Ecuación constitutiva

En física e ingeniería , una ecuación constitutiva o relación constitutiva es una relación entre dos o más magnitudes físicas (especialmente magnitudes cinéticas relacionadas con magnitudes cinemáticas ) que es específica de un material, sustancia o campo , y aproxima su respuesta a estímulos externos, generalmente como campos o fuerzas aplicadas . Se combinan con otras ecuaciones que rigen las leyes físicas para resolver problemas físicos; por ejemplo, en mecánica de fluidos, el flujo de un fluido en una tubería ; en física del estado sólido , la respuesta de un cristal a un campo eléctrico; o en análisis estructural , la relación entre tensiones o cargas aplicadas y deformaciones .

Algunas ecuaciones constitutivas son simplemente fenomenológicas ; otras se derivan de primeros principios . Una ecuación constitutiva aproximada común se expresa frecuentemente como una simple proporcionalidad utilizando un parámetro que se considera una propiedad del material, como la conductividad eléctrica o una constante elástica . Sin embargo, a menudo es necesario tener en cuenta la dependencia direccional del material, y el parámetro escalar se generaliza a un tensor . Las relaciones constitutivas también se modifican para tener en cuenta la velocidad de respuesta de los materiales y su comportamiento no lineal . ^{[ 1 ]} Véase el artículo Función de respuesta lineal .

Propiedades mecánicas de la materia

La primera ecuación constitutiva (ley constitutiva) fue desarrollada por Robert Hooke y se conoce como la ley de Hooke . Se aplica al caso de materiales elásticos lineales . Tras este descubrimiento, este tipo de ecuación, a menudo denominada "relación tensión-deformación" en este ejemplo, pero también llamada "hipótesis constitutiva" o "ecuación de estado", se utilizó comúnmente. Walter Noll impulsó el uso de las ecuaciones constitutivas, aclarando su clasificación y el papel de los requisitos de invariancia, las restricciones y las definiciones de términos como "material", "isotrópico", "aeolotrópico", etc. La clase de "relaciones constitutivas" de la forma tasa de tensión = $f$ ( gradiente de velocidad , tensión , densidad ) fue el tema de la tesis doctoral de Walter Noll en 1954 bajo la dirección de Clifford Truesdell . ^{[ 2 ]}

En la física moderna de la materia condensada , la ecuación constitutiva desempeña un papel fundamental. Véase Ecuaciones constitutivas lineales y Funciones de correlación no lineales . ^{[ 3 ]}

Definiciones

Dónde:

F

es la componente de la fuerza aplicada al área

A

(ya sea paralela o perpendicular).

L

y

V

son las dimensiones (longitud, volumen)

ΔL

,

Δx

y

ΔV son

el cambio de dimensión debido a la fuerza

aplicada

.

Deformación de sólidos

Fricción

La fricción es un fenómeno complejo. Macroscópicamente, la fuerza de fricción $F f$ en la interfaz de dos materiales puede modelarse como proporcional a la fuerza de reacción $R$ en un punto de contacto entre dos interfaces a través de un coeficiente de fricción adimensional $μ f$ , que depende del par de materiales:

$F_{\text{f}}=\mu _{\text{f}}R.$

Esto se puede aplicar a la fricción estática (fricción que impide que dos objetos estacionarios se deslicen por sí solos), a la fricción cinética (fricción entre dos objetos que se raspan o se deslizan uno sobre el otro) o a la fricción de rodadura (fuerza de fricción que impide el deslizamiento pero provoca que se ejerza un par de torsión sobre un objeto redondo).

Estrés y tensión

La relación constitutiva tensión-deformación para materiales lineales se conoce comúnmente como la ley de Hooke . En su forma más simple, la ley define la constante elástica (o constante de resorte) $k$ en una ecuación escalar, que establece que la fuerza de tracción/compresión es proporcional al desplazamiento extendido (o contraído) $x$ :

$F_{i}=-kx_{i}$

lo que significa que el material responde linealmente. De forma equivalente, en términos de la tensión $σ$ , el módulo de Young $E$ y la deformación $ε$ (adimensional):

$\sigma =E\,\varepsilon$

En general, las fuerzas que deforman los sólidos pueden ser normales a la superficie del material (fuerzas normales) o tangenciales (fuerzas cortantes); esto se puede describir matemáticamente utilizando el tensor de tensiones :

$\sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}\,\rightleftharpoons \,\varepsilon _{ij}=S_{ijkl}\,\sigma _{kl}$

donde $C$ es el tensor de elasticidad y $S$ es el tensor de compliancia .

