}}=\alpha a_{0}=\alpha ^{2}{\hbar c/E_{\text{h}}}.}$$

Para los fermiones , el radio clásico (electromagnético) establece la sección transversal de las interacciones electromagnéticas de una partícula. Por ejemplo, la sección transversal para la dispersión de Thomson de un fotón por un electrón es igual a $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {e} }={\frac {8\pi }{3}}r_{\text{e}}{}^{2}\simeq \mathrm {66.5~fm^{2}} ,}$$ que es aproximadamente igual al área de la sección transversal de un núcleo de hierro-56.

Se ha demostrado un origen geométrico de la longitud de onda de Compton utilizando ecuaciones semiclasicas que describen el movimiento de un paquete de ondas. ^{[ 11 ]} En este caso, la longitud de onda de Compton es igual a la raíz cuadrada de la métrica cuántica, una métrica que describe el espacio cuántico :${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$.​

• longitud de onda de De Broglie
• Relación de Planck

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