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Articulo de referencia

Incircle and excircles

Incircle and excircles of a triangle. Extended sides of triangle △ ABC Incircle ( incenter at I ) Excircles (excenters at J A , J B , J C ) Internal angle bisect...

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Incircle and excircles of a triangle.
  Extended sides of triangle △ABC
  Incircle (incenter at I)
  Excircles (excenters at JA, JB, JC)
  Internal angle bisectors
  External angle bisectors (forming the excentral triangle)

In geometry, the incircle or inscribed circle of a triangle is the largest circle that can be contained in the triangle; it touches (is tangent to) the three sides. The center of the incircle is a triangle center called the triangle's incenter.[1]

An excircle or escribed circle[2] of the triangle is a circle lying outside the triangle, tangent to one of its sides and tangent to the extensions of the other two. Every triangle has three distinct excircles, each tangent to one of the triangle's sides.[3]

The center of the incircle, called the incenter, can be found as the intersection of the three internalangle bisectors.[3][4] The center of an excircle is the intersection of the internal bisector of one angle (at vertex A, for example) and the external bisectors of the other two. The center of this excircle is called the excenter relative to the vertex A, or the excenter of A.[3] Because the internal bisector of an angle is perpendicular to its external bisector, it follows that the center of the incircle together with the three excircle centers form an orthocentric system.[5]

Incircle and Incenter

Suppose △ABC{\displaystyle \triangle ABC} has an incircle with radius r{\displaystyle r} and center I{\displaystyle I}. Let a{\displaystyle a} be the length of BC¯{\displaystyle {\overline {BC}}}, b{\displaystyle b} the length of AC¯{\displaystyle {\overline {AC}}}, and c{\displaystyle c} the length of AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}}.

Also let TA{\displaystyle T_{A}}, TB{\displaystyle T_{B}}, and TC{\displaystyle T_{C}} be the touchpoints where the incircle touches BC¯{\displaystyle {\overline {BC}}}, AC¯{\displaystyle {\overline {AC}}}, and AB¯{\displaystyle {\overline {AB}}}.

Incenter

The incenter is the point where the internal angle bisectors of ∠ABC,{\displaystyle \angle ABC,}∠BCA,{\displaystyle \angle BCA,} and ∠BAC{\displaystyle \angle BAC} meet.

Trilinear coordinates

The trilinear coordinates for a point in the triangle is the ratio of all the distances to the triangle sides. Because the incenter is the same distance from all sides of the triangle, the trilinear coordinates for the incenter are[6] 1:1:1.{\displaystyle \ 1:1:1.}

Barycentric coordinates

The barycentric coordinates for a point in a triangle give weights such that the point is the weighted average of the triangle vertex positions. Barycentric coordinates for the incenter are given by a:b:c{\displaystyle a:b:c} where a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, and c{\displaystyle c} are the lengths of the sides of the triangle, or equivalently (using the law of sines) by sin⁡A:sin⁡B:sin⁡C{\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C} where A{\displaystyle A}, B{\displaystyle B}, and C{\displaystyle C} are the angles at the three vertices.

Cartesian coordinates

The Cartesian coordinates of the incenter are a weighted average of the coordinates of the three vertices using the side lengths of the triangle relative to the perimeter (that is, using the barycentric coordinates given above, normalized to sum to unity) as weights. The weights are positive so the incenter lies inside the triangle as stated above. If the three vertices are located at (xa,ya){\displaystyle (x_{a},y_{a})}, (xb,yb){\displaystyle (x_{b},y_{b})}, and (xc,yc){\displaystyle (x_{c},y_{c})}, and the sides opposite these vertices have corresponding lengths a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, and c{\displaystyle c}, then the incenter is at(axa+bxb+cxca+b+c,aya+byb+cyca+b+c)=a(xa,ya)+b(xb,yb)+c(xc,yc)a+b+c.{\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}

Distances to the vertices

Denote the incenter of △ABC{\displaystyle \triangle ABC} as I{\displaystyle I}.

The distance from vertex A{\displaystyle A} to the incenter I{\displaystyle I} is: AI¯=d(A,I)=csin⁡B2cos⁡C2=bsin⁡C2cos⁡B2.{\displaystyle {\overline {AI}}=d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}

Derivation of the formula stated above

Use the Law of sines in the triangle △IAB{\displaystyle \triangle IAB}.

