superficie de Riemann

{\displaystyle f(z)=\log(z)} — La superficie de Riemann para la función compleja multivaluada $f(z)=\log(z)$ en un barrio del origen. El $(x,y)$ Las coordenadas son las coordenadas de $z$ en el plano complejo; la coordenada vertical representa la parte imaginaria de $f(z)$ , cuya parte real está representada por el tono.

En matemáticas , particularmente en análisis complejo , una superficie de Riemann es una variedad compleja unidimensional conexa . Estas superficies fueron estudiadas por primera vez por Bernhard Riemann , de quien reciben su nombre . Las superficies de Riemann pueden considerarse versiones deformadas del plano complejo : localmente, cerca de cada punto, se asemejan a parches del plano complejo, pero su topología global puede ser muy diferente. Por ejemplo, pueden tener la apariencia de una esfera , un toroide o varias láminas unidas.

Ejemplos de superficies de Riemann incluyen gráficas de funciones multivaluadas como ${\sqrt {z}}$ o $\log(z)$ , por ejemplo, el subconjunto de pares $(z,w)\in \mathbb {C} ^{2}$ con $w=\log(z)$ .

Toda superficie de Riemann es una superficie : una variedad real bidimensional , pero contiene más estructura (específicamente una estructura compleja ). A la inversa, una variedad real bidimensional puede transformarse en una superficie de Riemann (generalmente de varias maneras no equivalentes) si y solo si es orientable y metrizable . Dado esto, la esfera y el toro admiten estructuras complejas, pero la cinta de Möbius , la botella de Klein y el plano proyectivo real no. Toda superficie de Riemann compacta es una curva algebraica compleja según el teorema de Chow y el teorema de Riemann-Roch .

Definiciones

Existen varias definiciones equivalentes de superficie de Riemann.

Una superficie de Riemann $X$ es una variedad compleja conexa de dimensión compleja uno. Esto significa que $X$ es un espacio de Hausdorff conectado que está dotado de un atlas de cartas al disco unitario abierto del plano complejo : para cada punto $x\in X$ hay un barrio de $x$ que es homeomorfo al disco unitario abierto del plano complejo, y se requiere que los mapas de transición entre dos cartas superpuestas sean holomorfos . ^{[ 1 ]}
Una superficie de Riemann es una variedad orientada (conectada) de dimensión (real) dos – una superficie de dos caras – junto con una estructura conforme . Nuevamente, variedad significa que localmente en cualquier punto $x$ de $X$ , el espacio es homeomorfo a un subconjunto del plano real. El suplemento "Riemann" significa que $X$ está dotado de una estructura adicional que permite la medición de ángulos en la variedad, a saber, una clase de equivalencia de las llamadas métricas riemannianas . Dos de estas métricas se consideran equivalentes si los ángulos que miden son los mismos. Elegir una clase de equivalencia de métricas en $X$ es el dato adicional de la estructura conforme.

Una estructura compleja da lugar a una estructura conforme al elegir la métrica euclidiana estándar dada en el plano complejo y transportarla a $X$ mediante los diagramas. Demostrar que una estructura conforme determina una estructura compleja es más difícil. ^{[ 2 ]}

Ejemplos

El plano complejo $\mathbb {C}$ es la superficie de Riemann más básica.
Todo subconjunto abierto conexo no vacío del plano complejo $U\subseteq \mathbb {C}$ es una superficie de Riemann. En términos más generales, todo subconjunto abierto no vacío de una superficie de Riemann es una superficie de Riemann.
La esfera de Riemann y la proyección estereográfica.
La esfera de 2 lados $S^{2}$ Tiene una estructura de superficie de Riemann única, llamada esfera de Riemann . Tiene dos subconjuntos abiertos que identificamos con el plano complejo mediante proyección estereográfica desde los polos norte o sur.
$\mathbb {C} \hookrightarrow S^{2}\hookleftarrow \mathbb {C}$ .
En la intersección de estos dos conjuntos abiertos, al componer una incrustación con la inversa de la otra se obtiene
$\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }:z\mapsto z^{-1}$ .
Este mapa de transición es holomorfo, por lo que estas dos incrustaciones definen una estructura de superficie de Riemann en $S^{2}$ . Activos, $S^{2}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ La esfera de Riemann tiene otra descripción, como la línea proyectiva . $\mathbb {CP} ^{1}=(\mathbb {C} ^{2}\setminus \{0\})/\mathbb {C} ^{\times }$ .
Un toroide.
El toroide de 2 caras $T^{2}$ tiene muchas estructuras de superficie de Riemann diferentes, todas de la forma $\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$ , dónde $\tau$ es cualquier número complejo no real. Estas se denominan curvas elípticas .
Ejemplos importantes de superficies de Riemann no compactas se obtienen mediante continuación analítica .

