Conexión (paquete principal)

En matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , una conexión es un dispositivo que define una noción de transporte paralelo en el fibrado; es decir, una forma de "conectar" o identificar fibras sobre puntos cercanos. Una G -conexión principal en un G-fibrado principal $P$ sobre un colector liso $M$ es un tipo particular de conexión que es compatible con la acción del grupo $G$ .

Una conexión principal puede considerarse un caso especial de la noción de conexión de Ehresmann , y a veces se la denomina conexión principal de Ehresmann . Da lugar a conexiones (de Ehresmann) en cualquier haz de fibras asociado a $P$ a través de la construcción del fibrado asociado . En particular, en cualquier fibrado vectorial asociado, la conexión principal induce una derivada covariante , un operador que puede diferenciar secciones de ese fibrado a lo largo de direcciones tangentes en la variedad base. Las conexiones principales generalizan a fibrados principales arbitrarios el concepto de una conexión lineal en el fibrado marco de una variedad diferenciable .

Definición formal

{\displaystyle \omega } — Un formulario de conexión de paquete principal $\omega$ puede considerarse como un operador de proyección sobre el fibrado tangente $TP$ del paquete principal $P$ . El núcleo de la forma de conexión viene dado por los subespacios horizontales para la conexión de Ehresmann asociada .

{\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P} — Una conexión se especifica de forma equivalente mediante la elección de un subespacio horizontal. $H_{p}\subset T_{p}P$ para cada espacio tangente al haz principal $P$ .

{\displaystyle G} — Se requiere una conexión de paquete principal para ser compatible con la acción de grupo correcta de $G$ en $P$ Esto puede visualizarse como la multiplicación correcta. $R_{g}$ tomando los subespacios horizontales uno dentro del otro. Esta equivariancia de los subespacios horizontales $H\subset TP$ interpretado en términos de la forma de conexión $\omega$ conduce a sus características propiedades de equivariancia.

Dejar $\pi :P\to M$ ser un haz G principal suave sobre un colector suave $M$ . Luego un director $G$ -conexión en $P$ es una 1-forma diferencial en $P$ con valores en el álgebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ de $G$ que es $G$ -equivariante y reproduce los generadores del álgebra de Lie de los campos vectoriales fundamentales en $P$ .

En otras palabras, es un elemento ω de $\Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})$ de tal manera que

${\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega$ dónde $R_{g}$ denota la multiplicación derecha por $g$ , y $\operatorname {Ad} _{g}$ es la representación adjunta en ${\mathfrak {g}}$ (explícitamente, $\operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}$ );
si $\xi \in {\mathfrak {g}}$ y $X_{\xi }$ es el campo vectorial en P asociado a ξ al diferenciar la acción G en P , entonces $\omega (X_{\xi })=\xi$ (idénticamente en $P$ ).

A veces el término principal $G$ -conexión se refiere al par $(P,\omega )$ y $\omega$ En sí misma se denomina forma de conexión o forma de conexión 1 de la conexión principal.

Observaciones computacionales

La mayoría de los cálculos no triviales conocidos de principio $G$ Las conexiones se realizan con espacios homogéneos debido a la trivialidad del fibrado (co)tangente. (Por ejemplo, sea $G\to H\to H/G$ ser un director $G$ -paquete terminado $H/G$ .) Esto significa que las 1-formas de valor real en el espacio total $H$ son canónicamente isomorfos a $C^{\infty }(H,{\mathfrak {h}}^{*})$ , dónde ${\mathfrak {h}}^{*}$ es el álgebra de Lie dual, por lo tanto $G$ -las conexiones están en biyección con $C^{\infty }(H,{\mathfrak {h}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}$ .

