Conexión (haz afín)

Sea Y → X un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial Y → X. Una conexión Γ en Y → X se denomina conexión afín si, como sección Γ  : Y → J ¹ Y del fibrado jet J ¹ Y → Y de Y , es un morfismo de fibrado afín sobre X. En particular, se trata de una conexión afín en el fibrado tangente T X de una variedad diferenciable X. (Es decir, la conexión en un fibrado afín es un ejemplo de conexión afín; sin embargo, no es una definición general de conexión afín. Son conceptos relacionados pero distintos que, lamentablemente, utilizan el adjetivo "afín").

Con respecto a las coordenadas del fibrado afín ( x ^λ , y ⁱ ) en Y , una conexión afín Γ en Y → X viene dada por la forma de conexión con valores tangentes

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma &=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+\Gamma _{\lambda }^{i}\partial _{i}\right)\,,\\\Gamma _{\lambda }^{i}&={{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right)y^{j}+\sigma _{\lambda }^{i}\left(x^{\nu }\right)\,.\end{aligned}}}$

Un haz afín es un haz de fibras con un grupo de estructura afín general GA( m , ℝ) de transformaciones afines de su fibra típica V de dimensión m . Por lo tanto, una conexión afín está asociada a una conexión principal . Siempre existe.

Para cualquier conexión afín Γ  : Y → J ¹ Y , la derivada lineal correspondiente Γ  : Y → J ¹ Y de un morfismo afín Γ define una única conexión lineal en un fibrado vectorial Y → X . Con respecto a las coordenadas del fibrado lineal ( x ^λ , y ⁱ ) en Y , esta conexión se lee

${\displaystyle {\overline {\Gamma }}=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{j}\left(x^{\nu }\right){\overline {y}}^{j}{\overline {\partial }}_{i}\right)\,.}$

Dado que todo fibrado vectorial es un fibrado afín, cualquier conexión lineal en un fibrado vectorial también es una conexión afín.

Si Y → X es un fibrado vectorial, tanto una conexión afín Γ como una conexión lineal asociada Γ son conexiones en el mismo fibrado vectorial Y → X , y su diferencia es una forma básica de soldadura en

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\lambda }^{i}(x^{\nu })dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,.}$

Por lo tanto, toda conexión afín en un fibrado vectorial Y → X es una suma de una conexión lineal y una forma de soldadura básica en Y → X.

Debido a la división vertical canónica V Y = Y × Y , esta forma de soldadura se transforma en una forma vectorial.

${\displaystyle \sigma =\sigma _{\lambda }^{i}(x^{\nu })dx^{\lambda }\otimes e_{i}}$

donde e _i es una base de fibra para Y.

Dada una conexión afín Γ en un fibrado vectorial Y → X , sean R y R las curvaturas de una conexión Γ y la conexión lineal asociada Γ , respectivamente. Se observa fácilmente que R = R + T , donde

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}T_{\lambda \mu }^{i}dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\T_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\sigma _{\lambda }^{i}+\sigma _{\lambda }^{h}{{\Gamma _{\mu }}^{i}}_{h}-\sigma _{\mu }^{h}{{\Gamma _{\lambda }}^{i}}_{h}\,,\end{aligned}}}$

es la torsión de Γ con respecto a la forma de soldadura básica σ .

En particular, consideremos el fibrado tangente T X de una variedad X coordinada por ( x ^μ , ẋ ^μ ) . Existe la forma de soldadura canónica

${\displaystyle \theta =dx^{\mu }\otimes {\dot {\partial }}_{\mu }}$

en T X que coincide con la forma única tautológica

${\displaystyle \theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }}$

en X debido a la división vertical canónica VT X = T X × T X . Dada una conexión lineal arbitraria Γ en T X , la conexión afín correspondiente

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\Gamma +\theta \,,\\A_{\lambda }^{\mu }&={{\Gamma _{\lambda }}^{\mu }}_{\nu }{\dot {x}}^{\nu }+\delta _{\lambda }^{\mu }\,,\end{aligned}}}$

En T X se encuentra la conexión de Cartan . La torsión de la conexión de Cartan A con respecto a la forma de soldadura θ coincide con la torsión de una conexión lineal Γ , y su curvatura es una suma R + T de la curvatura y la torsión de Γ .

• Conexión (colector de fibra)
• conexión afín
• Conexión (paquete vectorial)
• Conexión (matemáticas)
• teoría de gauge afín

• Kobayashi, S.; Nomizu , K. (1996). Fundamentos de geometría diferencial . Vol. 1–2 . Wiley-Interscience. ISBN  0-471-15733-3.
• Sardanashvily, G. (2013). Geometría diferencial avanzada para teóricos. Fibrados, variedades de jets y teoría lagrangiana . Lambert Academic Publishing. arXiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . ISBN 978-3-659-37815-7.