Cono normal

En geometría algebraica, el cono normal de un subesquema de un esquema es un esquema análogo al fibrado normal o al vecindario tubular en geometría diferencial.

El cono normal C _X Y o de una incrustación i : X → Y , definido por algún haz de ideales I se define como el Spec relativo$Estilo de visualización C_{X/Y}}$ $${\displaystyle \operatorname {Espec} _{X}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}\right).}$$

Cuando la incrustación i es regular el cono normal es el fibrado normal, correspondiendo el fibrado vectorial en X al dual del haz I / I ² .

Si X es un punto, entonces el cono normal y el fibrado normal a él también se denominan cono tangente y espacio tangente ( espacio tangente de Zariski ) al punto. Cuando Y = Spec R es afín, la definición significa que el cono normal a X = Spec R / I es el Spec del anillo graduado asociado de R con respecto a I.

Si Y es el producto X × X y la incrustación i es la incrustación diagonal , entonces el fibrado normal a X en Y es el fibrado tangente a X .

El cono normal (o más bien su primo proyectivo) aparece como resultado de la explosión. Precisamente, sea la explosión de Y a lo largo de X . Entonces, por definición, el divisor excepcional es la preimagen ; que es el cono proyectivo de . Por lo tanto, $${\displaystyle \pi :\nombre del operador {Bl} _{X}Y=\nombre del operador {Proj} _{Y}\left(\bigoplus _{n=0}^{\infty }I^{n}\right)\to Y}$$$Estilo de visualización E=-1(X)$${\textstyle \bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}=\bigoplus _ {0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$$${\displaystyle E=\mathbb {P}(C_{X}Y).}$$

Las secciones globales del fibrado normal clasifican deformaciones infinitesimales embebidas de Y en X ; hay una biyección natural entre el conjunto de subesquemas cerrados de Y × _k D , planos sobre el anillo D de números duales y que tienen a X como fibra especial, y H ⁰ ( X , N _X Y ). ^[1]

Si son incrustaciones regulares , entonces es una incrustación regular y hay una secuencia exacta natural de fibrados vectoriales en X : ^[2]${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y,\,j:Y\hookrightarrow Z}$${\estilo de visualización j\circ i}$ $${\displaystyle 0\a N_{X/Y}\a N_{X/Z}\a i^{*}N_{Y/Z}\a 0.}$$

Si son incrustaciones regulares de codimensiones y si es una incrustación regular de codimensión entonces ^[2] En particular, si es un morfismo suave , entonces el fibrado normal a la incrustación diagonal ( r -fold) es la suma directa de r − 1 copias del fibrado tangente relativo . ${\displaystyle Y_{i}\hookrightarrow X}$$Estilo de visualización c_{i}}$${\textstyle W:=\bigcap _{i}Y_{i}\hookrightarrow X}$$${\displaystyle \suma c_{i}}$$ $${\displaystyle N_{W/X}=\bigoplus _{i}N_{Y_{i}/X}|_{W}.}$$${\displaystyle X\to S}$ $${\displaystyle \Delta :X\hookrightarrow X\times _{S}\cdots \times _{S}X}$$ $Estilo de visualización T_{X/S}}$

Si es una inmersión cerrada y si es un morfismo plano tal que , entonces ^{[3] [ cita necesaria ]}${\displaystyle X\hookrightarrow X'}$${\displaystyle Y'\to Y}$${\displaystyle X'=X\times _{Y}Y'}$ $${\displaystyle C_{X'/Y'}=C_{X/Y}\times _{X}X'.}$$

Si es un morfismo suave y es una incrustación regular, entonces existe una secuencia exacta natural de fibrados vectoriales en X : ^[4] (que es un caso especial de una secuencia exacta para haces cotangentes ). ${\displaystyle X\to S}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$ $${\displaystyle 0\a T_{X/S}\a T_{Y/S}|_{X}\a N_{X/Y}\a 0,}$$

Para un cuadrado cartesiano de esquemas con el mapa vertical, hay una incrustación cerrada de conos normales. $${\displaystyle {\begin{matrix}X'&\to &Y'\\\flecha abajo &&\flecha abajo \\X&\to &Y\end{matrix}}}$$${\displaystyle f:X'\to X}$$${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow f^{*}C_{X/Y}}$$

