teoría del índice de Conley

En la teoría de sistemas dinámicos , la teoría del índice de Conley , que lleva el nombre de Charles Conley , analiza la estructura topológica de conjuntos invariantes de difeomorfismos y de flujos suaves . Es una generalización de gran alcance del teorema del índice de Hopf , que predice la existencia de puntos fijos de un flujo dentro de una región plana en términos de información sobre su comportamiento en la frontera. La teoría de Conley está relacionada con la teoría de Morse , que describe la estructura topológica de una variedad cerrada mediante un campo vectorial gradiente no degenerado . Tiene un enorme abanico de aplicaciones al estudio de la dinámica, incluyendo la existencia de órbitas periódicas en sistemas hamiltonianos y soluciones de onda viajera para ecuaciones diferenciales parciales , la estructura de atractores globales para ecuaciones de reacción-difusión y ecuaciones diferenciales con retardo , la demostración del comportamiento caótico en sistemas dinámicos y la teoría de bifurcaciones . La teoría del índice de Conley constituyó la base para el desarrollo de la homología de Floer .

Un papel fundamental en la teoría lo desempeñan las nociones de vecindario aislante.${\displaystyle N}$y conjunto invariante aislado${\displaystyle S}$El índice de Conley${\displaystyle h(S)}$es el tipo de homotopía de un espacio construido a partir de un par determinado${\displaystyle (N_{1},N_{2})}$de conjuntos compactos llamados par de índices para${\displaystyle S}$. Charles Conley demostró que existen pares de índices y que el índice de${\displaystyle S}$es independiente de la elección del par de índices. En el caso especial del flujo de gradiente negativo de una función suave, el índice de Conley de un punto crítico (Morse) no degenerado de índice${\displaystyle N}$es el tipo de homotopía puntiaguda de la k- esfera S ^k .

Un teorema fundamental de Conley afirma la invariancia de continuación : el índice de Conley es invariante bajo ciertas deformaciones del sistema dinámico. Por lo tanto, el cálculo del índice puede reducirse al caso del difeomorfismo o de un campo vectorial cuyos conjuntos invariantes se conocen bien.

Si el índice no es trivial, entonces el conjunto invariante S no está vacío. Este principio puede ampliarse para establecer la existencia de puntos fijos y órbitas periódicas dentro de N.

Construimos el índice de Conley a partir del concepto de par de índices.

Dado un conjunto invariante aislado${\displaystyle S}$en un flujo${\displaystyle \phi }$, un par de índices para${\displaystyle S}$es un par de conjuntos compactos${\displaystyle (N_{1},N_{2})}$, con${\displaystyle N_{2}\subset N_{1}}$, satisfactorio

• ${\displaystyle S={\text{Inv}}(N_{1}\setminus N_{2})}$y${\ Displaystyle N_ {1} \ setminus N_ {2}}$es un barrio de${\displaystyle S}$;
• A pesar de${\displaystyle x\in N_{2}}$y${\displaystyle t>0}$,${\displaystyle \phi ([0,t],x)\subset N_{1}\Rightarrow \phi ([0,t],x)\subset N_{2}}$;
• A pesar de${\displaystyle x\in N_{1}}$y${\displaystyle t>0}$,${\displaystyle \phi (t,x)\not \in N_{1}\Rightarrow \exists t'\in [0,t]}$de tal manera que${\displaystyle \phi (t',x)\in N_{2}}$.

Conley demuestra que todo conjunto invariante aislante admite un par de índices. Para un conjunto invariante aislado${\displaystyle S}$, elegimos algún par de índices${\displaystyle (N_{1},N_{2})}$de${\displaystyle S}$y definimos, entonces, el índice de homotopía de Conley de${\displaystyle S}$como

${\displaystyle h(S,\phi ):=[(N_{1}/N_{2},[N_{2}])]}$,

el tipo de homotopía del espacio cociente${\ Displaystyle (N_ {1}/N_ {2}, [N_ {2}])}$, visto como un espacio topológico apuntado.

Análogamente, el índice de Conley de (co)homología de${\displaystyle S}$es el complejo de cadena

${\displaystyle CH_{\bullet }(S,\phi )=H_{\bullet }(N_{1}/N_{2},[N_{2}])}$.

Cabe destacar que Conley también demostró que el índice de Conley es independiente de la elección de un par de índices, por lo que el índice está bien definido.

Algunas de las propiedades más importantes del índice son consecuencias directas de su definición, heredando propiedades de la homología y la homotopía. Algunas de ellas incluyen las siguientes:

• Si${\displaystyle h(S)\neq 0}$, entonces${\displaystyle S\neq \emptyset }$;

• Si${\displaystyle S=\cup _{i=1}^{n}M_{i}}$, donde cada${\displaystyle M_{i}}$es un conjunto invariante aislado, entonces${\displaystyle CH_{k}(S)=\oplus _{i=1}^{n}CH_{k}(M_{i})}$;

• El índice de Conley es invariante bajo homotopía.

Obsérvese que un conjunto de Morse es un conjunto invariante aislado, por lo que el índice de Conley está definido para él.

• Charles Conley, Conjuntos invariantes aislados y el índice de Morse . CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 38. American Mathematical Society, Providence, RI, 1978 ISBN 0-8218-1688-8
• Thomas Bartsch (2001) [1994], "Índice de Conley" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• John Franks, Michal Misiurewicz, Métodos topológicos en dinámica . Capítulo 7 en Manual de sistemas dinámicos , vol. 1, parte 1, pp. 547–598, Elsevier 2002 ISBN 978-0-444-82669-5
• Jürgen Jost , Sistemas dinámicos. Ejemplos de comportamiento complejo . Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 2005 ISBN 978-3-540-22908-7
• Konstantin Mischaikow, Marian Mrozek, Conley index . Capítulo 9 en Handbook of Dynamical Systems , vol. 2, pp. 393–460, Elsevier 2002 ISBN 978-0-444-50168-4
• MR Razvan, Sobre el teorema fundamental de Conley sobre sistemas dinámicos , 2002.

• Separación de singularidades topológicas (Proyecto de demostraciones de Wolfram)

• El teorema fundamental de Conley sobre sistemas dinámicos