Ecuación de continuidad

Una ecuación de continuidad o ecuación de transporte describe el transporte de alguna magnitud. Es particularmente sencilla y potente cuando se aplica a una magnitud conservada , pero puede generalizarse para aplicarse a cualquier magnitud extensiva . Dado que la masa , la energía , el momento , la carga eléctrica y otras magnitudes naturales se conservan bajo sus respectivas condiciones apropiadas, diversos fenómenos físicos pueden describirse mediante ecuaciones de continuidad.

Las ecuaciones de continuidad son una forma más fuerte y local de las leyes de conservación . Por ejemplo, una versión débil de la ley de conservación de la energía establece que la energía no se crea ni se destruye; es decir, la cantidad total de energía en el universo es fija. Esta afirmación no descarta la posibilidad de que una cantidad de energía desaparezca de un punto y aparezca simultáneamente en otro. Una afirmación más fuerte es que la energía se conserva localmente : la energía no se crea ni se destruye, ni se teletransporta de un lugar a otro; solo puede moverse mediante un flujo continuo. Una ecuación de continuidad es la forma matemática de expresar este tipo de afirmación. Por ejemplo, la ecuación de continuidad para la carga eléctrica establece que la cantidad de carga eléctrica en cualquier volumen de espacio solo puede cambiar por la cantidad de corriente eléctrica que entra o sale de ese volumen a través de sus límites.

Las ecuaciones de continuidad, en general, pueden incluir términos de "fuente" y "sumidero", lo que les permite describir cantidades que a menudo, pero no siempre, se conservan, como la densidad de una especie molecular que puede crearse o destruirse mediante reacciones químicas. En un ejemplo cotidiano, existe una ecuación de continuidad para el número de personas vivas; esta tiene un "término fuente" para contabilizar los nacimientos y un "término sumidero" para contabilizar las muertes.

Cualquier ecuación de continuidad puede expresarse en una "forma integral" (en términos de una integral de flujo ), que se aplica a cualquier región finita, o en una "forma diferencial" (en términos del operador de divergencia ), que se aplica en un punto.

Las ecuaciones de continuidad son la base de ecuaciones de transporte más específicas, como la ecuación de convección-difusión , la ecuación de transporte de Boltzmann y las ecuaciones de Navier-Stokes .

Los flujos regidos por ecuaciones de continuidad pueden visualizarse mediante un diagrama de Sankey .

Ecuación general

Definición de flujo

Una ecuación de continuidad es útil cuando se puede definir un flujo . Para definir un flujo, primero debe existir una magnitud $q$ que pueda fluir o moverse, como masa , energía , carga eléctrica , momento , número de moléculas, etc. Sea $ρ$ la densidad volumétrica de esta magnitud, es decir, la cantidad de $q$ por unidad de volumen.

La forma en que fluye esta cantidad $q se describe mediante su flujo. El flujo de$ $q$ es un campo vectorial , que denotamos como j . A continuación, se presentan algunos ejemplos y propiedades del flujo:

La dimensión del flujo es "cantidad $q$ que fluye por unidad de tiempo a través de una unidad de área". Por ejemplo, en la ecuación de continuidad de masa para el agua en movimiento, si 1 gramo por segundo de agua fluye a través de una tubería con un área de sección transversal de 1 ^cm² , entonces el flujo de masa promedio $j$ dentro de la tubería es (1 g/s) / cm² ^, y su dirección es paralela a la tubería en la dirección en que fluye el agua. Fuera de la tubería, donde no hay agua, el flujo es cero.
Si existe un campo de velocidad $u$ que describe el flujo relevante —es decir, si toda la cantidad $q$ en un punto $x$ se mueve con velocidad $u (x)$ — entonces el flujo es, por definición, igual a la densidad multiplicada por el campo de velocidad:

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

Por ejemplo, si en la ecuación de continuidad de masa para el agua que fluye,

u

es la velocidad del agua en cada punto y

ρ

es la densidad del agua en cada punto, entonces

j

sería el flujo de masa, también conocido como descarga de material .

En un ejemplo muy conocido, el flujo de carga eléctrica es la densidad de corriente eléctrica .

