Función continua (teoría ordinal)

En teoría de conjuntos , una función continua es una secuencia de ordinales tales que los valores asumidos en las etapas límite son los límites ( límite supremo y límite ínfimo ) de todos los valores en las etapas anteriores. Más formalmente, sea γ un ordinal, y${\displaystyle s:=\langle s_{\alpha }|\alpha <\gamma \rangle }$Sea s una γ -secuencia de ordinales. Entonces s es continua si en cada límite ordinal β < γ ,

${\displaystyle s_{\beta }=\limsup\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\inf\{\sup\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}}$

y

${\displaystyle s_{\beta }=\liminf\{s_{\alpha }:\alpha <\beta \}=\sup\{\inf\{s_{\alpha }:\delta \leq \alpha <\beta \}:\delta <\beta \}\,.}$

Alternativamente, si s es una función creciente , entonces s es continua si s : γ → rango( s ) es una función continua cuando cada conjunto está equipado con la topología de orden . Estas funciones continuas se utilizan a menudo en cofinalidades y números cardinales .

Una función normal es una función que es continua y estrictamente creciente .