Deformación en estado sólido

Varias clases de deformación en materiales elásticos son las siguientes: ^{[ 4 ]}

Plástico

La fuerza aplicada induce una deformación irreversible en el material cuando la tensión (o deformación elástica) alcanza una magnitud crítica, denominada límite elástico.

Elástico

El material recupera su forma inicial tras la deformación.

Viscoelástico: Si las contribuciones resistivas dependientes del tiempo son grandes y no pueden despreciarse, los cauchos y los plásticos poseen esta propiedad y, sin duda, no cumplen la ley de Hooke. De hecho, se produce histéresis elástica.
Anelástico: Si el material es casi elástico, pero la fuerza aplicada induce fuerzas resistivas adicionales dependientes del tiempo (es decir, que dependen de la tasa de cambio de la extensión/compresión, además de la extensión/compresión en sí), los metales y las cerámicas poseen esta característica, aunque suele ser insignificante, si bien no tanto cuando se produce calentamiento por fricción (como vibraciones o esfuerzos cortantes en máquinas).
Hiperelástico: La fuerza aplicada induce desplazamientos en el material siguiendo una función de densidad de energía de deformación .

Colisiones

La velocidad relativa de separación $v separación$ de un objeto A después de una colisión con otro objeto B está relacionada con la velocidad relativa de aproximación $v aproximación$ mediante el coeficiente de restitución , definido por la ley de impacto experimental de Newton : ^{[ 5 ]}

$e={\frac {|\mathbf {v} |_{\text{separación}}}{|\mathbf {v} |_{\text{aproximación}}}}$

que depende de los materiales de los que están hechos A y B, ya que la colisión implica interacciones en las superficies de A y B. Generalmente $0 \leq e \leq 1$ , donde $e = 1$ para colisiones completamente elásticas y $e = 0$ para colisiones completamente inelásticas . Es posible que ocurra $e \geq 1$ , en el caso de colisiones superelásticas (o explosivas).

Deformación de fluidos

La ecuación de arrastre proporciona la fuerza de arrastre $D$ sobre un objeto de área de sección transversal $A$ que se mueve a través de un fluido de densidad $ρ$ a velocidad $v$ (relativa al fluido).

$D={\tfrac {1}{2}}c_{d}\rho Av^{2}$

donde el coeficiente de arrastre (adimensional) $c d$ depende de la geometría del objeto y de las fuerzas de arrastre en la interfaz entre el fluido y el objeto.

Para un fluido newtoniano de viscosidad $μ$ , el esfuerzo cortante $τ$ está relacionado linealmente con la tasa de deformación ( gradiente de velocidad de flujo transversal ) $\partial$ $u$ $/\partial$ $y$ (unidades s ⁻¹ ). En un flujo de corte uniforme :

$\tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}},$

donde $u (y)$ $es$ la variación de la velocidad de flujo $u$ en la dirección transversal $y$ . En general, para un fluido newtoniano, la relación entre los elementos $τij$ del tensor de esfuerzo cortante y la deformación del fluido viene dada por

$\tau _{ij}=2\mu \left(e_{ij}-{\frac {1}{3}}\Delta \delta _{ij}\right)$

donde: ^{[ 6 ]}

δ ij

es la delta de Kronecker ;

Δ

es la tasa de deformación volumétrica (o tasa de dilatación).

\Delta =\sum _{k}e_{kk}={\text{div}}\;\mathbf {v} ,

e ij

son los componentes del tensor de velocidad de deformación

e_{ij}={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\tfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)

donde

v i

son las componentes del vector de velocidad del flujo en las direcciones de coordenadas

x i

correspondientes .

La ley de los gases ideales es una relación constitutiva en el sentido de que la presión $p$ y el volumen $V$ están relacionados con la temperatura $T$ , a través del número de moles $n$ de gas:

$pV=nRT$

donde $R$ es la constante de los gases (J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹ ).