Si existe una superficie imaginaria $S$ , entonces la integral de superficie del flujo sobre $S$ es igual a la cantidad de $q$ que pasa a través de la superficie $S$ por unidad de tiempo:

$({\text{Tasa a la que }}q{\text{ fluye a través de la superficie imaginaria }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

en el cual

{\textstyle \iint _ {S}d\mathbf {S}}

es una integral de superficie .

(Cabe señalar que el concepto que aquí se denomina "flujo" se conoce alternativamente como densidad de flujo en algunas publicaciones, en cuyo contexto "flujo" se refiere a la integral de superficie de la densidad de flujo. Para más detalles, consulte el artículo principal sobre Flujo ).

Forma integral

La forma integral de la ecuación de continuidad establece que:

La cantidad de $q en una región aumenta cuando fluye$ $q$ adicional hacia el interior a través de la superficie de la región, y disminuye cuando fluye hacia el exterior;
La cantidad de $q$ en una región aumenta cuando se crea nuevo $q$ dentro de la región, y disminuye cuando se destruye $q ;$
Aparte de estos dos procesos, no hay otra forma de que cambie la cantidad de $q en una región.$

Matemáticamente, la forma integral de la ecuación de continuidad que expresa la tasa de aumento de $q$ dentro de un volumen $V$ es:

${\frac {\partial q}{\partial t}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

En la forma integral de la ecuación de continuidad, $S$ es cualquier superficie cerrada que encierra completamente un volumen $V$ , como cualquiera de las superficies de la izquierda. $S$ no puede ser una superficie con límites, como las de la derecha. (Las superficies son azules, los límites son rojos).

dónde

$S$ es cualquier superficie cerrada imaginaria que encierra un volumen $V$ ,
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ denota una integral de superficie sobre esa superficie cerrada,
$q$ es la cantidad total de la cantidad en el volumen $V$ ,
$j$ es el flujo de $q$ ,
$es$ hora,
$Σ$ es la tasa neta a la que se genera $q dentro del volumen$ $V$ por unidad de tiempo. Cuando se genera $q (es decir, cuando$ ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}>0$ ), la región se llama fuente de $q$ , y hace que $Σ$ sea más positivo. Cuando $q$ está siendo destruido (es decir, cuando ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}<0$ ), la región se llama sumidero de $q$ , y hace que $Σ$ sea más negativo. El término $Σ$ a veces se escribe como $dq/dt|_{\text{gen}}$ o el cambio total de $q$ debido a su generación o destrucción dentro del volumen de control.

En un ejemplo sencillo, $V$ podría ser un edificio y $q$ el número de personas que viven en él. La superficie $S$ estaría formada por las paredes, las puertas, el techo y los cimientos del edificio. La ecuación de continuidad establece que el número de personas que viven en el edificio (1) aumenta cuando entran personas (es decir, cuando hay un flujo hacia adentro a través de la superficie), (2) disminuye cuando salen personas (es decir, cuando hay un flujo hacia afuera a través de la superficie), (3) aumenta cuando alguien en el edificio da a luz (es decir, cuando hay una tasa de cambio temporal positiva dentro del volumen) y (4) disminuye cuando alguien en el edificio deja de vivir (es decir, cuando hay una tasa de cambio temporal negativa dentro del volumen). En conclusión, en este ejemplo hay cuatro maneras distintas en que se puede alterar la tasa neta $Σ .$

Forma diferencial

Según el teorema de la divergencia , una ecuación de continuidad general también puede escribirse en "forma diferencial":

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

dónde

$\nabla\cdot$ es divergencia ,
$ρ$ es la densidad de la cantidad $q$ (es decir, la cantidad $q$ por unidad de volumen),
$j$ es el flujo de $q$ (es decir, j = ρ v , donde v es el campo vectorial que describe el movimiento de la cantidad $q$ ),
$es$ hora,
$σ$ es la generación de $q$ por unidad de volumen por unidad de tiempo. Los términos que generan $q$ (es decir, $σ > 0$ ) o que eliminan $q$ (es decir, $σ < 0$ ) se denominan fuentes y sumideros, respectivamente.