We get AI¯sin⁡B2=csin⁡∠AIB{\displaystyle {\frac {\overline {AI}}{\sin {\frac {B}{2}}}}={\frac {c}{\sin \angle AIB}}}. We have that ∠AIB=π−A2−B2=π2+C2{\displaystyle \angle AIB=\pi -{\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {C}{2}}}.

It follows that AI¯=c sin⁡B2cos⁡C2{\displaystyle {\overline {AI}}=c\ {\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}}.

The equality with the second expression is obtained the same way.

The distances from the incenter to the vertices combined with the lengths of the triangle sides obey the equation[7]IA¯⋅IA¯CA¯⋅AB¯+IB¯⋅IB¯AB¯⋅BC¯+IC¯⋅IC¯BC¯⋅CA¯=1.{\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}

Additionally,[8]IA¯⋅IB¯⋅IC¯=4Rr2,{\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},} where R{\displaystyle R} and r{\displaystyle r} are the triangle's circumradius and inradius respectively.

Other properties

The collection of triangle centers may be given the structure of a group under coordinate-wise multiplication of trilinear coordinates; in this group, the incenter forms the identity element.[6]

Incircle and its radius properties

Distances between vertex and nearest touchpoints

The distances from a vertex to the two nearest touchpoints are equal; for example from vertex A{\displaystyle A}:[9][10]d(A,TB)=d(A,TC)=12(b+c−a)=s−a,{\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+ca)=sa,} where s=12(a+b+c){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} is the semiperimeter.

Similarly, the tangency points of the incircle divide the sides into segments of lengths s−b{\displaystyle sb} from B{\displaystyle B}, and s−c{\displaystyle sc} from C{\displaystyle C} (see Tangent lines to a circle).

Radius

The inradius r{\displaystyle r} of the incircle in a triangle with sides of length a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}, c{\displaystyle c} is given by[11]r=(s−a)(s−b)(s−c)s,{\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}},} where s=12(a+b+c){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} is the semiperimeter (see Heron's formula).

Relation to area of the triangle

The radius of the incircle is related to the area of the triangle.[12] The ratio of the area of the incircle to the area of the triangle is less than or equal to π/33{\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}, con la igualdad cumpliéndose solo para triángulos equiláteros . [ 13 ]

Demostración sin palabras de que el área de un triángulo es igual al producto de su radio inscrito y su semiperímetro.

Suponer△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}tiene un círculo inscrito con radior{\displaystyle r}y centroI{\displaystyle I}. Dejara{\displaystyle a}ser la longitud deBdo¯{\displaystyle {\overline {BC}}},b{\displaystyle b}la longitud deAdo¯{\displaystyle {\overline {AC}}}, ydo{\displaystyle c}la longitud deAB¯{\displaystyle {\overline {AB}}}.

Ahora, el círculo inscrito es tangente aAB¯{\displaystyle {\overline {AB}}}en algún momentoTdo{\displaystyle T_{C}}, y entonces∠ATdoI{\displaystyle \angle AT_{C}I}es correcto. Por lo tanto, el radioTdoI{\displaystyle T_{C}I}es una altitud de△IAB{\displaystyle \triangle IAB}.

Por lo tanto,△IAB{\displaystyle \triangle IAB}tiene longitud de basedo{\displaystyle c}y alturar{\displaystyle r}y también tiene área12dor{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}.

Similarmente,△IAdo{\displaystyle \triangle IAC}tiene área12br{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}y△IBdo{\displaystyle \triangle IBC}tiene área12ar{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}.

Dado que estos tres triángulos se descomponen△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}, vemos que el áreaΔ{\displaystyle \Delta }de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}es: Δ=12(a+b+do)r=sr,{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,} y r=Δs,{\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},} dóndeΔ{\displaystyle \Delta }es el área de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}ys=12(a+b+do){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}es su semiperímetro .

