El teorema fundamental de Conley sobre sistemas dinámicos

El teorema fundamental de Conley para sistemas dinámicos, o teorema de descomposición de Conley, establece que todo flujo de un sistema dinámico con un retrato de fase compacto admite una descomposición en una parte recurrente en cadena y una parte de flujo tipo gradiente. ^{[ 1 ]} Debido a la descripción concisa pero completa de muchos sistemas dinámicos, el teorema de Conley también se conoce como el teorema fundamental de los sistemas dinámicos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} El teorema fundamental de Conley se ha extendido a sistemas con retratos de fase no compactos ^{[ 4 ]} y también a sistemas dinámicos híbridos. ^{[ 5 ]}

La descomposición de Conley se caracteriza por una función conocida como función de Lyapunov completa. A diferencia de las funciones de Lyapunov tradicionales , que se utilizan para afirmar la estabilidad de un punto de equilibrio (o un punto fijo) y solo pueden definirse en la cuenca de atracción del atractor correspondiente, las funciones de Lyapunov completas deben definirse en todo el retrato de fase.

En el caso particular de una ecuación diferencial autónoma definida en un conjunto compacto X , una función de Lyapunov completa V de X a R es una función de valor real en X que satisface: ^{[ 6 ]}

• V no es creciente a lo largo de todas las soluciones de la ecuación diferencial, y
• V es constante en los conjuntos invariantes aislados .

El teorema de Conley establece que existe una función de Lyapunov continua y completa para cualquier ecuación diferencial en un espacio métrico compacto. Un resultado similar es válido para sistemas dinámicos de tiempo discreto.

• teoría del índice de Conley