Método de continuidad

En las matemáticas de los espacios de Banach , el método de continuidad proporciona condiciones suficientes para deducir la invertibilidad de un operador lineal acotado a partir de la de otro operador relacionado.

Sea B un espacio de Banach , V un espacio vectorial normado y${\displaystyle (L_{t})_{t\in [0,1]}}$una familia continua en norma de operadores lineales acotados de B en V. Supongamos que existe una constante positiva C tal que para todo${\displaystyle t\in [0,1]}$y cada${\displaystyle x\in B}$

${\displaystyle ||x||_{B}\leq C||L_{t}(x)||_{V}.}$

Entonces${\displaystyle L_{0}}$es sobreyectiva si y solo si${\displaystyle L_{1}}$También es sobreyectiva.

El método de continuidad se utiliza junto con estimaciones a priori para demostrar la existencia de soluciones suficientemente regulares para ecuaciones diferenciales parciales elípticas .

Suponemos que${\displaystyle L_{0}}$es sobreyectiva y muestra que${\displaystyle L_{1}}$También es sobreyectiva.

Subdividiendo el intervalo [0,1] podemos suponer que${\displaystyle ||L_{0}-L_{1}||\leq 1/(3C)}$. Además, la sobreyectividad de${\displaystyle L_{0}}$implica que V es isomorfo a B y, por lo tanto, un espacio de Banach. La hipótesis implica que${\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}$es un subespacio cerrado.

Supongamos que${\displaystyle L_{1}(B)\subseteq V}$es un subespacio propio. El lema de Riesz muestra que existe un${\displaystyle y\in V}$de tal manera que${\displaystyle ||y||_{V}\leq 1}$y${\displaystyle \mathrm {dist} (y,L_{1}(B))>2/3}$. Ahora${\displaystyle y=L_{0}(x)}$para algunos${\displaystyle x\in B}$y${\displaystyle ||x||_{B}\leq C||y||_{V}}$por la hipótesis. Por lo tanto

${\displaystyle ||y-L_{1}(x)||_{V}=||(L_{0}-L_{1})(x)||_{V}\leq ||L_{0}-L_{1}||||x||_{B}\leq 1/3,}$

lo cual es una contradicción ya que${\displaystyle L_{1}(x)\in L_{1}(B)}$.

• Estimaciones de Schauder

• Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-41160-7