Relación con las conexiones de Ehresmann

Un director $G$ -conexión $\omega$ en $P$ determina una conexión de Ehresmann en $P$ de la siguiente manera. Primero observe que los campos vectoriales fundamentales que generan el $G$ acción sobre $P$ proporcionar un isomorfismo de fibrado (que cubra la identidad de $P$ ) del paquete $V$ a $P\times {\mathfrak {g}}$ , dónde $V=\ker(d\pi )$ es el núcleo del mapeo tangente ${\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM$ que se llama haz vertical de $P$ De ello se deduce que $\omega$ determina de forma única un mapa de paquetes $v:TP\rightarrow V$ que es la identidad en $V$ Tal proyección $v$ está determinado de forma única por su núcleo, que es un subfibrado suave. $H$ de $TP$ (llamado haz horizontal ) de tal manera que $TP=V\oplus H$ Esta es una conexión con Ehresmann.

Por el contrario, una conexión Ehresmann $H\subset TP$ (o $v:TP\rightarrow V$ ) en $P$ define un principio $G$ -conexión $\omega$ si y solo si es $G$ -equivariante en el sentido de que $H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})$ .

Retroceder mediante una sección trivializadora

Una sección trivializadora de un haz principal $P$ está dado por una sección s de $P$ sobre un subconjunto abierto $U$ de $M$ . Entonces, el retroceso s ^*ω de una conexión principal es una 1-forma en $U$ con valores en ${\mathfrak {g}}$ . Si la sección s se reemplaza por una nueva sección sg , definida por ( sg )( x ) = s ( x ) g ( x ), donde g : M → G es una aplicación suave, entonces $(sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg$ . La conexión principal está determinada de forma única por esta familia de ${\mathfrak {g}}$ 1-formas con valores -, y estas 1-formas también se denominan formas de conexión o 1-formas de conexión , particularmente en la literatura más antigua o más orientada a la física.

Conjunto de conexiones principales

El grupo $G$ actúa sobre el haz tangente $TP$ por traslación derecha. El espacio cociente TP / G es también una variedad, y hereda la estructura de un haz de fibras sobre TM que se denotará como dπ : TP / G → TM . Sea ρ: TP / G → M la proyección sobre M . Las fibras del haz TP / G bajo la proyección ρ poseen una estructura aditiva.

El fibrado TP / G se denomina fibrado de conexiones principales ( Kobayashi 1957 ) . Una sección Γ de dπ: TP / G → TM tal que Γ : TM → TP / G es un morfismo lineal de fibrados vectoriales sobre M , puede identificarse con una conexión principal en P. Recíprocamente, una conexión principal definida anteriormente da lugar a dicha sección Γ de TP / G .

Finalmente, sea Γ una conexión principal en este sentido. Sea q : TP → TP / G la aplicación cociente. La distribución horizontal de la conexión es el haz.

H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.

Vemos de nuevo la conexión con el haz horizontal y, por lo tanto, con la conexión de Ehresmann.

Propiedad afín

Si ω y ω ′ son conexiones principales en un fibrado principal P , entonces la diferencia ω ′ − ω es una ${\mathfrak {g}}$ 1-forma con valores en P que no solo es G- equivariante, sino también horizontal en el sentido de que se anula en cualquier sección del fibrado vertical V de P. Por lo tanto, es básica y, en consecuencia, está determinada por una 1-forma en M con valores en el fibrado adjunto.

{\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.

Por el contrario, cualquier forma de este tipo define (mediante retroceso) una 1-forma horizontal G -equivariante en P , y el espacio de conexiones G principales es un espacio afín para este espacio de 1-formas.

Ejemplos

Conexión Maurer-Cartan

Para el principio trivial $G$ -manojo $\pi :E\to X$ dónde $E=G\times X$ , existe una conexión canónica ^{[ 1 ]}^{pág. 49}

$\omega _{MC}\in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})$

llamada conexión Maurer-Cartan. Se define en un punto $(g,x)\in G\times X$ por

$(\omega _{MC})_{(g,x)}=(L_{g^{-1}}\circ \pi _{1})_{*}$ para $x\in X,g\in G$

que es una composición

$T_{(g,x)}E\xrightarrow {\pi _{1*}} T_{g}G\xrightarrow {(L_{g^{-1}})_{*}} T_{e}G={\mathfrak {g}}$

definiendo la 1-forma. Nótese que

$\omega _{0}=(L_{g^{-1}})_{*}:T_{g}G\to T_{e}G={\mathfrak {g}}$

es la forma de Maurer-Cartan en el grupo de Lie $G$ y $\omega _{MC}=\pi _{1}^{*}\omega _{0}$ .