Electromagnetismo

Ecuaciones constitutivas en electromagnetismo y áreas relacionadas

Tanto en la física clásica como en la cuántica , la dinámica precisa de un sistema se expresa mediante un conjunto de ecuaciones diferenciales acopladas , casi siempre demasiado complejas para resolverse con exactitud, incluso a nivel de mecánica estadística . En el contexto del electromagnetismo, esta observación se aplica no solo a la dinámica de cargas y corrientes libres (que intervienen directamente en las ecuaciones de Maxwell), sino también a la dinámica de cargas y corrientes ligadas (que intervienen en las ecuaciones de Maxwell a través de las relaciones constitutivas). Por consiguiente, se suelen utilizar diversos métodos de aproximación.

Por ejemplo, en materiales reales, es necesario resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, como la ecuación de Boltzmann , la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Véase, por ejemplo, magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad y modelado de plasma . Se ha desarrollado todo un aparato físico para abordar estos temas. Véase, por ejemplo, la teoría de respuesta lineal , las relaciones de Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .

Estas complejas teorías proporcionan fórmulas detalladas para las relaciones constitutivas que describen la respuesta eléctrica de diversos materiales, como permitividades , permeabilidades , conductividades , etc.

Antes de realizar cálculos en electromagnetismo (es decir, al aplicar las ecuaciones macroscópicas de Maxwell), es necesario especificar las relaciones entre los campos de desplazamiento $D$ y $E$ , y los campos magnéticos $H$ y $B.$ Estas ecuaciones describen la respuesta de la carga ligada y la corriente a los campos aplicados y se denominan relaciones constitutivas.

La determinación de la relación constitutiva entre los campos auxiliares $D$ y $H$ y los campos $E$ y $B$ comienza con la definición de los propios campos auxiliares: ${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)\\[4pt]\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$

donde $P$ es el campo de polarización y $M$ es el campo de magnetización , los cuales se definen en términos de cargas ligadas microscópicas y corriente ligada, respectivamente. Antes de ver cómo calcular $M$ y $P,$ es útil examinar los siguientes casos especiales.

Sin materiales magnéticos ni dieléctricos

En ausencia de materiales magnéticos o dieléctricos, las relaciones constitutivas son simples:

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,$

donde $ε 0$ y $μ 0$ son dos constantes universales, llamadas respectivamente permitividad del espacio libre y permeabilidad del espacio libre.

materiales lineales isótropos

En un material lineal ( isotrópico ^{[ 7 ]} $), donde P$ es proporcional a $E$ y $M$ es proporcional a $B$ , las relaciones constitutivas también son sencillas. En términos de la polarización $P$ y la magnetización $M,$ son:

$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

donde $χe$ y $χm$ son las susceptibilidades eléctrica y magnética de un material dado $,$ respectivamente. En términos de $D$ y $H,$ $las$ relaciones constitutivas son:

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,$

donde $ε$ y $μ$ son constantes (que dependen del material), denominadas permitividad y permeabilidad , respectivamente, del material. Estas se relacionan con las susceptibilidades mediante:

${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}=\varepsilon _{r}=\chi _{e}+1,\quad {\frac {\mu }{\mu _{0}}}=\mu _{r}=\chi _{m}+1.$

Caso general

Para los materiales del mundo real, las relaciones constitutivas no son lineales, salvo de forma aproximada. El cálculo de las relaciones constitutivas a partir de los primeros principios implica determinar cómo se crean $P$ y $M a partir de un$ $E$ y $B$ dados . ^{[ nota 1 ]} Estas relaciones pueden ser empíricas (basadas directamente en mediciones) o teóricas (basadas en la mecánica estadística , la teoría del transporte u otras herramientas de la física de la materia condensada ). El nivel de detalle empleado puede ser macroscópico o microscópico , según lo requiera el problema en cuestión.