Sea un esquema de tipo finito sobre un cuerpo y un subesquema cerrado. Si es de dimensión pura r ; es decir, cada componente irreducible tiene dimensión r , entonces es también de dimensión pura r . ^[5] (Esto puede verse como una consecuencia de #Deformación al cono normal.) Esta propiedad es clave para una aplicación en teoría de intersecciones: dado un par de subesquemas cerrados en algún espacio ambiental, mientras que la intersección teórica del esquema tiene componentes irreducibles de varias dimensiones, dependiendo delicadamente de las posiciones de , el cono normal a es de dimensión pura. ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle W\subconjunto X}$${\estilo de visualización X}$ $Estilo de visualización C_{W/X}}$${\estilo de visualización V, X}$ ${\displaystyle V\cap X}$${\estilo de visualización V, X}$${\displaystyle V\cap X}$

Sea un divisor de Cartier efectivo. Entonces, el fibrado normal a él (o equivalentemente, el cono normal a él) es ^[6]${\displaystyle D\hookrightarrowX}$ $${\displaystyle N_{D/X}={\mathcal {O}}_{D}(D):={\mathcal {O}}_{X}(D)|_{D}.}$$

Consideremos la incrustación no regular ^{[7] : 4–5} , entonces, podemos calcular el cono normal observando primero Si hacemos las variables auxiliares y obtenemos la relación Podemos usar esto para dar una presentación del cono normal como el espectro relativo Dado que es afín, podemos simplemente escribir el espectro relativo como el esquema afín que nos da el cono normal. $${\displaystyle X={\text{Espec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(xz,yz)}}\right)\to \mathbb {A} ^{3}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I&=(xz,yz)\\I^{2}&=(x^{2}z^{2},xyz^{2},y^{2}z^{2})\\\end{aligned}}}$$${\estilo de visualización a=xz}$${\displaystyle b=yz}$$${\displaystyle ya-xb=0.}$$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Espec}}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[a,b]}{(ya-xb)}}\right)}$$${\displaystyle \mathbb {A} ^{3}}$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}={\text{Espec}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z][a,b]}{(xz,yz,ya-xb)}}\right)}$$

La geometría del cono normal se puede explorar más a fondo observando las fibras para varios puntos cerrados de . Nótese que geométricamente es la unión del plano con el eje , por lo que los puntos de interés son puntos lisos en el plano, puntos lisos en el eje y el punto en su intersección. Cualquier punto liso en el plano está dado por una función para y o bien . Como es arbitrario el punto que tomamos, por conveniencia supongamos . Por lo tanto, la fibra de en el punto es isomorfa a dando el cono normal como una línea unidimensional, como se esperaba. Para un punto en el eje, esto está dado por una función por lo tanto, la fibra en el punto es que da un plano. En el origen , el cono normal sobre ese punto es nuevamente isomorfo a . ${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización X}$${\estilo de visualización xy}$${\estilo de visualización H}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización L}$$${\displaystyle X=H\cup L}$$$${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto z_{1}&y\mapsto z_{2}&z\mapsto 0\end{matrix}}}$$${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{1}\neq 0}$${\displaystyle z_{2}\neq 0}$${\displaystyle z_{1}\neq 0,z_{2}=0}$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}}$${\displaystyle p=(z_{1},0,0)}$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{p}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(z_{1}b)}}\cong \mathbb {C} [a]}$$${\displaystyle q}$$${\displaystyle {\begin{matrix}x\mapsto 0&y\mapsto 0&z\mapsto z_{3}\end{matrix}}}$$${\displaystyle q=(0,0,z_{3})}$$${\displaystyle C_{X}\mathbb {A} ^{3}|_{q}\cong {\frac {\mathbb {C} [a,b]}{(0)}}\cong \mathbb {C} [a,b]}$$${\displaystyle r=(0,0,0)}$${\displaystyle \mathbb {C} [a,b]}$

