Diámetros conjugados

En geometría , se dice que dos diámetros de una sección cónica son conjugados si cada cuerda paralela a un diámetro es bisecada por el otro diámetro. Por ejemplo, dos diámetros de un círculo son conjugados si y solo si son perpendiculares .

Para una elipse , dos diámetros son conjugados si y solo si la línea tangente a la elipse en un extremo de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente , a veces llamado paralelogramo delimitador (sesgado en comparación con un rectángulo delimitador ). En su manuscrito De motu corporum in gyrum y en los ' Principia ', Isaac Newton cita como lema demostrado por autores anteriores que todos los paralelogramos (delimitadores) para una elipse dada tienen la misma área .

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados o de cualquier paralelogramo delimitador. Por ejemplo, en la proposición 14 del Libro VIII de su Colección , Papo de Alejandría ofrece un método para construir los ejes de una elipse a partir de un par de diámetros conjugados dados. Otro método consiste en utilizar la construcción de Rytz , que aprovecha el teorema de Tales para hallar las direcciones y longitudes de los ejes mayor y menor de una elipse, independientemente de su rotación o deformación .

En geometría analítica , si consideramos los vectores de los dos semidiámetros conjugados,${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$, entonces la elipse se parametriza mediante${\displaystyle {\vec {a}}\ \cos \theta +{\vec {b}}\ \sin \theta }$como${\displaystyle \theta }$varía a lo largo de${\displaystyle [0,2\pi ]}$.

De forma similar al caso elíptico, los diámetros de una hipérbola son conjugados cuando cada uno biseca todas las cuerdas paralelas al otro. ^{[ 1 ]} En este caso, tanto la hipérbola como su conjugada son fuentes de las cuerdas y los diámetros.

Apolonio de Perga dio la siguiente construcción de diámetros conjugados, dada la hipérbola conjugada : "Si Q es un punto cualquiera en una hipérbola y CE se traza desde el centro paralela a la tangente en Q que interseca la hipérbola conjugada en E, entonces (1) la tangente en E será paralela a CQ y (2) CQ y CE serán diámetros conjugados." ^{[ 2 ]}

En geometría analítica , si${\displaystyle {\vec {a}},\ {\vec {b}}}$son vectores de los dos semidiámetros conjugados, entonces la hipérbola se parametriza mediante${\displaystyle {\vec {a}}\ \cosh \theta +{\vec {b}}\ \sinh \theta }$como${\displaystyle \theta }$varía a lo largo de${\displaystyle \mathbb {R} }$.

En el caso de una hipérbola rectangular, su conjugada es la reflexión respecto de una asíntota . Un diámetro de una hipérbola es conjugado a su reflexión respecto de la asíntota, que es un diámetro de la otra hipérbola. Así como la perpendicularidad es la relación entre los diámetros conjugados de un círculo, la ortogonalidad hiperbólica es la relación entre los diámetros conjugados de hipérbolas rectangulares.

La colocación de las barras de refuerzo de un conjunto cuadrado de vigas se guía por la relación de diámetros conjugados en un libro de geometría analítica . ^{[ 3 ]}

Los diámetros conjugados de las hipérbolas también son útiles para enunciar el principio de relatividad en la física moderna del espacio-tiempo . El concepto de relatividad se introduce por primera vez en un plano que consta de una sola dimensión en el espacio , siendo la segunda dimensión el tiempo . En dicho plano, una hipérbola corresponde a eventos a un intervalo constante de tipo espacial desde el evento de origen, y la otra hipérbola corresponde a eventos a un intervalo constante de tipo temporal desde este. El principio de relatividad se puede formular como: «Cualquier par de diámetros conjugados de hipérbolas conjugadas puede tomarse como ejes del espacio y del tiempo». Esta interpretación de la relatividad fue enunciada por E. T. Whittaker en 1910. ^{[ 4 ]}

En geometría proyectiva, cada línea contiene un punto en el infinito , también llamado punto figurativo . La elipse, la parábola y la hipérbola se consideran cónicas en geometría proyectiva, y cada cónica determina una relación de polo y polar entre puntos y líneas. Según estos conceptos, «dos diámetros son conjugados cuando cada uno es el polar del punto figurativo del otro». ^{[ 5 ]}

Solo uno de los diámetros conjugados de una hipérbola corta la curva.

La noción de separación de pares de puntos distingue una elipse de una hipérbola: en la elipse, cada par de diámetros conjugados separa a cualquier otro par. En una hipérbola, un par de diámetros conjugados nunca separa a otro par de diámetros conjugados.

• Chasles, Michel (1865). "Diámetros conjugués" . Traité dessections coniques, es decir, partie. faisant suite autreatment de géométrie supérieure (en francés). París: Gauthier-Villars. págs. 116 a 23. 

• WK Clifford (1878) Elementos de dinámica , página 90, enlace de HathiTrust .

• Coxeter, HSM (1955). El plano proyectivo real (2.ª  ed.). Cambridge University Press . págs. 130-135 . 

• Salmon, George (1900). Un tratado sobre secciones cónicas . Londres: Longmans, Green & Co. pág. 165 . 

• "Diámetros conjugados en una elipse" . cut-the-knot.org .
• Besant, WH (1895). "Propiedades de los diámetros conjugados". Secciones cónicas tratadas geométricamente . Monografías históricas de matemáticas. Londres; Ithaca, NY: G. Bell; Universidad de Cornell . pág.  109.