Soldadura conforme

En matemáticas , la soldadura conforme ( coser o pegar ) es un proceso en la teoría de funciones geométricas para producir una superficie de Riemann uniendo dos superficies de Riemann, cada una con un disco eliminado, a lo largo de sus círculos límite. Este problema puede reducirse al de encontrar aplicaciones holomorfas univalentes f , g del disco unitario y su complemento en el plano complejo extendido, ambas admitiendo extensiones continuas a la clausura de sus dominios, de modo que las imágenes sean dominios de Jordan complementarios y tales que en el círculo unitario difieran por un homeomorfismo cuasisimétrico dado . Se conocen varias demostraciones utilizando una variedad de técnicas, incluyendo la ecuación de Beltrami , ^{[ 1 ]} la transformada de Hilbert en el círculo ^{[ 2 ]} y técnicas de aproximación elementales. ^{[ 3 ]} Sharon y Mumford (2006) describen los dos primeros métodos de soldadura conforme, además de proporcionar cálculos numéricos y aplicaciones al análisis de formas en el plano.

Este método fue propuesto por primera vez por Pfluger (1960) .

Si f es un difeomorfismo del círculo, la extensión de Alexander proporciona una forma de extender f a un difeomorfismo del disco unitario D :

${\displaystyle \displaystyle {F(r,\theta )=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

donde ψ es una función suave con valores en [0,1], igual a 0 cerca de 0 y 1 cerca de 1, y

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}}$

con g (θ + 2π) = g (θ) + 2π.

La extensión F puede continuarse a cualquier disco mayor | z | < R con R > 1. En consecuencia, en el disco unitario

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}}$

Ahora extendemos μ a un coeficiente de Beltrami en todo C , igualándolo a 0 para | z | ≥ 1. Sea G la solución correspondiente de la ecuación de Beltrami:

${\displaystyle \displaystyle {G_{\overline {z}}=\mu G_{z}.}}$

Sea F ₁ ( z ) = G${\displaystyle \circ }$F ⁻¹ ( z ) para | z | ≤ 1 y F ₂ ( z ) = G ( z ) para | z | ≥ 1. Por lo tanto, F ₁ y F ₂ son aplicaciones holomorfas univalentes de | z | < 1 y | z | > 1 sobre el interior y el exterior de una curva de Jordan. Se extienden continuamente a homeomorfismos f _i del círculo unitario sobre la curva de Jordan en el límite. Por construcción, satisfacen la condición de soldadura conforme :

${\displaystyle \displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}}$

El uso de la transformada de Hilbert para establecer la soldadura conforme fue sugerido por primera vez por los matemáticos georgianos DG Mandzhavidze y BV Khvedelidze en 1958. Una descripción detallada fue dada al mismo tiempo por FD Gakhov y presentada en su monografía clásica ( Gakhov (1990) ).

Sea e _n (θ) = e ^{in θ} la base ortonormal estándar de L ² ( T ). Sea H ² ( T ) el espacio de Hardy , el subespacio cerrado generado por los e _n con n ≥ 0. Sea P la proyección ortogonal sobre el espacio de Hardy y sea T = 2 P - I . El operador H = iT es la transformada de Hilbert en el círculo y puede escribirse como un operador integral singular .

Dado un difeomorfismo f del círculo unitario, la tarea consiste en determinar dos funciones holomorfas univalentes.

${\displaystyle \displaystyle {f_{-}(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots ,\,\,\,\,\,f_{+}(z)=z+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots ,}}$

definido en |z| < 1 y |z| > 1 y ambos extendiéndose suavemente al círculo unitario, mapeándose en un dominio de Jordan y su complemento, de tal manera que

${\displaystyle \displaystyle {f_{-}(e^{i\theta })=f_{+}(f(e^{i\theta })).}}$

Sea F la restricción de f ₊ al círculo unitario. Entonces

${\displaystyle \displaystyle {TF=-F+2e^{i\theta }}}$

y

${\displaystyle \displaystyle {TF\circ f=F\circ f.}}$

Por eso

${\displaystyle \displaystyle {T(F\circ f)\circ f^{-1}-T(F)=2F-2e^{i\theta }.}}$

Si V ( f ) denota el operador invertible acotado en L ² inducido por el difeomorfismo f , entonces el operador

${\displaystyle \displaystyle {K_{f}=V(f)PV(f)^{-1}-P}}$

es compacto, de hecho está dado por un operador con núcleo suave porque P y T están dados por operadores integrales singulares. La ecuación anterior se reduce entonces a

${\displaystyle \displaystyle {(I-K_{f})F=e^{i\theta }.}}$

El operador I − K _f es un operador de Fredholm de índice cero. Tiene núcleo cero y, por lo tanto, es invertible. De hecho, un elemento del núcleo consistiría en un par de funciones holomorfas en D y D ^c que tienen límites suaves en el círculo relacionados por f . Dado que la función holomorfa en D ^c se anula en ∞, las potencias positivas de este par también proporcionan soluciones, que son linealmente independientes, lo que contradice el hecho de que I − K _f sea un operador de Fredholm. Por lo tanto, la ecuación anterior tiene una solución única F que es suave y a partir de la cual se puede reconstruir f _± invirtiendo los pasos anteriores. De hecho, al observar la ecuación que satisface el logaritmo de la derivada de F , se deduce que F no tiene derivada nula en ningún punto del círculo unitario. Además, F es inyectiva en el círculo, ya que si toma el valor a en puntos distintos z ₁ y z ₂ , entonces el logaritmo de R ( z ) = ( F ( z ) − a )/( z - z ₁ )( z − z ₂ ) satisfaría una ecuación integral que se sabe que no tiene soluciones distintas de cero. Dadas estas propiedades en el círculo unitario, las propiedades requeridas de f _± se derivan del principio del argumento . ^{[ 4 ]}

• Pfluger, A. (1960), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc. , 24 : 401-412​
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Mapeos cuasiconformes en el plano , Springer-Verlag, p.  92
• Lehto, O. (1987), Funciones univalentes y espacios de Teichmüller , Springer-Verlag, págs. 100-101 , ISBN  0-387-96310-3
• Sharon, E.; Mumford, D. (2006), "Análisis 2-D mediante mapeo conforme" (PDF) , International Journal of Computer Vision , 70 : 55–75 , doi : 10.1007/s11263-006-6121-z , archivado del original (PDF) el 3 de agosto de 2012 , recuperado el 1 de julio de 2012
• Gakhov, FD (1990), Problemas de valores en la frontera. Reimpresión de la traducción de 1966 , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
• Titchmarsh, EC (1939), Teoría de las funciones (2.ª  ed.), Oxford University Press, ISBN 0198533497{{citation}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )