Conexión (colector de fibra)

En geometría diferencial , una variedad fibrada es la submersión sobreyectiva de variedades diferenciables $Y$ $\to$ $X.$ Las variedades fibradas localmente triviales son fibrados . Por lo tanto, la noción de conexión en variedades fibradas proporciona un marco general para la conexión en fibrados.

Definición formal

Sea $π$ $:$ $Y$ $\to$ $X$ una variedad fibrada. Una conexión generalizada en $Y$ es una sección $Γ$ $:$ $Y$ $\to J$ $1$ $Y$ , donde $J$ $1$ $Y$ es la variedad jet de $Y$ . ^[¹^]

Conexión como una división horizontal

Con la variedad $π$ anterior , existe la siguiente secuencia exacta corta canónica de fibrados vectoriales sobre $Y$ :

donde $T Y$ y $T X$ son los haces tangentes de $Y$ , respectivamente, $V Y$ es el haz tangente vertical de $Y$ , y $Y \times X T X$ es el haz de retroceso de $T X$ sobre $Y.$

Una conexión en una variedad fibrada $Y \to X$ se define como un morfismo de fibrado lineal.

sobre $Y$ que divide la secuencia exacta 1. Siempre existe una conexión.

A veces, esta conexión $Γ$ se denomina conexión de Ehresmann porque produce la distribución horizontal.

\mathrm {H} Y=\Gamma \left(Y\times _{X}\mathrm {T} X\right)\subset \mathrm {T} Y

de $T Y$ y su descomposición horizontal $T Y = V Y \oplus H Y$ .

Al mismo tiempo, por conexión de Ehresmann también se entiende la siguiente construcción. Cualquier conexión $Γ$ en una variedad fibrada $Y \to X$ produce una elevación horizontal $Γ \circ τ$ de un campo vectorial $τ$ en $X$ sobre $Y$ , pero no necesariamente define la elevación similar de un camino en $X$ sobre $Y.$ Sea

{\begin{aligned}\mathbb {R} \supset [,]\ni t&\to x(t)\in X\\\mathbb {R} \ni t&\to y(t)\in Y\end{aligned}}

Sean dos trayectorias suaves en $X$ e $Y$ , respectivamente. Entonces $t \to y (t)$ se denomina elevación horizontal de $x (t)$ si

\pi (y(t))=x(t)\,,\qquad {\dot {y}}(t)\in \mathrm {H} Y\,,\qquad t\in \mathbb {R} \,.

Se dice que una conexión $Γ es una$ conexión de Ehresmann si, para cada camino $x ([0,1])$ en $X$ , existe su elevación horizontal a través de cualquier punto $y \in π -1 (x ([0,1]))$ . Una variedad fibrada es un fibrado si y solo si admite dicha conexión de Ehresmann.

Conexión como forma con valor tangente

Dada una variedad fibrada $Y \to X$ , supongamos que está dotada de un atlas de coordenadas fibradas $(x μ, y i)$ , y sea $Γ$ una conexión en $Y \to X$ . Esto produce de forma única la 1-forma horizontal con valores tangentes.

en $Y$ que se proyecta sobre la forma tangente canónica ( forma única tautológica o forma soldada )

\theta _{X}=dx^{\mu }\otimes \partial _{\mu }

en $X$ , y viceversa . Con esta forma, la división horizontal 2 se lee

{\displaystyle \Gamma

En particular, la conexión $Γ$ en 3 produce la elevación horizontal de cualquier campo vectorial $τ = τ μ \partial μ$ en $X$ a un campo vectorial proyectable.

\Gamma \tau =\tau \rfloor \Gamma =\tau ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+\Gamma _{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\subset \mathrm {H} Y

en $Y.$

La conexión como forma de valor vertical

La división horizontal 2 de la secuencia exacta 1 define la división correspondiente de la secuencia exacta dual.

0\to Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\to \mathrm {T} ^{*}Y\to \mathrm {V} ^{*}Y\to 0\,,

donde $T* Y$ y $T* X$ son los fibrados cotangentes de $Y$ , respectivamente, y $V* Y \to Y$ es el fibrado dual de $V Y \to Y$ , llamado fibrado cotangente vertical. Esta descomposición viene dada por la forma con valores verticales

\Gamma =\left(dy^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}dx^{\lambda }\right)\otimes \partial _{i}\,,

lo que también representa una conexión en un colector de fibras.

