ecuación diferencial parcial hiperbólica

En matemáticas , una ecuación diferencial parcial hiperbólica de orden${\displaystyle n}$es una ecuación diferencial parcial (EDP) que, en términos generales, tiene un problema de valor inicial bien planteado para el primer${\displaystyle n-1}$derivadas. Más precisamente, el problema de Cauchy puede resolverse localmente para datos iniciales arbitrarios a lo largo de cualquier hipersuperficie no característica . Muchas de las ecuaciones de la mecánica son hiperbólicas, por lo que el estudio de las ecuaciones hiperbólicas es de considerable interés contemporáneo. La ecuación hiperbólica modelo es la ecuación de onda . En una dimensión espacial, esta es $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$$ La ecuación tiene la propiedad de que, si u y su primera derivada temporal son datos iniciales especificados arbitrariamente en la línea t = 0 (con propiedades de suavidad suficientes), entonces existe una solución para todo tiempo t .

Las soluciones de las ecuaciones hiperbólicas tienen un comportamiento ondulatorio. Si se introduce una perturbación en los datos iniciales de una ecuación diferencial hiperbólica, no todos los puntos del espacio la experimentan simultáneamente. Con respecto a una coordenada temporal fija, las perturbaciones tienen una velocidad de propagación finita . Se propagan siguiendo las características de la ecuación. Esta característica distingue cualitativamente las ecuaciones hiperbólicas de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y parabólicas . Una perturbación en los datos iniciales (o de contorno) de una ecuación elíptica o parabólica afecta prácticamente a todos los puntos del dominio de forma inmediata.

Aunque la definición de hiperbolicidad es fundamentalmente cualitativa, existen criterios precisos que dependen del tipo particular de ecuación diferencial que se esté considerando. Existe una teoría bien desarrollada para operadores diferenciales lineales , debida a Lars Gårding , en el contexto del análisis microlocal . Las ecuaciones diferenciales no lineales son hiperbólicas si sus linealizaciones son hiperbólicas en el sentido de Gårding. Existe una teoría algo diferente para sistemas de ecuaciones de primer orden que provienen de sistemas de leyes de conservación .

Una ecuación diferencial parcial es hiperbólica en un punto${\displaystyle P}$siempre que el problema de Cauchy sea resoluble de forma única en un entorno de${\displaystyle P}$para cualquier dato inicial dado en una hipersuperficie no característica que pasa por${\displaystyle P}$. ^{[ 1 ]} Aquí, los datos iniciales prescritos consisten en todas las derivadas (transversales) de la función en la superficie hasta una menos que el orden de la ecuación diferencial.

Mediante un cambio lineal de variables, cualquier ecuación de la forma $${\displaystyle A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+2B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(términos de derivada de orden inferior)}}=0}$$ con discriminante$${\displaystyle B^{2}-AC>0}$$ puede transformarse en la ecuación de onda , aparte de los términos de orden inferior que no son esenciales para la comprensión cualitativa de la ecuación. ^{[ 2 ] : 400} Esta definición es análoga a la definición de una hipérbola plana .

La ecuación de onda unidimensional : $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0}$$ es un ejemplo de ecuación hiperbólica. Las ecuaciones de onda bidimensionales y tridimensionales también pertenecen a la categoría de EDP hiperbólicas. Este tipo de ecuación diferencial parcial hiperbólica de segundo orden puede transformarse en un sistema hiperbólico de ecuaciones diferenciales de primer orden. ^{[ 2 ] : 402}

El siguiente es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales de primer orden para${\displaystyle s}$funciones desconocidas${\displaystyle {\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})}$,${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)}$, dónde${\displaystyle {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}$:

dónde${\displaystyle {\vec {f}}^{j}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})}$son funciones que una vez son continuamente diferenciables , no lineales en general.

A continuación, para cada${\displaystyle {\vec {f}}^{j}}$definir el${\displaystyle s\times s}$matriz jacobiana$${\displaystyle A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}},{\text{ para }}j=1,\ldots ,d.}$$

El sistema ( ∗ ) es hiperbólico si para todo${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R} }$la matriz${\displaystyle A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}}$ tiene solo valores propios reales y es diagonalizable .

Si la matriz${\displaystyle A}$tiene s autovalores reales distintos , por lo tanto es diagonalizable. En este caso, el sistema ( ∗ ) se denomina estrictamente hiperbólico .

Si la matriz${\displaystyle A}$es simétrico, por lo tanto es diagonalizable y los valores propios son reales. En este caso, el sistema ( ∗ ) se denomina hiperbólico simétrico .

• ecuación diferencial parcial elíptica
• operador hipoelíptico
• ecuación diferencial parcial parabólica

• AD Polyanin, Manual de ecuaciones diferenciales parciales lineales para ingenieros y científicos , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

• "Ecuación diferencial parcial hiperbólica, métodos numéricos" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones hiperbólicas lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones hiperbólicas no lineales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.