Paquete trivial

Para un principio trivial $G$ -manojo $\pi :E\to X$ , la sección de identidad $i:X\to G\times X$ dado por $i(x)=(e,x)$ define una correspondencia uno a uno

$i^{*}:\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(X,{\mathfrak {g}})$

entre conexiones en $E$ y ${\mathfrak {g}}$ -formas 1-valoradas en $X$ ^{[ 1 ]}^{pág. 53}. Para un ${\mathfrak {g}}$ -forma 1-valorada $A$ en $X$ , existe una única forma 1 ${\tilde {A}}$ en $E$ de tal manera que

${\tilde {A}}(X)=0$ para $X\in T_{x}E$ un vector vertical
$R_{g}^{*}{\tilde {A}}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}$ para cualquier $g\in G$

Entonces, dada esta 1-forma, una conexión en $E$ se puede construir tomando la suma

$\omega _{MC}+{\tilde {A}}$

dando una conexión real en $E$ . Esta única 1-forma se puede construir observándola primero restringida a $(e,x)$ para $x\in X$ . Entonces, ${\tilde {A}}_{(e,x)}$ está determinado por $A$ porque $T_{(x,e)}E=ker(\pi _{*})\oplus i_{*}T_{x}X$ y podemos obtener ${\tilde {A}}_{(g,x)}$ tomando

${\tilde {A}}_{(g,x)}=R_{g}^{*}{\tilde {A}}_{(e,x)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}_{(e,x)}$

De manera similar, la forma

${\tilde {A}}_{(x,g)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ A_{x}\circ \pi _{*}:T_{(x,g)}E\to {\mathfrak {g}}$

define una 1-forma que otorga las propiedades 1 y 2 enumeradas anteriormente.

Extendiendo esto a conjuntos no triviales

Esta afirmación puede refinarse ^{[ 1 ]}^{pág. 55} aún más para haces no triviales $E\to X$ al considerar una cubierta abierta ${\mathcal {U}}=\{U_{a}\}_{a\in I}$ de $X$ con trivializaciones $\{\phi _{a}\}_{a\in I}$ y funciones de transición $\{g_{ab}\}_{a,b\in I}$ . Luego, existe una correspondencia 1-1 entre las conexiones en $E$ y colecciones de 1-formas

$\{A_{a}\in \Omega _{1}(U_{a},{\mathfrak {g}})\}_{a\in I}$

que satisfacen

$A_{b}=Ad(g_{ab}^{-1})\circ A_{a}+g_{ab}^{*}\omega _{0}$

en las intersecciones $U_{ab}$ para $\omega _{0}$ la forma Maurer-Cartan en $G$ , $\omega _{0}=g^{-1}dg$ en forma matricial.

Reformulación global del espacio de conexiones

Para un director $G$ manojo $\pi :E\to M$ el conjunto de conexiones en $E$ es un espacio afín ^{[ 1 ]}^{pág. 57} para el espacio vectorial $\Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})$ dónde $E_{\mathfrak {g}}$ es el haz vectorial adjunto asociado. Esto implica que para cualesquiera dos conexiones $\omega _{0},\omega _{1}$ existe una forma $A\in \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})$ de tal manera que

$\omega _{0}=\omega _{1}+A$

Denotamos el conjunto de conexiones como ${\mathcal {A}}(E)$ o simplemente ${\mathcal {A}}$ si el contexto es claro.

Conexión en el haz de Hopf complejo

Nosotros ^{[ 1 ]}^{pág. 94} podemos construir $\mathbb {CP} ^{n}$ como director $\mathbb {C} ^{*}$ -manojo $\gamma :H_{\mathbb {C} }\to \mathbb {CP} ^{n}$ dónde $H_{\mathbb {C} }=\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}$ y $\gamma$ es el mapa de proyección

$\gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]$

Nótese el álgebra de Lie de $\mathbb {C} ^{*}=GL(1,\mathbb {C} )$ es simplemente el plano complejo. La 1-forma $\omega \in \Omega ^{1}(H_{\mathbb {C} },\mathbb {C} )$ definido como

${\begin{aligned}\omega &={\frac {{\overline {z}}^{t}dz}{|z|^{2}}}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {{\overline {z}}_{i}}{|z|^{2}}}dz_{i}\end{aligned}}$

forma una conexión, que puede comprobarse verificando la definición. Para cualquier fijo $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$ tenemos

${\begin{aligned}R_{\lambda }^{*}\omega &={\frac {{\overline {(z\lambda )}}^{t}d(z\lambda )}{|z\lambda |^{2}}}\\&={\frac {{\overline {\lambda }}\lambda {\overline {z}}^{t}dz}{|\lambda |^{2}\cdot |z|^{2}}}\end{aligned}}$

y desde $|\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}{\lambda }$ , tenemos $\mathbb {C} ^{*}$ -invariancia. Esto se debe a que la acción adjunta es trivial ya que el álgebra de Lie es abeliana. Para construir la descomposición, tenga en cuenta que para cualquier $z\in H_{\mathbb {C} }$ Tenemos una secuencia corta y exacta.

$0\to \mathbb {C} \xrightarrow {v_{z}} T_{z}H_{\mathbb {C} }\xrightarrow {\gamma _{*}} T_{[z]}\mathbb {CP} ^{n}\to 0$

dónde $v_{z}$ se define como

$v_{z}(\lambda )=z\cdot \lambda$

por lo que actúa como escalamiento en la fibra (que se restringe al correspondiente $\mathbb {C} ^{*}$ -acción). Tomar $\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )$ obtenemos

${\begin{aligned}\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )&={\frac {{\overline {z}}dz}{|z|^{2}}}(z\lambda )\\&={\frac {{\overline {z}}z\lambda }{|z|^{2}}}\\&=\lambda \end{aligned}}$

donde la segunda igualdad se deduce porque estamos considerando $z\lambda$ un vector tangente vertical, y $dz(z\lambda )=z\lambda$ La notación es algo confusa, pero si desarrollamos cada término

${\begin{aligned}dz&=dz_{0}+\cdots +dz_{n}\\z&=a_{0}z_{0}+\cdots +a_{n}z_{n}\\dz(z)&=a_{0}+\cdots +a_{n}\\dz(\lambda z)&=\lambda \cdot (a_{0}+\cdots +a_{n})\\{\overline {z}}&={\overline {a_{0}}}+\cdots +{\overline {a_{n}}}\end{aligned}}$

se vuelve más claro (donde $a_{i}\in \mathbb {C}$ ).

Covariante inducida y derivadas externas

Para cualquier representación lineal W de G existe un fibrado vectorial asociado. $P\times ^{G}W$ sobre M , y una conexión principal induce una derivada covariante en cualquier fibrado vectorial de este tipo. Esta derivada covariante se puede definir utilizando el hecho de que el espacio de secciones de $P\times ^{G}W$ sobre M es isomorfo al espacio de funciones con valores en W equivariantes G en P. Más generalmente, el espacio de k -formas con valores en $P\times ^{G}W$ se identifica con el espacio de k -formas G- equivariantes y horizontales con valores W en P. Si α es una k- forma de este tipo, entonces su derivada exterior d α , aunque G- equivariante, ya no es horizontal. Sin embargo, la combinación d α + ω Λ α sí lo es. Esto define una derivada covariante exterior d ^ω de $P\times ^{G}W$ k -formas con valores en M a $P\times ^{G}W$ formas ( k +1) -valoradas en M. En particular, cuando k = 0, obtenemos una derivada covariante en $P\times ^{G}W$ .