En general, las relaciones constitutivas suelen poder escribirse de la siguiente manera: $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} =\mu ^{-1}\mathbf {B}$ pero $ε$ y $μ$ no son, en general, constantes simples, sino más bien funciones de $E$ , $B$ , posición y tiempo, y de naturaleza tensorial. Algunos ejemplos son:

Dispersión y absorción donde $ε$ y $μ$ son funciones de la frecuencia. (La causalidad no permite que los materiales sean no dispersivos; véanse, por ejemplo, las relaciones de Kramers-Kronig ). Tampoco es necesario que los campos estén en fase, lo que implica que $ε$ y $μ$ sean complejos . Esto también da lugar a la absorción.
No linealidad donde $ε$ y $μ$ son funcionesde $E$ y $B.$
Anisotropía (como birrefringencia o dicroísmo ) que ocurre cuando $ε$ y $μ son$ tensores de segundo rango, $D_{i}=\sum _{j}\varepsilon _{ij}E_{j},\quad B_{i}=\sum _{j}\mu _{ij}H_{j}.$
Dependencia de $P$ y $M$ de $E$ y $B$ en otras ubicaciones y momentos. Esto podría deberse a la inhomogeneidad espacial ; por ejemplo, en una estructura de dominios , heteroestructura o cristal líquido , o más comúnmente en la situación donde simplemente hay múltiples materiales que ocupan diferentes regiones del espacio. O podría deberse a un medio variable en el tiempo o a la histéresis . En tales casos, $P$ y $M$ se pueden calcular como: ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} ${\begin{aligned}\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{e}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {E} \right)\,\mathbf {E} \left(\mathbf {r} ',t'\right)\\[4pt]\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\int {\rm {d}}^{3}\mathbf {r} '{\rm {d}}t'\;{\hat {\chi }}_{m}\left(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t,t';\mathbf {B} \right)\,\mathbf {B} \left(\mathbf {r} ',t'\right),\end{aligned}}$ en el que las funciones de permitividad y permeabilidad se reemplazan por integrales sobre las susceptibilidades eléctricas y magnéticas más generales. ^{[ 10 ]} En materiales homogéneos, la dependencia de otras ubicaciones se conoce como dispersión espacial .

Como variación de estos ejemplos, en general los materiales son bianisotrópicos donde $D$ y $B$ dependen tanto de $E$ como de $H$ , a través de las constantes de acoplamiento adicionales $ξ$ y $ζ$ : ^{[ 11 ]} $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} +\xi \mathbf {H} \,,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} +\zeta \mathbf {E} .$

En la práctica, algunas propiedades de los materiales tienen un impacto insignificante en determinadas circunstancias, lo que permite despreciar efectos menores. Por ejemplo: las no linealidades ópticas pueden despreciarse para intensidades de campo bajas; la dispersión del material es irrelevante cuando la frecuencia se limita a un ancho de banda estrecho ; la absorción del material puede despreciarse para longitudes de onda en las que el material es transparente; y los metales con conductividad finita a menudo se aproximan, en longitudes de onda de microondas o mayores, a metales perfectos con conductividad infinita (formando barreras rígidas con una profundidad de penetración del campo nula).

Algunos materiales artificiales, como los metamateriales y los cristales fotónicos, están diseñados para tener una permitividad y permeabilidad personalizadas.

Cálculo de relaciones constitutivas

El cálculo teórico de las ecuaciones constitutivas de un material es una tarea común, importante y, a veces, compleja en la física teórica de la materia condensada y la ciencia de los materiales . En general, las ecuaciones constitutivas se determinan teóricamente calculando cómo responde una molécula a los campos locales mediante la fuerza de Lorentz . También puede ser necesario modelar otras fuerzas, como las vibraciones de la red cristalina o las fuerzas de enlace. La inclusión de todas estas fuerzas produce cambios en la molécula que se utilizan para calcular $P$ y $M$ en función de los campos locales.

Los campos locales difieren de los campos aplicados debido a los campos producidos por la polarización y magnetización del material circundante; un efecto que también debe modelarse. Además, los materiales reales no son medios continuos ; los campos locales de los materiales reales varían enormemente a escala atómica. Es necesario promediar los campos sobre un volumen adecuado para obtener una aproximación continua.

Estas aproximaciones de continuo a menudo requieren algún tipo de análisis mecánico cuántico, como la teoría cuántica de campos aplicada a la física de la materia condensada . Véase, por ejemplo, la teoría del funcional de la densidad , las relaciones de Green-Kubo y la función de Green .

Otro conjunto de métodos de homogeneización (que evolucionan a partir de una tradición en el tratamiento de materiales como conglomerados y laminados ) se basa en la aproximación de un material no homogéneo mediante un medio efectivo homogéneo ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} (válido para excitaciones con longitudes de onda mucho mayores que la escala de la no homogeneidad). ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}

El modelado teórico de las propiedades de aproximación continua de muchos materiales reales a menudo también se basa en mediciones experimentales. ^{[ 18 ]} Por ejemplo, $ε$ de un aislante a bajas frecuencias se puede medir convirtiéndolo en un capacitor de placas paralelas , y $ε$ a frecuencias de luz óptica se suele medir mediante elipsometría .