Para la curva cúbica nodal dada por el polinomio sobre , y el punto en el nodo, el cono tiene el isomorfismo que muestra que el cono normal tiene más componentes que el esquema sobre el que se encuentra. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y^{2}+x^{2}(x-1)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle X}$$${\displaystyle C_{X/Y}\cong {\text{Spec}}\left(\mathbb {C} [x,y]/\left(y^{2}-x^{2}\right)\right)}$$

Supongamos que hay una incrustación. Esta puede deformarse a la incrustación del interior del cono normal (como la sección cero) en el siguiente sentido: ^{[7] : 6} existe una familia plana con fibra genérica y fibra especial tal que existe una familia de incrustaciones cerradas sobre tal que ${\displaystyle i:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{X/Y}}$$${\displaystyle \pi :M_{X/Y}^{o}\to \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle Y}$${\displaystyle C_{X/Y}}$$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M_{X/Y}^{o}}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

1. Sobre cualquier punto las incrustaciones asociadas son una incrustación${\displaystyle t\in \mathbb {P} ^{1}-\{0\}}$${\displaystyle X\times \{t\}\hookrightarrow Y}$
2. La fibra encima es la incrustación dada por la sección cero.${\displaystyle 0\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\hookrightarrow C_{X/Y}}$

Esta construcción define una herramienta análoga a la topología diferencial donde las intersecciones no transversales se realizan en un entorno tubular de la intersección. Ahora, la intersección de con un ciclo en se puede dar como el avance de una intersección de con el retroceso de en . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle C_{X/Y}}$

Una aplicación de esto es definir productos de intersección en el anillo de Chow . Supongamos que X y V son subesquemas cerrados de Y con intersección W , y deseamos definir el producto de intersección de X y V en el anillo de Chow de Y. La deformación al cono normal en este caso significa que reemplazamos las incrustaciones de X y W en Y y V por sus conos normales C _Y ( X ) y C _W ( V ), de modo que queremos encontrar el producto de X y C _W V en C _X Y. Esto puede ser mucho más fácil: por ejemplo, si X está incrustado regularmente en Y , entonces su cono normal es un fibrado vectorial, por lo que nos vemos reducidos al problema de encontrar el producto de intersección de un subesquema C _W V de un fibrado vectorial C _X Y con la sección cero X. Sin embargo , este producto de intersección se da simplemente aplicando el isomorfismo de Gysin a C _W V.

Concretamente, la deformación del cono normal se puede construir mediante la explosión. Precisamente, sea la explosión de a lo largo de . El divisor excepcional es , la completitud proyectiva del cono normal; para la notación utilizada aquí, véase Cono (geometría algebraica) § Propiedades . El cono normal es un subesquema abierto de y está incrustado como una sección cero en . $${\displaystyle \pi :M\to Y\times \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle Y\times \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}=\mathbb {P} (C_{X}Y\oplus 1)}$${\displaystyle C_{X}Y}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C_{X}Y}$

Ahora, observamos:

1. El mapa , seguido de la proyección, es plano.${\displaystyle \rho :M\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \pi }$
2. Hay una incrustación cerrada inducida que es un morfismo sobre .$${\displaystyle {\widetilde {i}}:X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M}$$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$
3. M es trivial lejos de cero; es decir, y se restringe a la incrustación trivial${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathbb {P} ^{1}-0)=Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0)}$${\displaystyle {\widetilde {i}}}$$${\displaystyle X\times (\mathbb {P} ^{1}-0)\hookrightarrow Y\times (\mathbb {P} ^{1}-0).}$$
4. ${\displaystyle \rho ^{-1}(0)}$como el divisor es la suma donde es la explosión de Y a lo largo de X y se considera un divisor de Cartier efectivo.$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}+{\widetilde {Y}}}$$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$
5. Como divisores y se intersecan en , donde se encuentra en el infinito en .${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$${\displaystyle \mathbb {P} (C)}$${\displaystyle {\overline {C_{X}Y}}}$

