Tensor asesino

En matemáticas, un tensor de Killing o campo tensorial de Killing es una generalización de un vector de Killing , para campos tensoriales simétricos en lugar de campos vectoriales . Es un concepto de la geometría riemanniana y pseudoriemanniana , y se utiliza principalmente en la teoría de la relatividad general . Los tensores de Killing satisfacen una ecuación similar a la ecuación de Killing para los vectores de Killing. Al igual que los vectores de Killing, cada tensor de Killing corresponde a una cantidad que se conserva a lo largo de geodésicas . Sin embargo, a diferencia de los vectores de Killing, que están asociados con simetrías ( isometrías ) de una variedad , los tensores de Killing generalmente carecen de una interpretación geométrica tan directa. Los tensores de Killing reciben su nombre de Wilhelm Killing .

En la siguiente definición, los paréntesis alrededor de los índices tensoriales son una notación para la simetrización. Por ejemplo:

${\displaystyle T_{(\alpha \beta \gamma )}={\frac {1}{6}}(T_{\alpha \beta \gamma }+T_{\alpha \gamma \beta }+T_{\beta \alpha \gamma }+T_{\beta \gamma \alpha }+T_{\gamma \alpha \beta }+T_{\gamma \beta \alpha })}$

Dado que los tensores de Killing son una generalización de los vectores de Killing, los ejemplos de la sección « Ejemplos de campos vectoriales de Killing»  también son ejemplos de tensores de Killing. Los siguientes ejemplos se centran en tensores de Killing que no se obtienen simplemente a partir de vectores de Killing.

Los tensores de Killing conformes son una generalización de los tensores de Killing y los vectores de Killing conformes . Un tensor de Killing conforme es un campo tensorial.${\displaystyle K}$(de algún orden m ) que es simétrico y satisface ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \nabla _{(\alpha }K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m})}=k_{(\beta _{1}\cdots \beta _{m-1}}g_{\beta _{m}\alpha )}}$

para algún campo tensorial simétrico${\displaystyle k}$. Esto generaliza la ecuación para vectores de Killing conformes, que establece que

${\displaystyle \nabla _{\alpha }K_{\beta }+\nabla _{\beta }K_{\alpha }=\lambda g_{\alpha \beta }}$

para algún campo escalar${\displaystyle \lambda }$.

Cada tensor de Killing conforme corresponde a una constante de movimiento a lo largo de geodésicas nulas . Más específicamente, para cada geodésica nula con vector tangente${\displaystyle v^{\alpha }}$la cantidad${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}v^{\beta _{1}}\cdots v^{\beta _{m}}}$es constante a lo largo de la geodésica. ^{[ 4 ]}

La propiedad de ser un tensor de Killing conforme se conserva bajo transformaciones conformes en el siguiente sentido. Si${\displaystyle K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$es un tensor de Killing conforme con respecto a una métrica${\displaystyle g_{\alpha \beta }}$, entonces${\displaystyle {\tilde {K}}_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}=u^{m}K_{\beta _{1}\cdots \beta _{m}}}$es un tensor de Killing conforme con respecto a la métrica conformemente equivalente${\displaystyle {\tilde {g}}_{\alpha \beta }=ug_{\alpha \beta }}$, para todos los valores positivos${\displaystyle u}$. ^{[ 7 ]}

Un tensor antisimétrico de orden p ,${\displaystyle f_{a_{1}a_{2}...a_{p}}}$, es un tensor de Killing-Yano fr:Tenseur de Killing-Yano si satisface la ecuación

${\displaystyle \nabla _{b}f_{ca_{2}...a_{p}}+\nabla _{c}f_{ba_{2}...a_{p}}=0\,}$.

Si bien también es una generalización del vector de Killing , se diferencia del tensor de Killing habitual en que la derivada covariante solo se contrae con un índice tensorial.

Los tensores de Killing-Yano son la raíz cuadrada de los tensores de Killing debido a que satisfacen ciertos teoremas ^{[ 8 ]} que se muestran a continuación:

• Por un asesinato – tensor Yano, ${\displaystyle f_{\mu _{1}\ldots \mu _{p}}}$, el tensor de asesinato de rango 2 es${\displaystyle k_{\mu \nu }=f_{\mu \mu _{2}\ldots \mu _{p}}f_{\nu }^{{\mu _{2}}\ldots \mu _{p}}}$
• ${\displaystyle f_{\mu \mu _{2}\ldots \mu _{p}}p^{\mu _{p}}}$es transportado en paralelo a lo largo de la geodésica con vector tangente,${\displaystyle p^{\mu _{p}}}$

Los tensores de Killing-Yano conformes son una generalización de los tensores de Killing-Yano. ^{[ 8 ]} Afirma que un tensor de Killing-Yano conforme de rango p es un tensor totalmente antisimétrico.${\displaystyle k_{\mu _{2}...\mu _{p}}}$con p-form si cumple:

${\displaystyle \nabla _{\mu }k_{\mu _{1}\ldots \mu _{p}}=\nabla _{[\mu k_{\mu _{1}\ldots \mu _{p}}]}+\,}{\bar {p\,g_{\mu [\mu _{1}}{k}_{\mu _{2}\ldots \mu _{p}]}}}$

dónde${\displaystyle {\bar {k}}_{\mu _{2}\ldots \mu _{p}}}$es un tensor asimétrico de rango p - 1. Al realizar una contracción de${\displaystyle \mu }$y${\displaystyle \mu _{1}}$, obtenemos:

${\displaystyle {\bar {k}}_{\mu _{2}\ldots \mu _{p}}={\frac {1}{D-p+1}}\nabla _{\mu }k_{\mu _{2}\ldots \mu _{p}}^{\mu }}$

Los tensores de Killing-Yano conformes cerrados son un caso especial del tensor de Killing-Yano conforme cuando${\displaystyle \nabla _{\mu }k_{\mid {\mu _{2}\ldots \mu _{p}}\mid }=0}$dónde${\displaystyle k=db}$y b es alguna forma p - 1. ^{[ 8 ]} Esto sigue el resultado de la transformación de dualidad de Hodge que es:

El doble Hodge${\displaystyle k\star }$de un tensor de Yano de matanza conforme cerrada de rango p${\displaystyle k}$es un tensor de Killing-Yano${\displaystyle f\equiv \star k}$de rango D - p y viceversa.

Una propiedad importante del tensor de Killing-Yano conforme cerrado es que su producto exterior es un tensor de Killing-Yano conforme cerrado de rango superior. En otras palabras,${\displaystyle k\equiv a\land b}$es un tensor de Killing-Yano conforme cerrado de rango p + q, donde${\displaystyle a}$es un tensor de Killing-Yano conforme cerrado de rango p y${\displaystyle b}$es un tensor de Killing-Yano conforme cerrado de rango q.

• Forma asesina
• Campo vectorial letal
• Asesinato de Wilhelm
• Kentaro Yano (matemático)

• Carroll, Sean (2003), Espacio-tiempo y geometría: Una introducción a la relatividad general , ISBN 0-8053-8732-3
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad general , Chicago: University of Chicago Press, ISBN 0-226-87033-2