Forma de curvatura

La forma de curvatura de una conexión G principal ω es la ${\mathfrak {g}}$ Ω de 2 valores definido por

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].

Es G -equivariante y horizontal, por lo tanto corresponde a una 2-forma en M con valores en ${\mathfrak {g}}_{P}$ La identificación de la curvatura con esta magnitud se denomina a veces la segunda ecuación de estructura (de Cartan) . ^{[ 2 ]} Históricamente, el surgimiento de las ecuaciones de estructura se encuentra en el desarrollo de la conexión de Cartan . Cuando se transponen al contexto de los grupos de Lie , las ecuaciones de estructura se conocen como las ecuaciones de Maurer-Cartan : son las mismas ecuaciones, pero en un contexto y notación diferentes.

Conexiones planas y caracterización de haces con conexiones planas.

Decimos que una conexión $\omega$ es plano si su forma curva $\Omega =0$ . Existe una caracterización útil de los haces principales con conexiones planas; es decir, un haz principal $G$ -manojo $\pi :E\to X$ tiene una conexión plana ^{[ 1 ]}^{pág. 68} si y solo si existe una cubierta abierta $\{U_{a}\}_{a\in I}$ con trivializaciones $\left\{\phi _{a}\right\}_{a\in I}$ de tal manera que todas las funciones de transición

$g_{ab}:U_{a}\cap U_{b}\to G$

son constantes. Esto es útil porque proporciona una receta para construir principios planos. $G$ -fibrados sobre variedades diferenciables; es decir, tomar una cubierta abierta y definir trivializaciones con funciones de transición constantes.

Conexiones en haces de marcos y torsión

Si el fibrado principal P es el fibrado de marco , o (más generalmente) si tiene una forma de soldadura , entonces la conexión es un ejemplo de una conexión afín , y la curvatura no es el único invariante, ya que se debe tener en cuenta la estructura adicional de la forma de soldadura θ , que es una 1-forma equivariante con valores R ⁿ en P. En particular, la forma de torsión en P es una 2-forma con valores R ^{n Θ definida por}

\Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .

Θ es G -equivariante y horizontal, por lo que desciende a una 2-forma con valores tangentes en M , llamada torsión . Esta ecuación a veces se denomina la primera ecuación de estructura (de Cartan) .

Definición en geometría algebraica

Si X es un esquema (o más generalmente, pila, pila derivada o incluso pre-pila), podemos asociarle su llamada pila de De Rham , denotada X _dR . Esta tiene la propiedad de que un fibrado G principal sobre X _dR es lo mismo que un fibrado G con conexión *plana* sobre X.

Referencias

1 2 3 4 5 6 Dupont, Johan (agosto de 2003). "Fibre Bundles and Chern-Weil Theory" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 31 de marzo de 2022.
↑ Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de gauge y geometría diferencial" . Physics Reports . 66 (6): 213– 393. Bibcode : 1980PhR....66..213E . doi : 10.1016/0370-1573(80)90130-1 .

Kobayashi, Shoshichi (1957), "Teoría de las conexiones", Ann. Mat. Pura Appl. , 43 : 119–194 , doi : 10.1007/BF02411907 , S2CID 120972987
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley Interscience , ISBN 0-471-15733-3
Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado del original (PDF) el 30-03-2017 , recuperado el 25-03-2008.

[:0-1] 1 2 3 4 5 6 Dupont, Johan (agosto de 2003). "Fibre Bundles and Chern-Weil Theory" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 31 de marzo de 2022.

[2] Eguchi, Tohru; Gilkey, Peter B.; Hanson, Andrew J. (1980). "Gravitación, teorías de gauge y geometría diferencial" . Physics Reports . 66 (6): 213– 393. Bibcode : 1980PhR....66..213E . doi : 10.1016/0370-1573(80)90130-1 .

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