El punto 1 es claro ( verifique la ausencia de torsión). En general, dado , tenemos . Como ya es un divisor de Cartier efectivo en , obtenemos . El punto 3 se deduce del hecho de que la función de soplado π es un isomorfismo que se aleja del centro . Los dos últimos puntos se ven a partir del cálculo local explícito. QED${\displaystyle X\subset Y}$${\displaystyle \operatorname {Bl} _{V}X\subset \operatorname {Bl} _{V}Y}$${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}}$$${\displaystyle X\times \mathbb {P} ^{1}=\operatorname {Bl} _{X\times 0}X\times \mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow M,}$$${\displaystyle {\widetilde {i}}}$${\displaystyle X\times 0}$

Ahora bien, el último elemento del párrafo anterior implica que la imagen de en M no interseca a . Por lo tanto, se obtiene la deformación de i en la incrustación de sección cero de X en el cono normal. ${\displaystyle X\times 0}$${\displaystyle {\widetilde {Y}}}$

Sea una pila Deligne–Mumford localmente de tipo finito sobre un cuerpo . Si denota el complejo cotangente de X relativo a , entonces el fibrado normal intrínseco ^{[8] : 27} a es la pila cociente que es la pila de fppf - torsors en . Se puede dar una interpretación concreta de este cociente de pila observando su comportamiento localmente en el topos étale de la pila . ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}:=h^{1}/h^{0}({\textbf {L}}_{X,{\text{fppf}}}^{\vee })}$$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,0}}$${\displaystyle {\textbf {L}}_{X}^{\vee ,1}}$${\displaystyle X}$

Más concretamente, supongamos que hay un morfismo étale de un esquema de tipo finito afín junto con una inmersión localmente cerrada en un esquema de tipo finito afín suave . Entonces se puede demostrar que podemos entender el fibrado normal intrínseco como una encarnación apilada para el fracaso de la secuencia normal para ser exacta en el lado derecho. Además, para los casos especiales discutidos a continuación, ahora estamos considerando el cociente como una continuación de la secuencia anterior como un triángulo en alguna categoría triangulada. Esto se debe a que el cociente de pila local se puede interpretar como en ciertos casos. ${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle f:U\to M}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{X}|_{U}=[N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$$$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{U}\to {\mathcal {T}}_{M}|_{U}\to {\mathcal {N}}_{U/M}}$$${\displaystyle [N_{U/M}/f^{*}T_{M}]}$$${\displaystyle B{\mathcal {T}}_{U}={\mathcal {T}}_{U}[+1]}$$

El cono normal intrínseco a , denotado como , ^{[8] : 29} se define entonces reemplazando el fibrado normal con el cono normal ; es decir, ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}}$${\displaystyle N_{U/M}}$${\displaystyle C_{U/M}}$$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}|_{U}=[C_{U/M}/f^{*}T_{M}].}$$

Ejemplo : Se tiene que es una intersección completa local si y solo si . En particular, si es suave , entonces es la pila clasificadora del fibrado tangente , que es un esquema de grupo conmutativo sobre . ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X}={\mathfrak {N}}_{X}=BT_{X}}$${\displaystyle T_{X}}$${\displaystyle X}$

En términos más generales, let es un morfismo de tipo Deligne-Mumford (tipo DM) de pilas de Artin que es localmente de tipo finito. Entonces se caracteriza como la subpila cerrada tal que, para cualquier mapa étale para el cual los factores pasan por algún mapa suave (por ejemplo, ), el pullback es: ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}\subseteq {\mathfrak {N}}_{X/Y}}$${\displaystyle U\to X}$${\displaystyle U\to X\to Y}$${\displaystyle M\to Y}$${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}\to Y}$$${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{X/Y}|_{U}=[C_{U/M}/T_{M/Y}|_{U}].}$$

• Cono abeliano
• Clase Segre
• Intersección residual
• Clase fundamental virtual

• Behrend, K.; Fantechi, B. (1997-03-01). "El cono normal intrínseco". Inventiones Mathematicae . 128 (1): 45–88. arXiv : alg-geom/9601010 . doi :10.1007/s002220050136. ISSN  0020-9910. S2CID  18533009.
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, Sr.  1644323
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157

• Fibras del cono normal