Mapa cuasisimétrico

Un mapa${\displaystyle f\colon X\to Y}$Se dice que es H-débilmente cuasisimétrico para algunos${\displaystyle H>0}$si para todas las ternas de puntos distintos${\displaystyle x,y,z}$en${\displaystyle X}$, entonces

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq H|f(x)-f(z)|\;\;\;{\text{ whenever }}\;\;\;|x-y|\leq |x-z|}$

No todos los mapas débilmente cuasisimétricos son cuasisimétricos. Sin embargo, si${\displaystyle X}$está conectado y${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Si se duplican , entonces todas las aplicaciones débilmente cuasisimétricas son cuasisimétricas. El atractivo de este resultado radica en que demostrar la débil cuasisimetría es mucho más sencillo que demostrar la cuasisimetría directamente, y en muchos contextos naturales ambas nociones son equivalentes.

Un mapa monocromático${\displaystyle f\colon H\to H}$en un espacio de Hilbert${\displaystyle H}$es δ-monótono si para todo${\displaystyle x,y}$en${\displaystyle H}$,

${\displaystyle \langle f(x)-f(y),x-y\rangle \geq \delta |f(x)-f(y)|\cdot |x-y|.}$

Para comprender lo que esta condición significa geométricamente, supongamos que${\displaystyle f(0)=0}$y considere la estimación anterior cuando${\displaystyle y=0}$. Entonces implica que el ángulo entre el vector${\displaystyle x}$ y su imagen${\displaystyle f(x)}$ se mantiene entre 0 y${\displaystyle \arccos(\delta )<\pi /2}$.

Estos mapas son cuasisimétricos, aunque constituyen una subclase mucho más restringida de mapas cuasisimétricos. Por ejemplo, mientras que un mapa cuasisimétrico general en el plano complejo podría mapear la recta real a un conjunto de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que uno, un δ -monótono siempre mapeará la recta real a una gráfica rotada de una función de Lipschitz.${\displaystyle L:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$. ^{[ 2 ]}

Los homeomorfismos cuasisimétricos de la recta real sobre sí misma pueden caracterizarse en términos de sus derivadas. ^{[ 3 ]} Un homeomorfismo creciente${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$es cuasisimétrico si y solo si existe una constante${\displaystyle C>0}$ y una medida de duplicación μ en la recta real tal que

${\displaystyle f(x)=C+\int _{0}^{x}\,d\mu (t).}$

Un resultado análogo se cumple en el espacio euclidiano. Supongamos que${\displaystyle C=0}$ y reescribimos la ecuación anterior para${\displaystyle f}$ como

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {x-t}{|x-t|}}+{\frac {t}{|t|}}\right)d\mu (t).}$

Escribiéndolo de esta manera, podemos intentar definir una aplicación usando esta misma integral, pero en lugar de eso integramos (lo que ahora es un integrando con valores vectoriales) sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$: si μ es una medida de duplicación en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y

${\displaystyle \int _{|x|>1}{\frac {1}{|x|}}\,d\mu (x)<\infty }$

luego el mapa

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {x-y}{|x-y|}}+{\frac {y}{|y|}}\right)\,d\mu (y)}$

es cuasisimétrica (de hecho, es δ -monótona para algún δ que depende de la medida μ ). ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle (X,d_{X})}$y${\displaystyle (Y,d_{Y})}$Sean dos espacios métricos y sea${\displaystyle \eta$ :[0,+\infty )\to [0,+\infty )} sea una función creciente. Un homeomorfismo η -cuasi-Möbius${\displaystyle f\colon X\to Y}$ es un homeomorfismo tal que para cada cuádruple${\displaystyle x,y,z,t}$ de puntos distintos en${\displaystyle X}$, tenemos

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(z))d_{Y}(f(y),f(t))}{d_{Y}(f(x),f(y))d_{Y}(f(z),f(t))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,z)d_{X}(y,t)}{d_{X}(x,y)d_{X}(z,t)}}\right).}$