Esta ecuación general puede utilizarse para derivar cualquier ecuación de continuidad, desde la más simple, como la ecuación de continuidad de volumen, hasta la más compleja, como las ecuaciones de Navier-Stokes . Esta ecuación también generaliza la ecuación de advección . Otras ecuaciones en física, como la ley de Gauss del campo eléctrico y la ley de Gauss de la gravedad , tienen una forma matemática similar a la ecuación de continuidad, pero no suelen denominarse "ecuación de continuidad", ya que en esos casos $j$ no representa el flujo de una magnitud física real.

En el caso de que $q$ sea una cantidad conservada que no puede crearse ni destruirse (como la energía ), $σ = 0$ y las ecuaciones se convierten en: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

Electromagnetismo

En teoría electromagnética , la ecuación de continuidad es una ley empírica que expresa la conservación de la carga (local) . Matemáticamente es una consecuencia automática de las ecuaciones de Maxwell , aunque la conservación de la carga es más fundamental que las ecuaciones de Maxwell. Establece que la divergencia de la densidad de corriente $J$ (en amperios por metro cuadrado) es igual a la tasa de cambio negativa de la densidad de carga $ρ$ (en culombios por metro cúbico). $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

Consistencia con las ecuaciones de Maxwell

Una de las ecuaciones de Maxwell , la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) , establece que $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

Tomando la divergencia de ambos lados (la divergencia y la derivada parcial en el tiempo conmutan) se obtiene $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ pero la divergencia de un rotacional es cero, de modo que $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$

Pero la ley de Gauss (otra ecuación de Maxwell) establece que $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho,$ que puede sustituirse en la ecuación anterior para obtener la ecuación de continuidad. $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

La corriente eléctrica es el movimiento de carga. La ecuación de continuidad establece que si la carga sale de un volumen diferencial (es decir, la divergencia de la densidad de corriente es positiva), la cantidad de carga dentro de ese volumen disminuirá, por lo que la tasa de cambio de la densidad de carga será negativa. Por lo tanto, la ecuación de continuidad equivale a la conservación de la carga.

Si existen monopolos magnéticos , también existiría una ecuación de continuidad para las corrientes de monopolo. Consulte el artículo sobre monopolos para obtener información general y conocer la dualidad entre las corrientes eléctricas y magnéticas.

dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la ecuación de continuidad establece que la tasa a la que la masa entra en un sistema es igual a la tasa a la que la masa sale del sistema más la acumulación de masa dentro del sistema. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} La forma diferencial de la ecuación de continuidad es: ^{[ 1 ]} ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ dónde

$ρ$ es la densidad del fluido ,
$es$ hora,
$u$ es el campo vectorial de velocidad del flujo .

La derivada temporal puede entenderse como la acumulación (o pérdida) de masa en el sistema, mientras que el término de divergencia representa la diferencia entre el flujo de entrada y el de salida. En este contexto, esta ecuación también es una de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos) . Las ecuaciones de Navier-Stokes forman una ecuación de continuidad vectorial que describe la conservación del momento lineal .

Si el fluido es incompresible (la tasa de deformación volumétrica es cero), la ecuación de continuidad de masa se simplifica a una ecuación de continuidad de volumen: ^{[ 3 ]} $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$ Esto significa que la divergencia del campo de velocidad es cero en todas partes. Físicamente, esto equivale a decir que la tasa de dilatación volumétrica local es cero; por lo tanto, un flujo de agua a través de una tubería convergente se ajustará únicamente aumentando su velocidad, ya que el agua es en gran medida incompresible.

visión por computadora

En visión artificial , el flujo óptico es el patrón de movimiento aparente de los objetos en una escena visual. Bajo el supuesto de que el brillo del objeto en movimiento no cambió entre dos fotogramas de la imagen, se puede derivar la ecuación del flujo óptico como: ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$ dónde

$es$ hora,
Coordenadas $x$ $,$ $y en la imagen,$
$I$ es la intensidad de la imagen en la coordenada de la imagen $(x, y)$ y el tiempo $t$ ,
$V$ es el vector de velocidad del flujo óptico $(V_{x},V_{y})$ en la coordenada de la imagen $(x, y)$ y en el tiempo $t$