Curvas algebraicas

Si $P(x,y)$ es cualquier polinomio complejo en dos variables, su lugar de anulación
$\{(x,y):P(x,y)=0\}\subseteq \mathbb {C} ^{2}$
define una superficie de Riemann siempre que no haya puntos en este lugar geométrico con $\partial P/\partial x=\partial P/\partial y=0$ (o nos restringimos a un subconjunto abierto que no contiene tales puntos). Este es un ejemplo de una curva algebraica .
Toda curva elíptica es una curva algebraica, dada por (la compactificación de) el lugar geométrico.
$y^{2}=x^{3}+ax+b$
para ciertos números complejos $a$ y $b$ Dependiendo de $\tau$ Un punto $z\in \mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$ se envía a $(x,y)=(\wp (z),\wp '(z))$ , dónde $\wp$ es la función elíptica de Weierstrass .
Asimismo, género $g$ Las superficies tienen estructuras de superficie de Riemann, como ( compactificaciones de) superficies hiperelípticas.
$y^{2}=Q(x)$ ,
dónde $Q$ es un polinomio complejo de grado $2g+1$ de tal manera que lo anterior no tenga puntos singulares . Cuando $g>1$ , existen otras estructuras de superficie de Riemann de género $g$ .

$f ( z ) = arcosin ⁡ z {\displaystyle f(z)=\arcsin z}$
$f(z)=\arcsin z$
$f ( z ) = Iniciar sesión ⁡ z {\displaystyle f(z)=\log z}$
$f(z)=\log z$
$f ( z ) = z {\displaystyle f(z)={\sqrt {z}}}$
$f(z)={\sqrt {z}}$
$f ( z ) = z 3 {\displaystyle f(z)={\sqrt[{3}]{z}}}$
$f(z)={\sqrt[{3}]{z}}$
$f ( z ) = z 4 {\displaystyle f(z)={\sqrt[{4}]{z}}}$
$f(z)={\sqrt[{4}]{z}}$

Definiciones y propiedades adicionales

Como ocurre con cualquier mapeo entre variedades complejas, una función $f:M\to N$ entre dos superficies de Riemann $M$ y $N$ Se denomina holomorfo si para cada gráfico $g$ en el atlas de $M$ y cada gráfico $h$ en el atlas de $N$ , el mapa $h\circ f\circ g^{-1}$ es holomorfa (como una función de $\mathbb {C}$ a $\mathbb {C}$ ) dondequiera que se defina. La composición de dos mapas holomorfos es holomorfa. Las dos superficies de Riemann $M$ y $N$ se denominan biholomorfas (o conformemente equivalentes para enfatizar el punto de vista conforme) si existe una función holomorfa biyectiva de $M$ a $N$ cuya inversa también es holomorfa (resulta que esta última condición es automática y, por lo tanto, puede omitirse). Dos superficies de Riemann conformemente equivalentes son, a efectos prácticos, idénticas.

Orientabilidad

Cada superficie de Riemann, al ser una variedad compleja, es orientable como una variedad real. Para cartas complejas $f$ y $g$ con función de transición $h=f(g^{-1}(z))$ , $h$ puede considerarse como un mapa de un conjunto abierto de $\mathbb {R} ^{2}$ a $\mathbb {R} ^{2}$ cuyo jacobino en un punto $z$ es simplemente el mapa lineal real dado por la multiplicación por el número complejo. $h'(z)$ Sin embargo, el determinante real de la multiplicación por un número complejo $\alpha$ igual $|\alpha |^{2}$ , así que el jacobiano de $h$ tiene determinante positivo. En consecuencia, el atlas complejo es un atlas orientado.

Funciones

Toda superficie de Riemann no compacta admite funciones holomorfas no constantes (con valores en $\mathbb {C}$ ). De hecho, toda superficie de Riemann no compacta es una variedad de Stein .

Por el contrario, en una superficie de Riemann compacta $X$ toda función holomorfa con valores en $\mathbb {C}$ es constante debido al principio del máximo . Sin embargo, siempre existen funciones meromorfas no constantes (funciones holomorfas con valores en la esfera de Riemann). $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ). Más precisamente, el campo de funciones de $X$ es una extensión finita de $\mathbb {C} (t)$ El campo de funciones en una variable, es decir, dos funciones meromorfas cualesquiera son algebraicamente dependientes. Esta afirmación se generaliza a dimensiones superiores, véase Siegel (1955) . Las funciones meromorfas pueden expresarse de forma bastante explícita, en términos de funciones theta de Riemann y la aplicación de Abel-Jacobi de la superficie.