Al tratar una conexión como una forma con valores verticales, se llega a la siguiente construcción importante. Dada una variedad fibrada $Y \to X$ , sea $f : X' \to X$ un morfismo y $f * Y \to X'$ el fibrado de retroceso de $Y$ por $f$ . Entonces, cualquier conexión $Γ$ 3 en $Y \to X$ induce la conexión de retroceso.

f*\Gamma =\left(dy^{i}-\left(\Gamma \circ {\tilde {f}}\right)_{\lambda }^{i}{\frac {\partial f^{\lambda }}{\partial x'^{\mu }}}dx'^{\mu }\right)\otimes \partial _{i}

en $f * Y \to X'$ .

Conexión como sección de paquete de chorros

Sea $J 1 Y$ la variedad jet de secciones de una variedad fibrada $Y \to X$ , con coordenadas $(x μ, y i, y i μ)$ . Debido a la inmersión canónica

\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\left(Y\times _{X}\mathrm {T} ^{*}X\right)\otimes _{Y}\mathrm {T} Y\,,\qquad \left(y_{\mu }^{i}\right)\to dx^{\mu }\otimes \left(\partial _{\mu }+y_{\mu }^{i}\partial _{i}\right)\,,

cualquier conexión $Γ$ 3 en una variedad fibrada $Y \to X$ está representada por una sección global

\Gamma :Y\to \mathrm {J} ^{1}Y\,,\qquad y_{\lambda }^{i}\circ \Gamma =\Gamma _{\lambda }^{i}\,,

del fibrado jet $J 1 Y \to Y$ , y viceversa . Es un fibrado afín modelado sobre un fibrado vectorial

De este hecho se derivan las siguientes consecuencias.

Las conexiones en una variedad de fibras $Y \to X$ conforman un espacio afín modelado sobre el espacio vectorial de formas de soldadura. en $Y \to X$ , es decir, secciones del fibrado vectorial 4 .
Los coeficientes de conexión poseen la ley de transformación de coordenadas
${\Gamma '}_{\lambda }^{i}={\frac {\partial x^{\mu }}{\partial {x'}^{\lambda }}}\left(\partial _{\mu }{y'}^{i}+\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}{y'}^{i}\right)\,.$
Cada conexión $Γ$ en una variedad fibrada $Y \to X$ produce el operador diferencial de primer orden.
$D_{\Gamma }:\mathrm {J} ^{1}Y\to _{Y}\mathrm {T} ^{*}X\otimes _{Y}\mathrm {V} Y\,,\qquad D_{\Gamma }=\left(y_{\lambda }^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$
en $Y$ se denomina diferencial covariante con respecto a la conexión $Γ$ . Si $s : X \to Y$ es una sección, su diferencial covariante es
$\nabla ^{\Gamma }s=\left(\partial _{\lambda }s^{i}-\Gamma _{\lambda }^{i}\circ s\right)dx^{\lambda }\otimes \partial _{i}\,,$
y la derivada covariante
$\nabla _{\tau }^{\Gamma }s=\tau \rfloor \nabla ^{\Gamma }s$
Se definen a lo largo de un campo vectorial $τ$ en $X.$

Curvatura y torsión

Dada la conexión $Γ$ 3 en una variedad fibrada $Y \to X$ , su curvatura se define como la diferencial de Nijenhuis.

{\begin{aligned}R&={\tfrac {1}{2}}d_{\Gamma }\Gamma \\&={\tfrac {1}{2}}[\Gamma ,\Gamma ]_{\mathrm {FN} }\\&={\tfrac {1}{2}}R_{\lambda \mu }^{i}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,,\\R_{\lambda \mu }^{i}&=\partial _{\lambda }\Gamma _{\mu }^{i}-\partial _{\mu }\Gamma _{\lambda }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\mu }^{i}-\Gamma _{\mu }^{j}\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\,.\end{aligned}}

Esta es una forma bidimensional horizontal con valores verticales en $Y.$

Dada la conexión $Γ$ 3 y la forma de soldadura $σ$ 5 , una torsión de $Γ$ con respecto a $σ$ se define como

T=d_{\Gamma }\sigma =\left(\partial _{\lambda }\sigma _{\mu }^{i}+\Gamma _{\lambda }^{j}\partial _{j}\sigma _{\mu }^{i}-\partial _{j}\Gamma _{\lambda }^{i}\sigma _{\mu }^{j}\right)\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes \partial _{i}\,.