Energía y calor

La conservación de la energía establece que la energía no se crea ni se destruye. (Véase más abajo para conocer los matices relacionados con la relatividad general). Por lo tanto, existe una ecuación de continuidad para el flujo de energía: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$ dónde

$u$ , densidad de energía local(energía por unidad de volumen),
$q$ , flujo de energía (transferencia de energía por unidad de área de sección transversal por unidad de tiempo) como un vector,

Un ejemplo práctico importante es el flujo de calor . Cuando el calor fluye dentro de un sólido, la ecuación de continuidad se puede combinar con la ley de Fourier (el flujo de calor es proporcional al gradiente de temperatura) para llegar a la ecuación del calor . La ecuación del flujo de calor también puede tener términos fuente: aunque la energía no se puede crear ni destruir, el calor se puede crear a partir de otros tipos de energía, por ejemplo, mediante fricción o calentamiento Joule .

Distribuciones de probabilidad

Si existe una magnitud que se mueve continuamente según un proceso estocástico (aleatorio), como la ubicación de una sola molécula disuelta con movimiento browniano , entonces existe una ecuación de continuidad para su distribución de probabilidad . El flujo en este caso es la probabilidad por unidad de área por unidad de tiempo de que la partícula atraviese una superficie. Según la ecuación de continuidad, la divergencia negativa de este flujo es igual a la tasa de cambio de la densidad de probabilidad . La ecuación de continuidad refleja el hecho de que la molécula siempre está en algún lugar —la integral de su distribución de probabilidad siempre es igual a 1— y que se mueve mediante un movimiento continuo (sin teletransportación ).

Mecánica cuántica

La mecánica cuántica es otro campo donde existe una ecuación de continuidad relacionada con la conservación de la probabilidad . Los términos de la ecuación requieren las siguientes definiciones, y son un poco menos evidentes que los otros ejemplos anteriores, por lo que se describen aquí:

La función de onda $Ψ$ para una sola partícula en el espacio de posiciones (en lugar del espacio de momentos ), es decir, una función de la posición $r$ y el tiempo $t$ , $Ψ = Ψ(r, t)$ .
La función de densidad de probabilidad es $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
La probabilidad de encontrar la partícula dentro de $V$ en $t$ se denota y define por $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
La corriente de probabilidad (flujo de probabilidad) es $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

Con estas definiciones, la ecuación de continuidad se lee: $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

Se puede citar cualquiera de las dos formas. Intuitivamente, las cantidades anteriores indican que esto representa el flujo de probabilidad. La probabilidad de encontrar la partícula en una posición $r$ y un tiempo $t$ fluye como un fluido ; de ahí el término corriente de probabilidad , un campo vectorial . La partícula en sí no fluye de forma determinista en este campo vectorial .

Consistencia con la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y su conjugada compleja ( $i \to - i$ en todo momento) son respectivamente: ^{[ 4 ]} ${\begin{aligned}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi &=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},\\-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi ^{*}&=-i\hbar {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}},\\\end{aligned}}$ donde $U$ es la función potencial . La derivada parcial de $ρ$ con respecto a $t$ es: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

Multiplicando la ecuación de Schrödinger por $Ψ*$ y luego resolviendo para $Ψ* ⁠ \partialΨ / \partial t ⁠$ , y de manera similar multiplicando la ecuación de Schrödinger conjugada compleja por $Ψ$ y luego resolviendo para $Ψ ⁠ \partialΨ* / \partial t ⁠$ ; ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

Sustituyendo en la derivada temporal de $ρ$ : ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

Los operadores laplacianos ( $\nabla$ $2$ ) en el resultado anterior sugieren que el lado derecho es la divergencia de $j$ , y el orden invertido de los términos implica que esto es el negativo de $j$ , en conjunto: ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ Por lo tanto, la ecuación de continuidad es: ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

La forma integral se obtiene de la misma manera que para la ecuación general.

Semiconductor

La corriente total que fluye en el semiconductor se compone de la corriente de deriva y la corriente de difusión tanto de los electrones en la banda de conducción como de los huecos en la banda de valencia.