Para una fórmula alternativa, considere△ITdoA{\displaystyle \triangle IT_{C}A}. Este es un triángulo rectángulo con un lado igual ar{\displaystyle r}y el otro lado igual arcuna⁡A2{\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}Lo mismo ocurre con△IB′A{\displaystyle \triangle IB'A}El triángulo grande está compuesto por seis triángulos de este tipo y su área total es:Δ=r2(cuna⁡A2+cuna⁡B2+cuna⁡do2).{\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}

Otras propiedades

Si las alturas desde lados de longitudesa{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, ydo{\displaystyle c}sonha{\displaystyle h_{a}},hb{\displaystyle h_{b}}, yhdo{\displaystyle h_{c}}, entonces el radio internor{\displaystyle r}es un tercio de la media armónica de estas altitudes; es decir, [ 14 ]r=11ha+1hb+1hdo.{\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}

El producto del radio del círculo inscritor{\displaystyle r}y el radio del círculo circunscritoR{\displaystyle R}de un triángulo con ladosa{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, ydo{\displaystyle c}es [ 15 ]rR=abdo2(a+b+do).{\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}

Algunas relaciones entre los lados, el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito son: [ 16 ]ab+bdo+doa=s2+(4R+r)r,a2+b2+do2=2s2−2(4R+r)r.{\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}

Cualquier línea que atraviese un triángulo y divida tanto su área como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su círculo inscrito). Hay una, dos o tres de estas líneas para cualquier triángulo dado. [ 17 ]

El radio del círculo inscrito no es mayor que un noveno de la suma de las alturas. [ 18 ] : 289

La distancia al cuadrado desde el incentroI{\displaystyle I}al centro circunscritoO{\displaystyle O}está dado por [ 19 ] : 232OI¯2=R(R−2r)=abdoa+b+do[abdo(a+b−do)(a−b+do)(−a+b+do)−1]{\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]} y la distancia desde el incentro hasta el centronorte{\displaystyle N}del círculo de nueve puntos es [ 19 ] : 232Inorte¯=12(R−2r)<12R.{\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}

El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). [ 19 ] : 233, Lema 1

Triángulo de Gergonne y punto

  Triángulo △ ABC
  Círculo interior ( centro en I )
  Triángulo de contacto △ T A T B T C
  Líneas entre vértices opuestos de △ ABC y △ T A T B T C (concurren en el punto de Gergonne G e )

El triángulo de Gergonne (de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}) se define conectando los tres puntos de contacto del círculo interior en los tres lados. El punto de contacto opuestoA{\displaystyle A}se denotaTA{\displaystyle T_{A}}, etc.

Este triángulo de Gergonne,△TATBTdo{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}, también conocido como triángulo de contacto o triángulo de contacto de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}Su área es KT=K2r2sabdo{\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}} dóndeK{\displaystyle K},r{\displaystyle r}, ys{\displaystyle s}son el área, el radio del círculo inscrito y el semiperímetro del triángulo original, ya{\displaystyle a},b{\displaystyle b}, ydo{\displaystyle c}son las longitudes de los lados del triángulo original. Esta es la misma área que la del triángulo extouch . [ 20 ]

Las tres líneasATA{\displaystyle AT_{A}},BTB{\displaystyle BT_{B}}, ydoTdo{\displaystyle CT_{C}}se intersecan en un único punto llamado punto de Gergonne , denotado comoGRAMOmi{\displaystyle G_{e}}(o centro del triángulo X 7 ). El punto de Gergonne se encuentra en el disco ortocentroide abierto perforado en su propio centro, y puede ser cualquier punto dentro del mismo. [ 21 ]

El punto de Gergonne de un triángulo tiene varias propiedades, entre ellas que es el punto simediano del triángulo de Gergonne. [ 22 ]

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo de contacto vienen dadas porTA=0:segundo2⁡B2:segundo2⁡do2TB=segundo2⁡A2:0:segundo2⁡do2Tdo=segundo2⁡A2:segundo2⁡B2:0.{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}

Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne vienen dadas porsegundo2⁡A2:segundo2⁡B2:segundo2⁡do2,{\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},} o, equivalentemente, por la ley de los cosenos , bdob+do−a:doado+a−b:aba+b−do.{\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}

Excírculos y excentros

  Lados extendidos de △ ABC
  Círculo interior ( centro en I )
  Excírculos (excentros en J A , J B , J C )
  Bisectrices de los ángulos externos (que forman el triángulo excentral)

Una excírculo o círculo escrito [ 2 ] de un triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las prolongaciones de los otros dos . Todo triángulo tiene tres excírculos distintos, cada uno tangente a uno de los lados del triángulo. [ 3 ]

El centro de una excírculo es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vérticeA{\displaystyle A}, por ejemplo) y las bisectrices externas de las otras dos. El centro de esta excírculo se llama excentro con respecto al vértice.A{\displaystyle A}, o el excentro deA{\displaystyle A}. [ 3 ] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro del círculo inscrito junto con los tres centros de los círculos exscritos forman un sistema ortocéntrico . [ 5 ]

Coordenadas trilineales de los excentros

Mientras que el centro de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}tiene coordenadas trilineales1:1:1{\displaystyle 1:1:1}, los excentros tienen trilineales JA=−1:1:1JB=1:−1:1Jdo=1:1:−1{\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}

Exradii

Los radios de los círculos excéntricos se llaman radios excéntricos .

