Derivación de integrales

Un resultado sobre la diferenciación de integrales es el teorema de diferenciación de Lebesgue , demostrado por Henri Lebesgue en 1910. Consideremos una medida de Lebesgue λ ⁿ n - dimensional en un espacio euclidiano n- dimensional R ⁿ . Entonces, para cualquier función localmente integrable f : R ⁿ → R , se tiene     $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\lambda ^{n}{\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \lambda ^{n}(y)=f(x)}$$ para λ ⁿ -casi todos los puntos x  ∈ R ⁿ . Sin embargo, es importante tener en cuenta que el conjunto de medida cero de puntos "malos" depende de la función f . 

El resultado para la medida de Lebesgue resulta ser un caso especial del siguiente resultado, que se basa en el teorema de recubrimiento de Besicovitch : si μ es cualquier medida de Borel localmente finita en R ⁿ y f : R ⁿ → R es localmente integrable con respecto a μ , entonces     $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)=f(x)}$$ para μ -casi todos los puntos x  ∈ R ⁿ . 

El problema de la diferenciación de integrales es mucho más difícil en un entorno de dimensión infinita. Consideremos un espacio de Hilbert separable ( H , ⟨ , ⟩) dotado de una medida gaussiana γ . Como se indica en el artículo sobre el teorema de recubrimiento de Vitali, este teorema no se cumple para medidas gaussianas en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Dos resultados de David Preiss (1981 y 1983) muestran el tipo de dificultades que cabe esperar en este contexto:   

• Existe una medida gaussiana γ en un espacio de Hilbert separable H y un conjunto de Borel M  ⊆ H tal que, para casi todo x ∈ H γ ,   $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {\gamma {\big (}M\cap B_{r}(x){\big )}}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}=1.}$$
• Existe una medida gaussiana γ en un espacio de Hilbert separable H y una función f  ∈ L ¹ ( H , γ ; R ) tal que   $${\displaystyle \lim _{r\to 0}\inf \left\{\left.{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{s}(x){\big )}}}\int _{B_{s}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)\right|x\in H,0<s<r\right\}=+\infty .}$$

Sin embargo, hay cierta esperanza si se tiene un buen control sobre la covarianza de γ . Sea S : H → H el operador de covarianza de γ dado por     $${\displaystyle \langle Sx,y\rangle =\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \gamma (z),}$$ o, para alguna base ortonormal numerable ( e _i ) _{i ∈ N} de H , $${\displaystyle Sx=\sum _{i\in \mathbf {N} }\sigma _{i}^{2}\langle x,e_{i}\rangle e_{i}.}$$

En 1981, Preiss y Jaroslav Tišer demostraron que si existe una constante 0 < q < 1 tal que     $${\displaystyle \sigma _{i+1}^{2}\leq q\sigma _{i}^{2},}$$ entonces, para todo f  ∈ L ¹ ( H , γ ; R ),    $${\displaystyle {\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{\gamma }}f(x),}$$ donde la convergencia es convergencia en medida con respecto a γ . En 1988, Tišer demostró que si $${\displaystyle \sigma _{i+1}^{2}\leq {\frac {\sigma _{i}^{2}}{i^{\alpha }}}}$$ para algún α > 5 / 2, entonces     $${\displaystyle {\frac {1}{\mu {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y){\xrightarrow[{r\to 0}]{}}f(x),}$$ para γ -casi todo x y todo f  ∈ L ^p ( H , γ ; R ), p > 1.     

A partir de 2007, sigue siendo una cuestión abierta si existe una medida gaussiana de dimensión infinita γ en un espacio de Hilbert separable H tal que, para todo f  ∈ L ¹ ( H , γ ; R ),    $${\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{\gamma {\big (}B_{r}(x){\big )}}}\int _{B_{r}(x)}f(y)\,\mathrm {d} \gamma (y)=f(x)}$$ para γ -casi todo x  ∈ H . Sin embargo, se conjetura que no existe tal medida, ya que el σ _i tendría que decaer muy rápidamente.