Puntos concíclicos

En geometría , se dice que un conjunto de puntos es concíclico (o cocíclico ) si se encuentran sobre una circunferencia común . Un polígono cuyos vértices son concíclicos se llama polígono cíclico , y la circunferencia se llama su circunferencia circunscrita o circunferencia circunscrita . Todos los puntos concíclicos son equidistantes del centro de la circunferencia.

Tres puntos en el plano que no se encuentran todos sobre una línea recta son concíclicos, por lo que todo triángulo es un polígono cíclico, con una circunferencia circunscrita bien definida . Sin embargo, cuatro o más puntos en el plano no son necesariamente concíclicos. Después de los triángulos, el caso especial de los cuadriláteros cíclicos ha sido el más estudiado.

En general, el centro O de un círculo sobre el cual se encuentran los puntos P y Q debe ser tal que OP y OQ estén a la misma distancia. Por lo tanto, O debe estar sobre la mediatriz del segmento de recta PQ. [ 1 ] Para n puntos distintos hay n ( n − 1 ) / 2 ^{bisectrices , y} la condición concíclica es que todas se encuentren en un solo punto, el centro O.

Los vértices de cada triángulo caen sobre una circunferencia llamada circunferencia circunscrita . (Por ello, algunos autores definen "concíclico" únicamente en el contexto de cuatro o más puntos sobre una circunferencia). ^{[ 2 ]} Otros conjuntos de puntos definidos a partir de un triángulo también son concíclicos, con circunferencias diferentes; véase la circunferencia de nueve puntos ^{[ 3 ]} y el teorema de Lester . ^{[ 4 ]}

El radio del círculo sobre el que se encuentra un conjunto de puntos es, por definición, el radio de la circunferencia circunscrita a cualquier triángulo cuyos vértices se encuentren en tres de esos puntos. Si las distancias entre pares de puntos son a , b y c , entonces el radio del círculo es

$${\displaystyle R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}.}$$

Aquí se presenta la ecuación de la circunferencia circunscrita a un triángulo, así como expresiones para el radio y las coordenadas del centro de la circunferencia, en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices .

Un cuadrilátero ABCD con vértices concíclicos se llama cuadrilátero cíclico ; esto sucede si y solo si ∠ CAD = ∠ CBD (el teorema del ángulo inscrito ) que es verdadero si y solo si los ángulos opuestos dentro del cuadrilátero son suplementarios . ^{[ 6 ]} Un cuadrilátero cíclico con lados sucesivos a , b , c , d y semiperímetro s = ⁠ a + b + c + d / 2 ⁠ tiene su radio de circunferencia dado por ^{[ 7 ] [ 8 ]}$${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(sa)(sb)(sc)(sd)}}},}$$ una expresión que fue acuñada por el matemático indio Vatasseri Parameshvara en el siglo XV.

By Ptolemy's theorem, if a quadrilateral is given by the pairwise distances between its four vertices A, B, C, and D in order, then it is cyclic if and only if the product of the diagonals equals the sum of the products of opposite sides:

$${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD.}$$

If two lines, one containing segment AC and the other containing segment BD, intersect at X, then the four points A, B, C, D are concyclic if and only if^[9]$${\displaystyle AX\cdot XC=BX\cdot XD.}$$

The intersection X may be internal or external to the circle. This theorem is known as power of a point.

A convex quadrilateral is orthodiagonal (has perpendicular diagonals) if and only if the midpoints of the sides and the feet of the four altitudes are eight concyclic points, on what is called the eight-point circle.

More generally, a polygon in which all vertices are concyclic is called a cyclic polygon. A polygon is cyclic if and only if the perpendicular bisectors of its edges are concurrent.^[10] Every regular polygon is a cyclic polygon.

