Simetría conforme

La simetría conforme es una propiedad del espaciotiempo que garantiza que los ángulos permanezcan inalterados incluso cuando se modifican las distancias. Si se estira, comprime o distorsiona el espaciotiempo, las relaciones angulares locales entre líneas o curvas se mantienen. Esta idea extiende el conocido grupo de Poincaré —que considera rotaciones, traslaciones y transformaciones de Lorentz— al grupo conforme, más completo.

La simetría conforme abarca transformaciones conformes especiales y dilataciones . En tres dimensiones espaciales más una temporal, la simetría conforme tiene 15 grados de libertad : diez para el grupo de Poincaré, cuatro para transformaciones conformes especiales y uno para una dilatación.

Harry Bateman y Ebenezer Cunningham fueron los primeros en estudiar la simetría conforme de las ecuaciones de Maxwell . Llamaron a una expresión genérica de la simetría conforme una transformación de onda esférica . ^{[ 1 ]}

El álgebra de Lie del grupo conforme tiene la siguiente representación : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle M_{\mu \nu }}$son los generadores de Lorentz ,${\displaystyle P_{\mu }}$genera traducciones ,${\displaystyle D}$genera transformaciones de escala (también conocidas como dilataciones o dilataciones) y${\displaystyle K_{\mu }}$genera las transformaciones conformes especiales .

Las relaciones de conmutación son las siguientes: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$

otros conmutadores desaparecen. Aquí${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$es el tensor métrico de Minkowski .

Además,${\displaystyle D}$es un escalar y${\displaystyle K_{\mu }}$es un vector covariante bajo las transformaciones de Lorentz .

Las transformaciones conformes especiales se dan en ^{[ 3 ].}

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

dónde${\displaystyle a^{\mu }}$es un parámetro que describe la transformación. Esta transformación conforme especial también se puede escribir como${\displaystyle x^{\mu }\to x'^{\mu }}$, dónde

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

lo que demuestra que consiste en una inversión, seguida de una traslación, seguida de una segunda inversión.

En el espaciotiempo bidimensional , las transformaciones del grupo conforme son las transformaciones conformes . Hay infinitas de ellas.

En más de dos dimensiones, las transformaciones conformes euclidianas transforman círculos en círculos e hiperesferas en hiperesferas, considerando una línea recta como un círculo degenerado y un hiperplano como un hipercírculo degenerado.

En más de dos dimensiones lorentzianas , las transformaciones conformes transforman rayos nulos en rayos nulos y conos de luz en conos de luz, siendo un hiperplano nulo un cono de luz degenerado.

Los físicos han descubierto que muchos modelos de red se vuelven invariantes conformes en el límite crítico. Sin embargo, las demostraciones matemáticas de estos resultados aparecieron mucho más tarde y solo en algunos casos.

En 2010, el matemático Stanislav Smirnov fue galardonado con la Medalla Fields "por la demostración de la invariancia conforme de la percolación y el modelo de Ising planar en física estadística". ^{[ 6 ]}

En 2020, el matemático Hugo Duminil-Copin y sus colaboradores demostraron que existe invariancia rotacional en el límite entre fases en muchos sistemas físicos. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• Teorema de Coleman-Mandula
• Teoría de campos conformes
• Grupo conforme
• Ecuación de Killing conforme
• Mapa conforme
• Renormalization group
• Scale invariance
• Superconformal algebra

• Di Francesco, Philippe; Mathieu, Pierre; Sénéchal, David (1997). Conformal Field Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94785-3.