Forma general para electrones en una dimensión: ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$ dónde:

n es la concentración local de electrones.
$\mu _{n}$ es la movilidad de los electrones
E es el campo eléctrico a través de la región de agotamiento.
D _n es el coeficiente de difusión de los electrones.
G _n es la tasa de generación de electrones.
R _n es la tasa de recombinación de electrones.

De forma similar, para los agujeros: ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$ dónde:

p es la concentración local de huecos
$\mu _{p}$ es movilidad de agujeros
E es el campo eléctrico a través de la región de agotamiento.
D _p es el coeficiente de difusión para los agujeros
G _p es la tasa de generación de agujeros
R _p es la tasa de recombinación de huecos

Derivación

Esta sección presenta una deducción de la ecuación anterior para electrones. Una deducción similar se puede encontrar para la ecuación de huecos.

Consideremos el hecho de que el número de electrones se conserva en un volumen de material semiconductor con área de sección transversal A y longitud dx a lo largo del eje x . Más precisamente, se puede decir: ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

Matemáticamente, esta igualdad se puede escribir como: ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$ Aquí, J representa la densidad de corriente (cuya dirección, por convención, es opuesta al flujo de electrones) debida al flujo de electrones dentro del volumen considerado del semiconductor. También se la denomina densidad de corriente electrónica.

La densidad de corriente electrónica total es la suma de las densidades de corriente de deriva y de difusión: $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

Por lo tanto, tenemos ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

Al aplicar la regla del producto se obtiene la expresión final: ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

Solución

La clave para resolver estas ecuaciones en dispositivos reales reside en seleccionar, siempre que sea posible, regiones en las que la mayoría de los mecanismos sean insignificantes, de modo que las ecuaciones se reduzcan a una forma mucho más simple.

Versión relativista

relatividad especial

La notación y las herramientas de la relatividad especial , especialmente los 4-vectores y los 4-gradientes , ofrecen una manera conveniente de escribir cualquier ecuación de continuidad.

La densidad de una magnitud $ρ$ y su corriente $j$ se pueden combinar en un vector de cuatro componentes llamado corriente de cuatro componentes : $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ donde $c$ es la velocidad de la luz . La 4- divergencia de esta corriente es: $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ donde $\partial μ$ es el 4-gradiente y $μ$ es un índice que etiqueta la dimensión del espacio-tiempo . Entonces, la ecuación de continuidad es: $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ en el caso habitual donde no hay fuentes ni sumideros, es decir, para cantidades perfectamente conservadas como la energía o la carga. Esta ecuación de continuidad es manifiestamente ("obviamente") invariante de Lorentz .

Ejemplos de ecuaciones de continuidad que a menudo se escriben de esta forma incluyen la conservación de la carga eléctrica. $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ donde $J$ es la cuadricorriente eléctrica ; y conservación de la energía y el momento $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$ donde $T$ es el tensor de energía-impulso .

relatividad general

En la relatividad general , donde el espaciotiempo es curvo, la ecuación de continuidad (en forma diferencial) para la energía, la carga u otras cantidades conservadas implica la divergencia covariante en lugar de la divergencia ordinaria.

Por ejemplo, el tensor de energía-impulso es un campo tensorial de segundo orden que contiene densidades de energía-momento, flujos de energía-momento y esfuerzos cortantes de una distribución de masa-energía. La forma diferencial de la conservación de la energía-momento en la relatividad general establece que la divergencia covariante del tensor de energía-impulso es cero: ${\displaystyle {T^{\mu }}_{\nu$

Esta es una restricción importante sobre la forma que toman las ecuaciones de campo de Einstein en la relatividad general . ^{[ 5 ]}

Sin embargo, la divergencia ordinaria del tensor energía-impulso no necesariamente desaparece: ^[⁶^] $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

El lado derecho desaparece estrictamente solo en geometría plana.

En consecuencia, la forma integral de la ecuación de continuidad es difícil de definir y no necesariamente válida para una región dentro de la cual el espaciotiempo está significativamente curvado (por ejemplo, alrededor de un agujero negro o a través de todo el universo). ^{[ 7 ]}

Física de partículas

Los quarks y los gluones tienen carga de color , que siempre se conserva como la carga eléctrica, y hay una ecuación de continuidad para dichas corrientes de carga de color (las expresiones explícitas para las corrientes se dan en el tensor de fuerza del campo de gluones ).