For a cyclic polygon with an odd number of sides, all angles are equal if and only if the polygon is regular. A cyclic polygon with an even number of sides has all angles equal if and only if the alternate sides are equal (that is, sides 1, 3, 5, ... are equal, and sides 2, 4, 6, ... are equal).^[11]

A cyclic pentagon with rational sides and area is known as a Robbins pentagon. In all known cases, its diagonals also have rational lengths, though whether this is true for all possible Robbins pentagons is an unsolved problem.^[12]

En cualquier n -gono cíclico con n par , la suma de un conjunto de ángulos alternos (el primero, tercero, quinto, etc.) es igual a la suma del otro conjunto de ángulos alternos. Esto se puede demostrar por inducción a partir del caso n = 4 , reemplazando en cada caso un lado por tres lados más y observando que estos tres nuevos lados, junto con el lado original, forman un cuadrilátero que posee esta propiedad; los ángulos alternos de este último cuadrilátero representan las sumas de los ángulos alternos del n -gono anterior.

Un polígono tangente es aquel que tiene una circunferencia inscrita tangente a cada lado del polígono; estos puntos de tangencia son, por lo tanto, concíclicos en la circunferencia inscrita. Consideremos un n -gono inscrito en una circunferencia, y otro n- gono tangente a esa circunferencia en los vértices del primer n- gono. Entonces, desde cualquier punto P de la circunferencia, el producto de las distancias perpendiculares desde P a los lados del primer n- gono es igual al producto de las distancias perpendiculares desde P a los lados del segundo n -gono. ^{[ 13 ]}

Polígono circunscrito constante

Todo polígono regular es cíclico. Consideremos un círculo unitario y luego circunscribamos un triángulo regular de modo que cada lado sea tangente al círculo. Circunscribamos un círculo y luego un cuadrado. Nuevamente, circunscribamos un círculo y luego un pentágono regular , y así sucesivamente. Los radios de los círculos circunscritos convergen a la llamada constante de circunscripción del polígono.

$${\displaystyle \prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos {\frac {\pi }{n}}}}=8.7000366\ldots .}$$

(secuencia A051762 en la OEIS ) . El recíproco de esta constante es la constante de Kepler-Bouwkamp .

En contextos donde las líneas se consideran un tipo de círculo generalizado con radio infinito, los puntos colineales (puntos a lo largo de una misma línea) se consideran concíclicos. Este punto de vista resulta útil, por ejemplo, al estudiar la inversión a través de un círculo o, más generalmente, las transformaciones de Möbius (transformaciones geométricas generadas por reflexiones e inversiones de círculos), ya que estas transformaciones conservan la conciclicidad de los puntos solo en este sentido extendido. ^{[ 16 ]}

En el plano complejo (formado al considerar las partes real e imaginaria de un número complejo como las coordenadas cartesianas x e y del plano), la conciclicidad tiene una formulación particularmente simple: cuatro puntos en el plano complejo son concíclicos o colineales si y solo si su razón antagónica es un número real . ^{[ 17 ]}

Algunos polígonos cíclicos tienen la propiedad de que su área y la longitud de todos sus lados son números enteros positivos. Los triángulos con esta propiedad se denominan triángulos heronianos ; los cuadriláteros cíclicos con esta propiedad (y cuyas diagonales que conectan vértices opuestos tienen longitud entera) se denominan cuadriláteros de Brahmagupta ; los pentágonos cíclicos con esta propiedad se denominan pentágonos de Robbins . En términos más generales, las versiones de estos polígonos cíclicos escaladas por un número racional tendrán áreas y longitudes de lados que también son números racionales.

Sea θ ₁ el ángulo formado por un lado del polígono cíclico visto desde el centro del círculo circunscrito. De manera similar, definimos los ángulos centrales θ ₂ , ..., θ _n para los n − 1 lados restantes. Todo triángulo heroniano y todo cuadrilátero de Brahmagupta tiene un valor racional para la tangente del ángulo de cuarto de ángulo, tan θ _k /4 , para cada valor de k . Todo pentágono de Robbins conocido (con diagonales de longitud racional) posee esta propiedad, aunque sigue siendo un problema sin resolver si todo pentágono de Robbins posible la posee.