El radio externo del círculo externo opuestoA{\displaystyle A}(tan conmovedor)Bdo{\displaystyle BC}, centrado enJA{\displaystyle J_{A}}) es [ 23 ] [ 24 ]ra=rss−a=s(s−b)(s−do)s−a,{\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}dóndes=12(a+b+do).{\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}

Ver la fórmula de Herón .

Derivación de la fórmula de radios extraídos

Fuente: [ 23 ]

Dejemos el círculo exterior en el ladoAB{\displaystyle AB}tocar en el lateralAdo{\displaystyle AC}extendido enGRAMO{\displaystyle G}y sea el radio de este círculo excircunferencialrdo{\displaystyle r_{c}}y su centro seaJdo{\displaystyle J_{c}}. EntoncesJdoGRAMO{\displaystyle J_{c}G}es una altitud de△AdoJdo{\displaystyle \triangle ACJ_{c}}, entonces△AdoJdo{\displaystyle \triangle ACJ_{c}}tiene área12brdo{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}. Por un argumento similar,△BdoJdo{\displaystyle \triangle BCJ_{c}}tiene área12ardo{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}y△ABJdo{\displaystyle \triangle ABJ_{c}}tiene área12dordo{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}. Por lo tanto, el áreaΔ{\displaystyle \Delta }del triángulo△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}es Δ=12(a+b−do)rdo=(s−do)rdo.{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}.}

Entonces, por simetría, denotandor{\displaystyle r}como el radio del círculo inscrito, Δ=sr=(s−a)ra=(s−b)rb=(s−do)rdo.{\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}.}

Por la Ley de los Cosenos , tenemos porque⁡A=b2+do2−a22bdo{\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}

Combinando esto con la identidadpecado2A+porque2A=1{\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}, tenemos pecado⁡A=−a4−b4−do4+2a2b2+2b2do2+2a2do22bdo{\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}

PeroΔ=12bdopecado⁡A{\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}, y entonces Δ=14−a4−b4−do4+2a2b2+2b2do2+2a2do2=14(a+b+do)(−a+b+do)(a−b+do)(a+b−do)=s(s−a)(s−b)(s−do),{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}} que es la fórmula de Herón .

Combinando esto consr=Δ{\displaystyle sr=\Delta }, tenemos r2=Δ2s2=(s−a)(s−b)(s−do)s.{\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}

Similarmente,(s−a)ra=Δ{\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }da ra2=s(s−b)(s−do)s−a⟹ra=s(s−b)(s−do)s−a.{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}

Otras propiedades

De las fórmulas anteriores se puede ver que los círculos externos son siempre mayores que el círculo interno y que el círculo externo más grande es el tangente al lado más largo y el círculo externo más pequeño es el tangente al lado más corto. Además, combinando estas fórmulas se obtiene: [ 25 ]Δ=rrarbrdo.{\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}

Otras propiedades fuera del círculo

La envoltura circular de las excírculos es internamente tangente a cada una de las excírculos y, por lo tanto, es un círculo de Apolonio . [ 26 ] El radio de este círculo de Apolonio esr2+s24r{\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}dónder{\displaystyle r}es el radio del círculo inscrito ys{\displaystyle s}es el semiperímetro del triángulo. [ 27 ]

Las siguientes relaciones se cumplen entre los radios internos.r{\displaystyle r}, el radio circunscritoR{\displaystyle R}, el semiperímetros{\displaystyle s}y los radios excircularesra{\displaystyle r_{a}},rb{\displaystyle r_{b}},rdo{\displaystyle r_{c}}: [ 16 ]ra+rb+rdo=4R+r,rarb+rbrdo+rdora=s2,ra2+rb2+rdo2=(4R+r)2−2s2.{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}

El círculo que pasa por los centros de los tres excírculos tiene radio2R{\displaystyle 2R}. [ 16 ]

