Reglas de diferenciación

Para cualquier valor de${\textstyle c}$, dónde${\textstyle c\in \mathbb {R}}$, si${\textstyle f(x)}$es la función constante dada por${\textstyle f(x)=c}$, entonces${\textstyle {\frac {df}{dx}}=0}$. ^{[ 4 ]}

Explicación intuitiva (geométrica)

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. La pendiente de la función constante es cero, ya que la recta tangente a la función constante es horizontal y su ángulo es cero.

En otras palabras, el valor de la función constante,${\textstyle y}$, no cambiará como el valor de${\textstyle x}$aumenta o disminuye.

Para cualquier función${\textstyle f}$y${\textstyle g}$y cualquier número real${\textstyle a}$y${\textstyle b}$, la derivada de la función${\textstyle h(x)=af(x)+bg(x)}$con respecto a${\textstyle x}$es${\estilo de texto h'(x)=af'(x)+bg'(x)}$.

En la notación de Leibniz , esta fórmula se escribe como: $${\displaystyle {\frac {d(af+bg)}{dx}}=a{\frac {df}{dx}}+b{\frac {dg}{dx}}.}$$

Entre los casos especiales se incluyen:

• La regla del factor constante:

$${\displaystyle (af)'=af',}$$

• La regla de la suma:

$${\displaystyle (f+g)'=f'+g',}$$

• La regla de la diferencia:

$${\displaystyle (fg)'=f'-g'.}$$

Para las funciones${\textstyle f}$y${\textstyle g}$, la derivada de la función${\textstyle h(x)=f(x)g(x)}$con respecto a${\textstyle x}$es: $${\displaystyle h'(x)=(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).}$$

En la notación de Leibniz, esta fórmula se escribe: $${\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=g{\frac {df}{dx}}+f{\frac {dg}{dx}}.}$$

La derivada de la función${\textstyle h(x)=f(g(x))}$es: $${\displaystyle h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).}$$

En la notación de Leibniz, esta fórmula se escribe como: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}h(x)=\left.{\frac {d}{dz}}f(z)\right|_{z=g(x)}\cdot {\frac {d}{dx}}g(x),}$$ a menudo se abrevia a: $${\displaystyle {\frac {dh(x)}{dx}}={\frac {df(g(x))}{dg(x)}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}.}$$

Centrándonos en la noción de mapas y en el hecho de que el diferencial es un mapa.${\textstyle {\text{D}}}$Esta fórmula se escribe de forma más concisa como: $${\displaystyle [{\text{D}}(f\circ g)]_{x}=[{\text{D}}f]_{g(x)}\cdot [{\text{D}}g]_{x}.}$$

Si la función${\textstyle f}$tiene una función inversa${\textstyle g}$, lo que significa que${\textstyle g(f(x))=x}$y${\textstyle f(g(y))=y}$, entonces: $${\displaystyle g'={\frac {1}{f'\circ g}}.}$$

En notación de Leibniz, esta fórmula se escribe como: $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}.}$$

Si${\textstyle f(x)=x^{r}}$, para cualquier número real${\textstyle r\neq 0}$, entonces: $${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}.}$$

Cuando${\textstyle r=1}$, esta fórmula se convierte en el caso especial que, si${\textstyle f(x)=x}$, entonces${\textstyle f'(x)=1}$.

La combinación de la regla de la potencia con las reglas de la suma y del múltiplo constante permite calcular la derivada de cualquier polinomio.

El derivado de${\textstyle h(x)={\frac {1}{f(x)}}}$para cualquier función (que no se desvanezca)${\textstyle f}$es: $${\displaystyle h'(x)=-{\frac {f'(x)}{(f(x))^{2}}},}$$ lo que sea${\textstyle f}$es distinto de cero.

En la notación de Leibniz, esta fórmula se escribe: $${\displaystyle {\frac {d\left({\frac {1}{f}}\right)}{dx}}=-{\frac {1}{f^{2}}}{\frac {df}{dx}}.}$$

La regla recíproca se puede derivar tanto de la regla del cociente como de la combinación de la regla de la potencia y la regla de la cadena.

Si${\textstyle f}$y${\textstyle g}$son funciones, entonces: $${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-g'f}{g^{2}}},}$$ lo que sea${\textstyle g}$es distinto de cero.

Esto se puede derivar de la regla del producto y la regla del recíproco.

La regla de potencia elemental se generaliza considerablemente. La regla de potencia más general es la regla de potencia funcional : para cualquier función${\textstyle f}$y${\textstyle g}$, $${\displaystyle (f^{g})'=\left(e^{g\ln f}\right)'=f^{g}\left(f'{g \over f}+g'\ln f\right),\quad }$$ dondequiera que ambas partes estén bien definidas.

Casos especiales:

• Si${\textstyle f(x)=x^{a}}$, entonces${\textstyle f'(x)=ax^{a-1}}$cuando${\textstyle a}$es cualquier número real distinto de cero y${\textstyle x}$es positivo.
• La regla recíproca puede derivarse como el caso especial donde${\textstyle g(x)=-1\!}$.

La derivada logarítmica es otra forma de enunciar la regla para diferenciar el logaritmo de una función (utilizando la regla de la cadena): $${\displaystyle (\ln f)'={\frac {f'}{f}},}$$ lo que sea${\textstyle f}$es positivo.

La diferenciación logarítmica es una técnica que utiliza logaritmos y sus reglas de diferenciación para simplificar ciertas expresiones antes de aplicar la derivada.

Los logaritmos se pueden usar para eliminar exponentes, convertir productos en sumas y convertir divisiones en restas, cada una de las cuales puede conducir a una expresión simplificada para calcular derivadas.

$${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma '(x)&=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln t\,dt\\&=\Gamma (x)\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1+{\dfrac {1}{n}}\right)-{\dfrac {1}{x+n}}\right)-{\dfrac {1}{x}}\right)\\&=\Gamma (x)\psi (x),\end{aligned}}}$$ con${\textstyle \psi (x)}$siendo la función digamma , expresada por la expresión entre paréntesis a la derecha de${\textstyle \Gamma (x)}$en la línea de arriba.

$${\displaystyle \zeta (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{x}}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta '(x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n^{x}}}=-{\frac {\ln 2}{2^{x}}}-{\frac {\ln 3}{3^{x}}}-{\frac {\ln 4}{4^{x}}}-\cdots \\&=-\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x})^{2}}}\prod _{q{\text{ prime}},q\neq p}{\frac {1}{1-q^{-x}}}\end{aligned}}}$$

Si${\textstyle f}$y${\textstyle g}$son${\textstyle n}$-veces diferenciable, entonces: $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(g(x))]=n!\sum _{\{k_{m}\}}f^{(r)}(g(x))\prod _{m=1}^{n}{\frac {1}{k_{m}!}}\left(g^{(m)}(x)\right)^{k_{m}},}$$ dónde${\textstyle r=\sum _{m=1}^{n-1}k_{m}}$y el conjunto${\textstyle \{k_{m}\}}$Consiste en todas las soluciones enteras no negativas de la ecuación diofántica.${\textstyle \sum _{m=1}^{n}mk_{m}=n}$.

Si${\textstyle f}$y${\textstyle g}$son${\textstyle n}$-veces diferenciable, entonces: $${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}[f(x)g(x)]=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {d^{n-k}}{dx^{n-k}}}f(x){\frac {d^{k}}{dx^{k}}}g(x).}$$