Conjunto de conexiones principales

Sea $π : P \to M$ un fibrado principal con un grupo de Lie de estructura $G.$ Una conexión principal en $P$ se describe usualmente por una 1-forma de conexión con valores de álgebra de Lie en $P.$ Al mismo tiempo, una conexión principal en $P$ es una sección global del fibrado jet $J 1 P \to P$ que es equivariante con respecto a la acción derecha canónica de $G$ en $P.$ Por lo tanto, está representada por una sección global del fibrado cociente $C = J 1 P / G \to M$ , llamado fibrado de conexiones principales . Es un fibrado afín modelado en el fibrado vectorial $V P / G \to M$ cuya fibra típica es el álgebra de Lie $g$ del grupo de estructura $G$ , y donde $G$ actúa sobre mediante la representación adjunta . Hay una inmersión canónica de $C$ en el fibrado cociente $T P / G$ que también se llama fibrado de conexiones principales .

Dada una base ${e m$ } para un álgebra de Lie de $G$ , el fibrado $C$ está dotado de coordenadas de fibrado $(x μ, a m μ)$ , y sus secciones están representadas por formas vectoriales de un vector.

A=dx^{\lambda }\otimes \left(\partial _{\lambda }+a_{\lambda }^{m}{\mathrm {e} }_{m}\right)\,,

dónde

a_{\lambda }^{m}\,dx^{\lambda }\otimes {\mathrm {e} }_{m}

son las formas de conexión local familiares en $M.$

Tengamos en cuenta que el fibrado de jets $J 1 C$ de $C$ es un espacio de configuración de la teoría de gauge de Yang-Mills . Admite la descomposición canónica

{\begin{aligned}a_{\lambda \mu }^{r}&={\tfrac {1}{2}}\left(F_{\lambda \mu }^{r}+S_{\lambda \mu }^{r}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}+a_{\mu \lambda }^{r}-c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)+{\tfrac {1}{2}}\left(a_{\lambda \mu }^{r}-a_{\mu \lambda }^{r}+c_{pq}^{r}a_{\lambda }^{p}a_{\mu }^{q}\right)\,,\end{aligned}}

dónde

F={\tfrac {1}{2}}F_{\lambda \mu }^{m}\,dx^{\lambda }\wedge dx^{\mu }\otimes {\mathrm {e} }_{m}

Se denomina forma de fuerza de una conexión principal.

Véase también

Notas

↑ Krupka, Deméter; Janyška, Josef (1990). Conferencias sobre invariantes diferenciales . Universidad JE Purkyně contra Brně. pag. 174.ISBN 80-210-0165-8.

Referencias

Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) . Springer-Verlag. Archivado del original (PDF) el 30 de marzo de 2017. Consultado el 28 de mayo de 2013 .
Krupka, Deméter; Janyška, Josef (1990). Conferencias sobre invariantes diferenciales . Universidad JE Purkyně contra Brně. ISBN 80-210-0165-8.
Saunders, DJ (1989). La geometría de los haces de jets . Cambridge University Press. ISBN 0-521-36948-7.
Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2000). Conexiones en la teoría clásica y cuántica de campos . World Scientific. ISBN 981-02-2013-8.
Sardanashvily, G. (2013). Geometría diferencial avanzada para teóricos. Fibrados, variedades de jets y teoría lagrangiana . Lambert Academic Publishing. arXiv : 0908.1886 . Bibcode : 2009arXiv0908.1886S . ISBN 978-3-659-37815-7.

[1] Krupka, Deméter; Janyška, Josef (1990). Conferencias sobre invariantes diferenciales . Universidad JE Purkyně contra Brně. pag. 174.ISBN 80-210-0165-8.

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