Lo contrario es cierto para todos los polígonos cíclicos con cualquier número de lados; si todos los ángulos centrales tienen tangentes racionales para sus ángulos de cuarto de ángulo, entonces el polígono cíclico implícito, circunscrito por el círculo unitario, tendrá simultáneamente longitudes de lado racionales y área racional. Además, cada diagonal que conecta dos vértices, sean o no adyacentes, tendrá una longitud racional, al igual que cada apotema y cada sagita . Dicho polígono cíclico puede escalarse de manera que su área y longitudes sean todas números enteros.

Esta relación inversa proporciona una forma de generar polígonos cíclicos con área y longitud enteras. Para un polígono con n lados, sean c ₁ , ..., c _{n −1} números racionales distintos de cero donde c ₁ < ... < c _{n −1} . Estas son las tangentes de un cuarto de los ángulos acumulativos θ ₁ , θ ₁ + θ ₂ , ..., θ ₁ + ... + θ _{n −1} :

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}&=\tan {\tfrac {1}{4}}\theta _{1}\\c_{2}&=\tan {\tfrac {1}{4}}(\theta _{1}+\theta _{2})\\\vdots \ \,&\\c_{n-1}&=\tan {\tfrac {1}{4}}(\theta _{1}+\dots +\theta _{n-1})\end{aligned}}}$$

Utilizando la fórmula para la tangente de la diferencia de ángulos , las tangentes de los ángulos cuarto individuales se pueden encontrar como

$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}&=c_{1},\\[8pt]q_{k}&={\frac {c_{k}-c_{k-1}}{1+c_{k}c_{k-1}}},\quad k=2,\ldots ,n-1\\[4pt]q_{n}&={\frac {1}{c_{n-1}}}.\end{aligned}}}$$

A partir de estas tangentes angulares q ₁ , ..., q _n , se pueden hallar las longitudes de las cuerdas que forman los lados del polígono circunscrito utilizando la identidad del semiángulo :

$${\displaystyle s_{k}=2\sin {\frac {\theta _{k}}{2}}={\frac {4q_{k}}{1+q_{k}^{2}}},}$$

de esta forma se obtienen las longitudes de los lados s _k del polígono circunscrito. El área racional A se halla sumando las áreas de todos los k triángulos formados por los radios y las cuerdas (nótese que los radios tienen longitud 1):

$${\displaystyle A=\sum _{k}\sin {\frac {\theta _{k}}{2}}\cos {\frac {\theta _{k}}{2}}=\sum _{k}{\frac {2q_{k}(1-q_{k}^{2})}{(1+q_{k}^{2})^{2}}}.}$$

Estos se pueden convertir en números enteros escalando las longitudes de los lados mediante una constante común. Este método genera todos los polígonos cíclicos con área y longitud de lado enteras cuando también tienen diagonales racionales, pero no genera ninguno con una diagonal irracional; por lo tanto, sigue siendo un problema sin resolver si genera todos los pentágonos de Robins.

Un conjunto de cinco o más puntos es concíclico si y solo si todo subconjunto de cuatro puntos es concíclico. ^{[ 18 ]} Esta propiedad puede considerarse un análogo de la conciclicidad de la propiedad de Helly de los conjuntos convexos.

Un concepto relacionado es el de círculo mínimo delimitador , que es el círculo más pequeño que contiene completamente un conjunto de puntos. Cada conjunto de puntos en el plano tiene un único círculo mínimo delimitador, que puede construirse mediante un algoritmo de tiempo lineal . ^{[ 19 ]}

Aunque los puntos de un conjunto sean concíclicos, su circunferencia circunscrita puede ser diferente de su circunferencia delimitadora mínima. Por ejemplo, para un triángulo obtusángulo , la circunferencia delimitadora mínima tiene como diámetro el lado más largo y no pasa por el vértice opuesto.

• Weisstein, Eric W. "Concíclico" . MathWorld .
• Cuatro puntos concíclicos, por Michael Schreiber, Proyecto de demostraciones de Wolfram .