Algebraicidad

Todas las superficies de Riemann compactas son curvas algebraicas ya que pueden incrustarse en alguna $\mathbb {CP} ^{n}$ Esto se deduce del teorema de incrustación de Kodaira y del hecho de que existe un fibrado lineal positivo en cualquier curva compleja. ^{[ 3 ]}

Analítico vs. algebraico

La existencia de funciones meromorfas no constantes puede usarse para demostrar que cualquier superficie de Riemann compacta es una variedad proyectiva , es decir, puede ser dada por ecuaciones polinómicas dentro de un espacio proyectivo . De hecho, puede demostrarse que toda superficie de Riemann compacta puede incrustarse en un espacio proyectivo complejo tridimensional . Este es un teorema sorprendente: las superficies de Riemann están dadas por cartas de parcheo local. Si se añade una condición global, a saber, la compacidad, la superficie es necesariamente algebraica. Esta característica de las superficies de Riemann permite estudiarlas con los medios de la geometría analítica o algebraica . La afirmación correspondiente para objetos de dimensiones superiores es falsa, es decir, existen variedades complejas compactas de dimensión 2 que no son algebraicas. Por otro lado, toda variedad compleja proyectiva es necesariamente algebraica, véase el teorema de Chow .

Como ejemplo, consideremos el toroide. $T:=\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$ La función Weierstrass $\wp _{\tau }(z)$ pertenecientes a la red $\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z}$ es una función meromorfa en $T$ Esta función y su derivada $\wp '_{\tau }(z)$ generar el campo de función de $T$ Hay una ecuación

[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

donde los coeficientes $g_{2}$ y $g_{3}$ depender de $\tau$ , dando así como una curva elíptica $E_{\tau }$ en el sentido de la geometría algebraica. Revertir esto se logra mediante la $j$ -invariante $j(E)$ , que se puede utilizar para determinar $\tau$ y por lo tanto un toro.

Clasificación de superficies de Riemann

El conjunto de todas las superficies de Riemann se puede dividir en tres subconjuntos: superficies de Riemann hiperbólicas, parabólicas y elípticas. Geométricamente, estas corresponden a superficies con curvatura seccional constante negativa, nula o positiva . Es decir, toda superficie de Riemann conexa. $X$ admite una métrica de Riemann real bidimensional completa única con curvatura constante igual a $-1$ , $0$ o $1$ que pertenece a la clase conforme de métricas riemannianas determinadas por su estructura como superficie de Riemann. Esto puede verse como una consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas .

En términos analíticos complejos, el teorema de uniformización de Poincaré-Koebe (una generalización del teorema de mapeo de Riemann ) establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es conformemente equivalente a una de las siguientes:

La esfera de Riemann ${\widehat {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ , que es isomorfo a $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ ;
El plano complejo $\mathbb {C}$ ;
El disco abierto $\mathbb {D$ , que es isomorfo al semiplano superior $\mathbb {H$ .

Una superficie de Riemann es elíptica, parabólica o hiperbólica según si su recubrimiento universal es isomorfo a $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ , $\mathbb {C}$ o $\mathbb {D}$ Los elementos de cada clase admiten una descripción más precisa.

Superficies elípticas de Riemann

La esfera de Riemann $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ es el único ejemplo, ya que no hay ningún grupo que actúe sobre él mediante transformaciones biholomórficas de forma libre y propiamente discontinua y, por lo tanto, cualquier superficie de Riemann cuyo recubrimiento universal sea isomorfo a $\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$ debe ser isomorfo a él.

Superficies de Riemann parabólicas

Si $X$ es una superficie de Riemann cuyo recubrimiento universal es isomorfo al plano complejo. $\mathbb {C}$ entonces es isomorfa a una de las siguientes superficies:

$\mathbb {C}$ sí mismo;
El cociente $\mathbb {C} /\mathbb {Z}$ ;
Un cociente $\mathbb {C} /(\mathbb {Z} +\tau \mathbb {Z} )$ , dónde $\tau \in \mathbb {C}$ con $\operatorname {Im} (\tau )>0$ .