Propiedades termoeléctricas y electromagnéticas de la materia

Estas ecuaciones constitutivas se utilizan a menudo en cristalografía , un campo de la física del estado sólido . ^{[ 19 ]}

Fotónica

Índice de refracción

El índice de refracción (absoluto) de un medio $n$ (adimensional) es una propiedad intrínsecamente importante de la óptica geométrica y física, definida como la relación entre la velocidad luminal en el vacío $c 0$ y la del medio $c$ :

$n={\frac {c_{0}}{c}}={\sqrt {\frac {\varepsilon \mu }{\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}$

donde $ε$ es la permitividad y $ε r$ la permitividad relativa del medio, de igual manera $μ$ es la permeabilidad y $μ r$ son las permeabilidades relativas del medio. La permitividad del vacío es $ε 0$ y la permeabilidad del vacío es $μ 0$ . En general, $n$ (también $ε r$ ) son números complejos .

El índice de refracción relativo se define como la relación entre dos índices de refracción. El índice absoluto se refiere a un solo material, mientras que el relativo se aplica a cualquier par posible de interfaces.

$n_{AB}={\frac {n_{A}}{n_{B}}}$

Velocidad de la luz en la materia

Como consecuencia de la definición, la velocidad de la luz en la materia es

$c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}$

para casos especiales de vacío; $ε = ε 0$ y $μ = μ 0$ ,

$c_{0}={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}$

Efecto piezoóptico

El efecto piezoóptico relaciona las tensiones en los sólidos $σ$ con la impermeabilidad dieléctrica $a$ , que están acopladas por un tensor de cuarto rango llamado coeficiente piezoóptico $Π$ (unidades K ⁻¹ ):

$a_{ij}=\Pi _{ijpq}\sigma _{pq}$

Fenómenos de transporte

Definiciones

Leyes definitivas

Existen varias leyes que describen el transporte de materia, o sus propiedades, de una manera casi idéntica. En todos los casos, se expresan en palabras de la siguiente manera:

El flujo (densidad) es proporcional a un gradiente , y la constante de proporcionalidad es una característica del material.

En general, la constante debe ser reemplazada por un tensor de segundo orden para tener en cuenta las dependencias direccionales del material.

Véase también

Notas

↑ Las cargas libres y las corrientes responden a los campos mediante la ley de Lorentz , y esta respuesta se calcula a nivel fundamental utilizando la mecánica. La respuesta de las cargas ligadas y las corrientes se aborda mediante métodos más generales, englobados en los conceptos de magnetización y polarización. Dependiendo del problema, se puede optar por no considerar ninguna carga libre.

Referencias

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[bound_free-8] Las cargas libres y las corrientes responden a los campos mediante la ley de Lorentz , y esta respuesta se calcula a nivel fundamental utilizando la mecánica. La respuesta de las cargas ligadas y las corrientes se aborda mediante métodos más generales, englobados en los conceptos de magnetización y polarización. Dependiendo del problema, se puede optar por no considerar ninguna carga libre.

[Truesdell-1] Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). Antman, Stuart S. (ed.). Las teorías de campo no lineales de la mecánica . Springer. pág. 4. ISBN 3-540-02779-3.

[Noll-2] Véase el relato de Truesdell en Truesdell , La naturalización y apoteosis de Walter Noll . Véase también el relato de Noll y el tratado clásico de ambos autores: Truesdell, Clifford; Noll, Walter (2004). «Prefacio» (Publicado originalmente como Volumen III/3 de la Enciclopedia de Física de 1965 ) . En Antman, Stuart S. (ed.). Las teorías de campo no lineales de la mecánica (3.ª ed.). Springer. p. xiii. ISBN 3-540-02779-3.

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[7] La generalización a materiales no isótropos es sencilla; basta con sustituir las constantes porcantidades tensoriales .

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[11] Tenga en cuenta que el término "susceptibilidad magnética" utilizado aquí está en términos de B y es diferente de la definición estándar en términosde H.

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