SiH{\displaystyle H}es el ortocentro de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}, entonces [ 16 ]ra+rb+rdo+r=AH¯+BH¯+doH¯+2R,ra2+rb2+rdo2+r2=AH¯2+BH¯2+doH¯2+(2R)2.{\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}

Triángulo de Nagel y punto de Nagel

  Lados extendidos del triángulo △ ABC
  Excírculos de △ ABC (tangente en T A . T B , T C )
  Triángulo Nagel/Extouch △ T A T B T C
  Líneas divisorias : líneas que conectan vértices opuestos de △ ABC y △ T A T B T C (concurren en el punto de Nagel N )

El triángulo de Nagel o triángulo de contacto de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}se denota por los vérticesTA{\displaystyle T_{A}},TB{\displaystyle T_{B}}, yTdo{\displaystyle T_{C}}esos son los tres puntos donde los círculos externos tocan la referencia.△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}y dóndeTA{\displaystyle T_{A}}es lo opuesto aA{\displaystyle A}, etc. Esto△TATBTdo{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}también se conoce como el triángulo de contacto de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}. El círculo circunscrito del extouch△TATBTdo{\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}se denomina círculo de Mandart (cf. elipse de Mandart ).

Los tres segmentos de líneaATA¯{\displaystyle {\overline {AT_{A}}}},BTB¯{\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}ydoTdo¯{\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}se llaman divisores del triángulo; cada uno de ellos biseca el perímetro del triángulo,AB¯+BTA¯=Ado¯+doTA¯=12(AB¯+Bdo¯+Ado¯).{\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}

Los divisores se cruzan en un único punto, el punto de Nagel del triángulo.nortea{\displaystyle N_{a}}(o centro del triángulo X 8 ).

Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo extouch vienen dadas porTA=0:csc2⁡B2:csc2⁡do2TB=csc2⁡A2:0:csc2⁡do2Tdo=csc2⁡A2:csc2⁡B2:0{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}

Las coordenadas trilineales para el punto de Nagel vienen dadas porcsc2⁡A2:csc2⁡B2:csc2⁡do2,{\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}

o, equivalentemente, por la Ley de los Senos , b+do−aa:do+a−bb:a+b−dodo.{\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas para el punto de Nagel son: b+do−a:do+a−b:a+b−do,{\displaystyle b+c-a:c+a-b:a+b-c,} o equivalentemente s−a:s−b:s−do.{\displaystyle s-a:s-b:s-c.}

La punta Nagel es el conjugado isotómico de la punta Gergonne.

Círculo de nueve puntos y punto de Feuerbach

El círculo de nueve puntos es tangente al círculo inscrito y al círculo exscrito.

En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son: [ 28 ] [ 29 ]

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es tangente externamente a los tres círculos externos de ese triángulo e internamente tangente a su círculo interno; este resultado se conoce como el teorema de Feuerbach . Demostró que: [ 30 ]

... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ... ( Feuerbach 1822 )

El centro del triángulo en el que se tocan la circunferencia inscrita y la circunferencia de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .

El círculo inscrito puede describirse como el círculo pedal del incentro. El lugar geométrico de los puntos cuyos círculos pedales son tangentes al círculo de nueve puntos se conoce como el cubo de McCay .

Triángulos incentrales y excentrales

Los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de△ABdo{\displaystyle \triangle ABC}con los segmentosBdo{\displaystyle BC},doA{\displaystyle CA}, yAB{\displaystyle AB}son los vértices del triángulo incentral . Coordenadas trilineales para los vértices del triángulo incentral.△A′B′do′{\displaystyle \triangle A'B'C'}son dados porA′=0:1:1B′=1:0:1do′=1:1:0{\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A'=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'=&1&:&1&:&0\end{array}}}

El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de las excírculos del triángulo de referencia. Sus lados están sobre las bisectrices de los ángulos externos del triángulo de referencia (ver figura en la parte superior de la página ). Coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral. △JAJBJdo{\displaystyle \triangle J_{A}J_{B}J_{C}}son dados porJA=−1:1:1JB=1:−1:1Jdo=1:1:−1{\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\[2pt]J_{B}=&1&:&-1&:&1\\[2pt]J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}

Ecuaciones para cuatro círculos

Dejarincógnita:y:z{\displaystyle x:y:z}Sea un punto variable en coordenadas trilineales y seatú=porque2⁡(A/2){\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)},v=porque2⁡(B/2){\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)},w=porque2⁡(do/2){\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}Los cuatro círculos descritos anteriormente se obtienen de forma equivalente mediante cualquiera de las dos ecuaciones dadas: [ 31 ] : 210–215