Topológicamente solo hay tres tipos: el plano, el cilindro y el toro . Pero mientras que en los dos primeros casos la estructura de la superficie de Riemann (parabólica) es única, al variar el parámetro $\tau$ En el tercer caso se obtienen superficies de Riemann no isomorfas. La descripción mediante el parámetro $\tau$ da el espacio de Teichmüller de superficies de Riemann "marcadas" (además de la estructura de superficie de Riemann se añaden los datos topológicos de una "marca", que puede verse como un homeomorfismo fijo al toro). Para obtener el espacio de módulos analíticos (olvidando la marca) se toma el cociente del espacio de Teichmüller por el grupo de clases de mapeo . En este caso es la curva modular .

superficies de Riemann hiperbólicas

En los casos restantes, $X$ es una superficie de Riemann hiperbólica, que es isomorfa a un cociente del semiplano superior por un grupo fuchsiano (a veces se le llama modelo fuchsiano para la superficie). El tipo topológico de $X$ Puede ser cualquier superficie orientable, excepto el toro y la esfera .

Un caso de particular interés es cuando $X$ es compacto. Entonces su tipo topológico se describe mediante su género. $g\geq 2$ . Su espacio de Teichmüller y su espacio de módulos son $(6g-6)$ -dimensional. Se puede dar una clasificación similar de las superficies de Riemann de tipo finito (es decir, homeomorfas a una superficie cerrada menos un número finito de puntos). Sin embargo, en general, el espacio de módulos de las superficies de Riemann de tipo topológico infinito es demasiado grande para admitir tal descripción.

Mapas entre superficies de Riemann

La clasificación geométrica se refleja en las transformaciones entre superficies de Riemann, como se detalla en el teorema de Liouville y el teorema de Little Picard : las transformaciones de hiperbólica a parabólica a elíptica son sencillas, pero las transformaciones de elíptica a parabólica o de parabólica a hiperbólica están muy restringidas (¡de hecho, generalmente son constantes!). Existen inclusiones del disco en el plano dentro de la esfera:

\Delta \subset \mathbb {C} \subset {\widehat {\mathbb {C} }}

pero cualquier aplicación holomorfa de la esfera al plano es constante, cualquier aplicación holomorfa del plano al disco unitario es constante (teorema de Liouville) y, de hecho, cualquier aplicación holomorfa del plano al plano menos dos puntos es constante (teorema del pequeño Picard).

Esferas perforadas

Estas afirmaciones se aclaran al considerar el tipo de esfera de Riemann. ${\widehat {\mathbb {C} }}$ con varias perforaciones. Sin perforaciones, es la esfera de Riemann, que es elíptica. Con una perforación, que puede ubicarse en el infinito, es el plano complejo, que es parabólico. Con dos perforaciones, es el plano perforado o alternativamente anillo o cilindro, que es parabólico. Con tres o más perforaciones, es hiperbólico – compárese con un par de pantalones . Se puede mapear de una perforación a dos, a través del mapeo exponencial (que es entero y tiene una singularidad esencial en el infinito, por lo que no está definido en el infinito, y omite el cero y el infinito), pero todos los mapeos de cero perforaciones a una o más, o de una o dos perforaciones a tres o más son constantes.

Espacios de cobertura ramificados

Siguiendo esta línea, las superficies de Riemann compactas pueden mapearse a superficies de género inferior , pero no a género superior , excepto como mapeos constantes. Esto se debe a que los mapeos holomorfos y meromorfos se comportan localmente como

z\mapsto z^{n}

para entero $n$ , por lo que los mapas no constantes son mapas de recubrimiento ramificados , y para superficies de Riemann compactas estos están restringidos por la fórmula de Riemann-Hurwitz en topología algebraica , que relaciona la característica de Euler de un espacio y un recubrimiento ramificado.

Por ejemplo, las superficies de Riemann hiperbólicas son espacios de recubrimiento ramificados de la esfera (tienen funciones meromorfas no constantes), pero la esfera no cubre ni se mapea de ninguna otra manera a superficies de género superior, excepto como una constante.

Isometrías de superficies de Riemann

El grupo de isometría de una superficie de Riemann uniformizada (o, equivalentemente, el grupo de automorfismos conformes ) refleja su geometría:

género 0 – el grupo de isometría de la esfera es el grupo de Möbius de transformadas proyectivas de la línea compleja,
El grupo de isometría del plano es el subgrupo que fija el infinito, y del plano perforado es el subgrupo que deja invariante el conjunto que contiene solo el infinito y el cero: ya sea fijándolos ambos, o intercambiándolos. $(1/z)$ .
El grupo de isometrías del semiplano superior es el grupo de Möbius real; este es conjugado al grupo de automorfismos del disco.
género 1 – el grupo de isometría de un toro se genera en general por traslaciones (como una variedad abeliana ) y la rotación por $180^{\circ }$ . En casos especiales pueden existir rotaciones y reflexiones adicionales. ^{[ 4 ]}
Para género $g\geq 2$ , el grupo de isometría es finito y tiene orden como máximo $84(g-1)$ , por el teorema de automorfismos de Hurwitz ; las superficies que realizan esta cota se denominan superficies de Hurwitz .
Se sabe que todo grupo finito puede realizarse como el grupo completo de isometrías de alguna superficie de Riemann. ^{[ 5 ]}

