conjugado armónico

En matemáticas , una función de valor real${\displaystyle u(x,y)}$definido en un conjunto abierto conexo${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$Se dice que tiene una función conjugada.${\displaystyle v(x,y)}$si y solo si son respectivamente las partes real e imaginaria de una función holomorfa${\displaystyle f(z)}$de la variable compleja${\displaystyle z:=x+iy\en \Omega .}$ Eso es,${\displaystyle v}$es conjugado de${\displaystyle u}$si${\displaystyle f(z):=u(x,y)+iv(x,y)}$es holomorfo en${\displaystyle \Omega .}$ Como primera consecuencia de la definición, ambas son funciones armónicas de valor real en${\displaystyle \Omega }$. Además, el conjugado de${\displaystyle u,}$Si existe, es único salvo una constante aditiva. Además,${\displaystyle u}$es conjugado de${\displaystyle v}$si y solo si${\displaystyle v}$es conjugado de${\displaystyle -u}$.

De forma equivalente,${\displaystyle v}$es conjugado de${\displaystyle u}$en${\displaystyle \Omega }$si y solo si${\displaystyle u}$y${\displaystyle v}$satisfacer las ecuaciones de Cauchy-Riemann en${\displaystyle \Omega .}$Como consecuencia inmediata de esta última definición equivalente, si${\displaystyle u}$¿Hay alguna función armónica en?${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2},}$la función${\displaystyle -u_{y}}$es conjugado de${\displaystyle u_{x}}$porque entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann son simplemente${\displaystyle \Delta u=0}$y la simetría de las derivadas mixtas de segundo orden ,${\displaystyle u_{xy}=u_{yx}.}$Por lo tanto, una función armónica ${\displaystyle u}$admite una función armónica conjugada si y solo si la función holomorfa${\displaystyle g(z):=u_{x}(x,y)-iu_{y}(x,y)}$tiene un primitivo${\displaystyle f(z)}$en${\displaystyle \Omega ,}$en cuyo caso un conjugado de${\displaystyle u}$es, por supuesto,${\displaystyle \operatorname {Im} f(x+iy).}$Por lo tanto, cualquier función armónica siempre admite una función conjugada cuando su dominio es simplemente conexo , y en cualquier caso admite una conjugada localmente en cualquier punto de su dominio.

Hay un operador que toma una función armónica u en una región simplemente conexa en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$a su conjugado armónico v (poniendo, por ejemplo, v ( x ₀ ) = 0 en un x ₀ dado para fijar la indeterminación del conjugado salvo constantes). Esto es bien conocido en aplicaciones como (esencialmente) la transformada de Hilbert ; también es un ejemplo básico en análisis matemático , en relación con operadores integrales singulares . Las funciones armónicas conjugadas (y la transformada entre ellas) son también uno de los ejemplos más simples de una transformada de Bäcklund (dos EDP y una transformada que relaciona sus soluciones), en este caso lineal; las transformadas más complejas son de interés en solitones y sistemas integrables .

Geométricamente, u y v están relacionadas por tener trayectorias ortogonales , alejándose de los ceros de la función holomorfa subyacente; los contornos en los que u y v son constantes se cruzan en ángulo recto . En este sentido, u + iv sería el potencial complejo , donde u es la función potencial y v es la función de corriente .

Por ejemplo, consideremos la función$${\displaystyle u(x,y)=e^{x}\sin y.}$$

Desde $${\displaystyle {\partial u \over \partial x}=e^{x}\sin y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=e^{x}\sin y}$$ y $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=e^{x}\cos y,\quad {\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}=-e^{x}\sin y,}$$ Satisface $${\displaystyle \Delta u=\nabla ^{2}u=0}$$ (${\displaystyle \Delta }$es el operador de Laplace ) y por lo tanto es armónico. Ahora supongamos que tenemos un${\displaystyle v(x,y)}$de tal manera que se satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

$${\displaystyle {\partial u \over \partial x}={\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ y $${\displaystyle {\partial u \over \partial y}=-{\partial v \over \partial x}=e^{x}\cos y.}$$

Simplificando, $${\displaystyle {\partial v \over \partial y}=e^{x}\sin y}$$ y $${\displaystyle {\partial v \over \partial x}=-e^{x}\cos y}$$ que cuando se resuelve da $${\displaystyle v=-e^{x}\cos y+C.}$$

Obsérvese que si se intercambiaran las funciones relacionadas con u y v , las funciones no serían conjugadas armónicas, ya que el signo menos en las ecuaciones de Cauchy-Riemann hace que la relación sea asimétrica.

La propiedad de mapeo conforme de las funciones analíticas (en los puntos donde la derivada no es cero) da lugar a una propiedad geométrica de los conjugados armónicos. Claramente, el conjugado armónico de x es y , y las líneas de x constante e y constante son ortogonales. La conformidad dice que los contornos de u ( x , y ) y v ( x , y ) constantes también serán ortogonales donde se cruzan (lejos de los ceros de f ′( z ) ). Esto significa que v es una solución específica del problema de la trayectoria ortogonal para la familia de contornos dada por u (no la única solución, naturalmente, ya que también podemos tomar funciones de v ): la cuestión, que se remonta a las matemáticas del siglo XVII, de encontrar las curvas que cruzan una familia dada de curvas que no se intersecan en ángulo recto.

• Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Variables complejas y aplicaciones (6.ª  ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág . 61. ISBN  0-07-912147-0. Si dos funciones dadas u y v son armónicas en un dominio D y sus derivadas parciales de primer orden satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann (2) en todo D , se dice que v es un conjugado armónico de u .

• "Funciones armónicas conjugadas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]