Complejidad computacional de las operaciones matemáticas

{\displaystyle N} — Gráficas de funciones comúnmente utilizadas en el análisis de algoritmos, que muestran el número de operaciones. $N$ versus tamaño de entrada $n$ para cada función

Las siguientes tablas enumeran la complejidad computacional de varios algoritmos para operaciones matemáticas comunes .

Aquí, la complejidad se refiere a la complejidad temporal de realizar cálculos en una máquina de Turing de cintas múltiples . ^{[ 1 ]} Consulte la notación O grande para obtener una explicación de la notación utilizada.

Nota: Debido a la variedad de algoritmos de multiplicación, $M(n)$ A continuación se muestra la complejidad del algoritmo de multiplicación elegido.

Funciones aritméticas

Esta tabla enumera la complejidad de las operaciones matemáticas con números enteros.

En modelos computacionales más robustos, específicamente una máquina de punteros y, por consiguiente, también una máquina de acceso aleatorio de costo unitario, es posible multiplicar dos números $de n$ bits en tiempo O ( n ). ^{[ 6 ]}

Funciones algebraicas

Aquí consideramos operaciones sobre polinomios y $n$ denota su grado; para los coeficientes usamos un modelo de costo unitario , ignorando el número de bits en un número. En la práctica, esto significa que asumimos que son enteros de máquina. Para esta sección $M(n)$ indica el tiempo necesario para multiplicar dos polinomios de grado como máximo $n$ . ^{[ 7 ]}^{: 242}

Funciones especiales

Muchos de los métodos de esta sección se presentan en Borwein y Borwein. ^{[ 8 ]}

Funciones elementales

Las funciones elementales se construyen componiendo operaciones aritméticas, la función exponencial ( $\exp$ ), el logaritmo natural ( $\log$ ), funciones trigonométricas ( $\sin ,\cos$ ), y sus inversas. La complejidad de una función elemental es equivalente a la de su inversa, ya que todas las funciones elementales son analíticas y, por lo tanto, invertibles mediante el método de Newton. En particular, si alguna de ellas $\exp$ o $\log$ En el dominio complejo, si se puede calcular con cierta complejidad, entonces esa complejidad es alcanzable para todas las demás funciones elementales.

Abajo, el tamaño $n$ Se refiere al número de dígitos de precisión con los que se debe evaluar la función.

Se desconoce si $O(M(n)\log n)$ es la complejidad óptima para funciones elementales. La cota inferior más conocida es la cota trivial. $\Omega$ $(M(n))$ .

Funciones no elementales

Constantes matemáticas

Esta tabla muestra la complejidad del cálculo de aproximaciones a las constantes dadas. $n$ dígitos correctos.

teoría de números

En la teoría computacional de números se estudian algoritmos para cálculos teóricos de números .

Álgebra matricial

Las siguientes cifras de complejidad suponen que la aritmética con elementos individuales tiene una complejidad O (1), como es el caso de la aritmética de punto flotante de precisión fija o las operaciones en un campo finito .

En 2005, Henry Cohn , Robert Kleinberg , Balázs Szegedy y Chris Umans demostraron que cualquiera de dos conjeturas diferentes implicaría que el exponente de la multiplicación de matrices es 2. ^{[ 38 ]}

Transforma

Los algoritmos para calcular transformadas de funciones (en particular, transformadas integrales ) se utilizan ampliamente en todas las áreas de las matemáticas, especialmente en el análisis y el procesamiento de señales .

Notas

↑ Esta forma de tiempo subexponencial es válida para todos $\varepsilon >0$ Una forma más precisa de la complejidad se puede expresar como: $O{\mathord {\left(\exp {\sqrt[{3}]{{\frac {64}{9}}b(\log b)^{2}}}\right)}}.$

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