En física de partículas, existen muchas otras magnitudes que se conservan con frecuencia o siempre: el número bariónico (proporcional al número de quarks menos el número de antiquarks), el número electrónico, el número mu, el número tau , el isospín y otras. ^{[ 8 ]} Cada una de ellas tiene una ecuación de continuidad correspondiente, que posiblemente incluya términos de fuente/sumidero.

Teorema de Noether

Una de las razones por las que las ecuaciones de conservación aparecen con frecuencia en física es el teorema de Noether . Este teorema establece que siempre que las leyes de la física tengan una simetría continua , existe una ecuación de continuidad para alguna magnitud física conservada. Los tres ejemplos más famosos son:

Las leyes de la física son invariantes con respecto a la traslación temporal ; por ejemplo, las leyes de la física de hoy son las mismas que las de ayer. Esta simetría conduce a la ecuación de continuidad para la conservación de la energía .
Las leyes de la física son invariantes con respecto a la traslación espacial; por ejemplo, un cohete en el espacio exterior no está sujeto a fuerzas o potenciales diferentes si se desplaza en cualquier dirección dada (por ejemplo, x, y, z), lo que lleva a la conservación de las tres componentes del momento .
Las leyes de la física son invariantes con respecto a la orientación; por ejemplo, flotando en el espacio exterior, no hay forma de determinar cuál es la dirección hacia arriba. Las leyes de la física son las mismas independientemente de la orientación. Esta simetría da lugar a la ecuación de continuidad para la conservación del momento angular .

Véase también

Referencias

1 2 Pedlosky, Joseph (1987). Dinámica de fluidos geofísicos . Springer . págs. 10–13 . ISBN 978-0-387-96387-7.
↑ Clancy, LJ (1975), Aerodinámica , Sección 3.3, Pitman Publishing Limited, Londres
↑ Fielding, Suzanne. "Los fundamentos de la dinámica de fluidos" (PDF) . Universidad de Durham . Consultado el 22 de diciembre de 2019 .
↑ Para esta derivación, véase, por ejemplo, McMahon, D. (2006). Mecánica cuántica desmitificada . McGraw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
↑ D. McMahon (2006). Relatividad desmitificada . McGraw Hill (EE. UU.). ISBN 0-07-145545-0.
↑ CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
↑ Michael Weiss; John Baez. "¿Se conserva la energía en la relatividad general?" . Consultado el 25 de abril de 2014 .
↑ CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 558–559 . ISBN 0-7167-0344-0.

Lecturas adicionales

Lamb, H. (2006) [1932]. Hidrodinámica (6.ª ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-45868-9.
Griffiths, DJ (1999). Introducción a la electrodinámica (3.ª ed.). Pearson Education Inc. ISBN 81-7758-293-3.
Grant, IS; Phillips, WR (2008). Electromagnetismo . Serie de Física de Manchester (2.ª ed.). ISBN 978-0-471-92712-9.
Wheeler, JA; Misner, C.; Thorne, KS (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[Pedlosky-1] 1 2 Pedlosky, Joseph (1987). Dinámica de fluidos geofísicos . Springer . págs. 10–13 . ISBN 978-0-387-96387-7.

[2] Clancy, LJ (1975), Aerodinámica , Sección 3.3, Pitman Publishing Limited, Londres

[Fielding-3] Fielding, Suzanne. "Los fundamentos de la dinámica de fluidos" (PDF) . Universidad de Durham . Consultado el 22 de diciembre de 2019 .

[4] Para esta derivación, véase, por ejemplo, McMahon, D. (2006). Mecánica cuántica desmitificada . McGraw Hill. ISBN 0-07-145546-9.

[5] D. McMahon (2006). Relatividad desmitificada . McGraw Hill (EE. UU.). ISBN 0-07-145545-0.

[6] CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

[7] Michael Weiss; John Baez. "¿Se conserva la energía en la relatividad general?" . Consultado el 25 de abril de 2014 .

[8] CW Misner; KS Thorne; JA Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 558–559 . ISBN 0-7167-0344-0.

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