  • Círculo interior:tú2incógnita2+v2y2+w2z2−2vwyz−2wtúzincógnita−2túvincógnitay=0±incógnitaporque⁡A2±ytporque⁡B2±zporque⁡do2=0{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
  • A{\displaystyle A}-excircle:tú2incógnita2+v2y2+w2z2−2vwyz+2wtúzincógnita+2túvincógnitay=0±−incógnitaporque⁡A2±ytporque⁡B2±zporque⁡do2=0{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
  • B{\displaystyle B}-excircle:tú2incógnita2+v2y2+w2z2+2vwyz−2wtúzincógnita+2túvincógnitay=0±incógnitaporque⁡A2±−ytporque⁡B2±zporque⁡do2=0{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}
  • do{\displaystyle C}-excircle:tú2incógnita2+v2y2+w2z2+2vwyz+2wtúzincógnita−2túvincógnitay=0±incógnitaporque⁡A2±ytporque⁡B2±−zporque⁡do2=0{\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}

Teorema de Euler

El teorema de Euler establece que en un triángulo: (R−r)2=d2+r2,{\displaystyle (Rr)^{2}=d^{2}+r^{2},} dóndeR{\displaystyle R}yr{\displaystyle r}son el radio circunscrito y el radio inscrito respectivamente, yd{\displaystyle d}es la distancia entre el circuncentro y el incentro.

Para los círculos externos la ecuación es similar: (R+rex)2=dex2+rex2,{\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},} dónderex{\displaystyle r_{\text{ex}}}es el radio de uno de los excírculos, ydex{\displaystyle d_{\text{ex}}}es la distancia entre el circuncentro y el centro de esa excírculo. [ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

Generalización a otros polígonos

Algunos (pero no todos) cuadriláteros tienen un círculo inscrito. Estos se denominan cuadriláteros tangentes . Entre sus muchas propiedades, quizás la más importante sea que la suma de sus dos pares de lados opuestos es igual. Esto se conoce como el teorema de Pitot . [ 35 ]

En términos más generales, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito (es decir, uno que es tangente a cada lado) se denomina polígono tangente .

Generalización a triángulos topológicos

Si se consideran triángulos topológicos , aún es posible definir un círculo inscrito. Ya no se describe como tangente a todos los lados, puesto que el triángulo topológico podría no ser diferenciable en todos los puntos. En cambio, se define como un círculo cuyo centro tiene la misma distancia mínima a cada lado. Se ha demostrado que todos los triángulos topológicos tienen un círculo inscrito. [ 36 ]