- Para el género 2, el orden se maximiza mediante la superficie de Bolza , con orden 48.
- Para el género 3, el orden se maximiza mediante el cuártico de Klein , con orden 168; esta es la primera superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismos es isomorfo al único grupo simple de orden 168, que es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño. Este grupo es isomorfo a ambos $\mathrm {PSL} (2,7)$ y $\mathrm {PSL} (3,2)$ .
- Para el género 4, la superficie de Bring es una superficie altamente simétrica.
- Para el género 7 el orden se maximiza mediante la superficie de Macbeath , con orden 504; esta es la segunda superficie de Hurwitz, y su grupo de automorfismos es isomorfo a $\mathrm {PSL} (2,8)$ , el cuarto grupo simple no abeliano más pequeño.

Clasificación basada en la teoría funcional

El esquema de clasificación anterior es el que suelen usar los geómetras. Existe una clasificación diferente para las superficies de Riemann, que suelen usar los analistas complejos. Esta emplea una definición distinta para "parabólico" e "hiperbólico". En este esquema de clasificación alternativo, una superficie de Riemann se denomina parabólica si no presenta funciones subarmónicas negativas no constantes, y se denomina hiperbólica en caso contrario . ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Esta clase de superficies hiperbólicas se subdivide a su vez en subclases según si los espacios de funciones distintos de las funciones subarmónicas negativas son degenerados, por ejemplo, superficies de Riemann en las que todas las funciones holomorfas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas acotadas son constantes, o en las que todas las funciones armónicas positivas son constantes, etc.

Para evitar confusiones, llamaremos clasificación geométrica a la clasificación basada en métricas de curvatura constante , y clasificación teórica de funciones a la basada en la degeneración de espacios de funciones . Por ejemplo, la superficie de Riemann. $\mathbb {C} \setminus \{0,1\}$ "Es parabólica en la clasificación de la teoría de funciones, pero es hiperbólica en la clasificación geométrica."

Véase también

Teoremas sobre superficies de Riemann

Notas

^ Farkas y Kra 1980 , Miranda 1995
↑ Véase (Jost 2006 , Cap. 3.11) para la construcción de una estructura compleja correspondiente.
↑ Nollet, Scott. "TEOREMA DE KODAIRA Y COMPACTIFICACIÓN DEL ESPACIO DE MÓDULOS DE MUMFORD Mg" (PDF) .
↑ "Isometría del toro" . Mathematics Stack Exchange . 19 de marzo de 2020. Consultado el 23 de enero de 2025 .
↑ Greenberg, L. (1974). «Grupos maximales y signaturas» . Grupos discontinuos y superficies de Riemann: Actas de la conferencia de 1973 en la Universidad de Maryland . Ann. Math. Studies. Vol. 79. pp. 207–226 . ISBN 0691081387.
↑ Ahlfors, Lars ; Sario, Leo (1960), Riemann Surfaces (1.ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , pág. 204
^ Rodin, Burton; Sario, Leo (1968), Funciones principales (1ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, Inc. , p. 199, ISBN 9781468480382

Referencias

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Enlaces externos

"Superficie de Riemann" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
McMullen, C. "Análisis complejo en superficies de Riemann Math 213b" (PDF) . Harvard Math . Universidad de Harvard.

[1] Farkas y Kra 1980 , Miranda 1995

[2] Véase (Jost 2006 , Cap. 3.11) para la construcción de una estructura compleja correspondiente.

[3] Nollet, Scott. "TEOREMA DE KODAIRA Y COMPACTIFICACIÓN DEL ESPACIO DE MÓDULOS DE MUMFORD Mg" (PDF) .

[car20-4] "Isometría del toro" . Mathematics Stack Exchange . 19 de marzo de 2020. Consultado el 23 de enero de 2025 .

[5] Greenberg, L. (1974). «Grupos maximales y signaturas» . Grupos discontinuos y superficies de Riemann: Actas de la conferencia de 1973 en la Universidad de Maryland . Ann. Math. Studies. Vol. 79. pp. 207–226 . ISBN 0691081387.

[6] Ahlfors, Lars ; Sario, Leo (1960), Riemann Surfaces (1.ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , pág. 204

[7] Rodin, Burton; Sario, Leo (1968), Funciones principales (1ª ed.), Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, Inc. , p. 199, ISBN 9781468480382

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