Cono (geometría algebraica)

En geometría algebraica, un cono es una generalización de un fibrado vectorial . Específicamente, dado un esquema X , el Spec relativo

${\displaystyle C=\operatorname {Spec} _{X}R}$

de un álgebra O _X graduada cuasi-coherente R se llama cono o cono afín de R . De manera similar, el Proj relativo

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R}$

se denomina cono proyectivo de C o R.

Nota : El cono viene con el${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$-acción debida a la graduación de R ; esta acción es parte de los datos de un cono (de ahí la terminología).

• Si X = Spec k es un punto y R es un anillo de coordenadas homogéneas , entonces el cono afín de R es el cono afín (usual) sobre la variedad proyectiva correspondiente a R.
• Si${\displaystyle R=\bigoplus _ {0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$para algún haz ideal yo , entonces${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$es el cono normal al esquema cerrado determinado por I.
• Si${\displaystyle R=\bigoplus _ {0}^{\infty }L^{\otimes n}}$para algún conjunto de líneas L , entonces${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$es el espacio total del dual de L.
• De manera más general, dado un fibrado vectorial (haz localmente libre de rango finito) E en X , si R =Sym( E ^* ) es el álgebra simétrica generada por el dual de E , entonces el cono${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R}$es el espacio total de E , a menudo escrito simplemente como E , y el cono proyectivo${\displaystyle \operatorname {Proj} _{X}R}$es el fibrado proyectivo de E , que se escribe como${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$.
• Dejar${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Sea X un haz coherente sobre una pila de Deligne-Mumford . Entonces, sea${\displaystyle C({\mathcal {F}}):=\operatorname {Spec} _{X}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}})).}$^{[ 1 ]} Para cualquier${\displaystyle f:T\to X}$Dado que Spec global es un adjunto derecho del functor de imagen directa, tenemos:${\displaystyle C({\mathcal {F}})(T)=\operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{X}}(\operatorname {Sym} ({\mathcal {F}}),f_{*}{\mathcal {O}}_{T})}$; En particular,${\displaystyle C({\mathcal {F}})}$es un esquema de grupo conmutativo sobre X.
• Sea R una función graduada${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-álgebra tal que${\displaystyle R_{0}={\mathcal {O}}_{X}}$y${\displaystyle R_{1}}$es coherente y genera R localmente como${\displaystyle R_{0}}$-álgebra. Luego hay una inmersión cerrada.

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R\hookrightarrow C(R_{1})}$

dado por${\displaystyle \operatorname {Sym} (R_{1})\to R}$. Debido a esto,${\displaystyle C(R_{1})}$se denomina casco abeliano del cono${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}R.}$Por ejemplo, si${\displaystyle R=\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$Para algún haz ideal I , entonces esta incrustación es la incrustación del cono normal en el haz normal.

Si${\displaystyle S\to R}$es un homomorfismo graduado de álgebras O _X graduadas , entonces se obtiene un morfismo inducido entre los conos:

${\displaystyle C_{R}=\operatorname {Spec} _{X}R\to C_{S}=\operatorname {Spec} _{X}S}$.

Si el homomorfismo es sobreyectivo, entonces se obtienen inmersiones cerradas.${\displaystyle C_{R}\hookrightarrow C_{S},\,\mathbb {P} (C_{R})\hookrightarrow \mathbb {P} (C_{S}).}$

En particular, suponiendo R ₀ = O _X , la construcción se aplica a la proyección${\displaystyle R=R_{0}\oplus R_{1}\oplus \cdots \to R_{0}}$(que es un mapa de aumento ) y da

${\displaystyle \sigma :X\hookrightarrow C_{R}}$.

Es una sección; es decir,${\displaystyle X{\overset {\sigma }{\to }}C_{R}\to X}$es la identidad y se denomina incrustación de sección cero.

Consideremos el álgebra graduada R [ t ] con variable t de grado uno: explícitamente, la pieza de grado n es

${\displaystyle R_{n}\oplus R_{n-1}t\oplus R_{n-2}t^{2}\oplus \cdots \oplus R_{0}t^{n}}$.

Entonces, su cono afín se denota por${\displaystyle C_{R[t]}=C_{R}\oplus 1}$El cono proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R}\oplus 1)}$se denomina completación proyectiva de C _R . De hecho, el lugar geométrico cero t  =  0 es exactamente${\displaystyle \mathbb {P} (C_{R})}$y el complemento es el subesquema abierto C _R . El lugar geométrico t  =  0 se llama hiperplano en el infinito.

Sea R un álgebra O _X graduada cuasi-coherente tal que R ₀ = O _X y R es generada localmente como álgebra O _X por R ₁ . Entonces, por definición, el cono proyectivo de R es:

${\displaystyle \mathbb {P} (C)=\operatorname {Proj} _{X}R=\varinjlim \operatorname {Proj} (R(U))}$

donde el colímite recorre subconjuntos afines abiertos U de X. Por suposición, R ( U ) tiene un número finito de generadores x _i de grado uno . Por lo tanto,

${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))\hookrightarrow \mathbb {P} ^{r}\times U.}$

Entonces${\displaystyle \operatorname {Proj} (R(U))}$tiene el fibrado de líneas O (1) dado por el fibrado de hiperplanos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$de${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$; pegando tales O (1) locales, que coinciden localmente, da el fibrado de líneas O (1) en${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$.

Para cualquier entero n , también se escribe O ( n ) para la n -ésima potencia tensorial de O (1). Si el cono C =Spec _X R es el espacio total de un fibrado vectorial E , entonces O (-1) es el fibrado lineal tautológico en el fibrado proyectivo P ( E ).

Nota : Cuando los generadores (locales) de R tienen grado distinto de uno, la construcción de O (1) sigue siendo válida, pero con un espacio proyectivo ponderado en lugar de un espacio proyectivo; por lo tanto, el O (1) resultante no es necesariamente un fibrado lineal. En el lenguaje de divisores , este O (1) corresponde a un divisor Q -Cartier.