Véase también

Notes

  1. ↑Kay (1969, p. 140)
  2. 12Altshiller-Court (1925, p. 74)
  3. 12345Altshiller-Court (1925, p. 73)
  4. ↑Kay (1969, p. 117)
  5. 12Johnson 1929, p. 182.
  6. 12Encyclopedia of Triangle CentersArchived 2012-04-19 at the Wayback Machine, accessed 2014-10-28.
  7. ↑Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; Yao, Haishen (March 2012), "Proving a nineteenth century ellipse identity", Mathematical Gazette, 96: 161–165, doi:10.1017/S0025557200004277, S2CID 124176398.
  8. ↑Altshiller-Court, Nathan (1980), College Geometry, Dover Publications. #84, p. 121.
  9. ↑Mathematical Gazette, July 2003, 323-324.
  10. ↑Chu, Thomas, The Pentagon, Spring 2005, p. 45, problem 584.
  11. ↑Kay (1969, p. 201)
  12. ↑Coxeter, H.S.M. "Introduction to Geometry 2nd ed. Wiley, 1961.
  13. ↑Minda, D., and Phelps, S., "Triangles, ellipses, and cubic polynomials", American Mathematical Monthly 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.
  14. ↑Kay (1969, p. 203)
  15. ↑Johnson 1929, p. 189, #298(d).
  16. 1 2 3 4 Bell, Amy. ""El teorema del triángulo rectángulo de Hansen, su recíproco y una generalización", Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 31 de agosto de 2021. Consultado el 5 de mayo de 2012 .
  17. ↑ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers", Mathematics Magazine 83, abril de 2010, pp. 141-146.
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  19. 1 2 3 Franzsen, William N. (2011). "La distancia del incentro a la línea de Euler" (PDF) . Forum Geometricorum . 11 : 231–236 . MR 2877263. Archivado del original (PDF) el 5 de diciembre de 2020. Recuperado el 9 de mayo de 2012 . .
  20. ↑ Weisstein, Eric W. "Triángulo de contacto". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. https://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html
  21. ↑ Christopher J. Bradley y Geoff C. Smith, "La ubicación de los centros de los triángulos", Forum Geometricorum 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine
  22. ↑ Dekov, Deko (2009). "Matemáticas generadas por computadora : El punto de Gergonne" (PDF) . Revista de geometría euclidiana generada por computadora . 1 : 1–14 . Archivado del original (PDF) el 5 de noviembre de 2010. 
  23. 1 2 Altshiller-Court (1925 , pág. 79) 
  24. ↑ Kay (1969 , pág. 202) 
  25. ↑ Baker, Marcus, "Una colección de fórmulas para el área de un triángulo plano", Anales de Matemáticas , parte 1 en vol. 1(6), enero de 1885, 134-138. (Véase también la parte 2 en vol. 2(1), septiembre de 1885, 11-18).
  26. ↑ "Grinberg, Darij y Yiu, Paul, "El círculo de Apolonio como un círculo de Tucker", Forum Geometricorum 2, 2002: págs. 175-182" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 25 de junio de 2023. Consultado el 2 de mayo de 2012 .
  27. ↑ "Stevanovi´c, Milorad R., "El círculo de Apolonio y centros triangulares relacionados", Forum Geometricorum 3, 2003, 187-195" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 6 de octubre de 2022. Consultado el 3 de mayo de 2012 .
  28. ↑ Altshiller-Court (1925 , págs. 103-110) 
  29. ↑ Kay (1969 , págs. 18, 245) 
  30. ↑ Feuerbach, Karl Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (en alemán) (edición monográfica ), Núremberg: Wiessner .
  31. ↑ Whitworth, William Allen. Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones , Forgotten Books, 2012 (original: Deighton, Bell, and Co., 1866). https://www.forgottenbooks.com/en/search?q=%22Trilinear+coordinates%22
  32. ↑ Nelson, Roger, "La desigualdad triangular de Euler mediante una demostración sin palabras", Mathematics Magazine 81(1), febrero de 2008, 58-61.
  33. ↑ Johnson 1929 , pág. 187.
  34. ↑ "Emelyanov, Lev y Emelyanova, Tatiana. "La fórmula de Euler y el porismo de Poncelet", Forum Geometricorum 1, 2001: págs. 137–140" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 17 de enero de 2023. Consultado el 2 de mayo de 2012 .
  35. ↑ Josefsson (2011 , véanse en particular las págs. 65–66). 
  36. ^ Al-Ajrawi, Ezzaddin (20 de octubre de 2024). "Inscribir esferas en Simplices topológicamente integrados" . El Mensual Matemático Estadounidense . 131 (9): 806– 813. doi : 10.1080/00029890.2024.2380233 . ISSN 0002-9890 . 

Referencias

  • Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: Introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2.ª  ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN 52013504 
  • Johnson, Roger A. (1929), " X. Círculos inscritos y escritos" , Geometría moderna , Houghton Mifflin, págs. 182–194 
  • Josefsson, Martin (2011), "Más caracterizaciones de cuadriláteros tangenciales" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 65–82 , MR 2877281 , archivado del original (PDF) el 4 de marzo de 2016 , consultado el 14 de marzo de 2023. 
  • Kay, David C. (1969), Geometría universitaria , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN 69012075 
  • Kimberling, Clark (1998). "Centros triangulares y triángulos centrales". Congressus Numerantium (129): i– xxv, 1– 295.
  • Kiss, Sándor (2006). "Los triángulos órtico-de-contacto e intoco-de-órtico". Forum Geometricorum (6): 171– 177.

Interactivo

  • Triángulo incéntrico ; Triángulo inscrito en la circunferencia ; Circunferencia inscrita de un polígono regular (con animaciones interactivas)
  • Construcción del incentro/circunferencia inscrita de un triángulo con compás y regla. Una demostración interactiva animada.
  • Teorema de los círculos inscritos iguales en cut-the-knot
  • Teorema de los cinco círculos inscritos en cut-the-knot
  • Pares de círculos inscritos en un cuadrilátero en el nudo de corte
  • Un applet interactivo de Java para el centro de control.