advección de contorno

La advección de contornos es un método lagrangiano para simular la evolución de uno o más contornos o isolíneas de un trazador a medida que es agitado por un fluido en movimiento. Consideremos una gota de tinte inyectada en un río o arroyo: en primera aproximación, podría modelarse rastreando únicamente el movimiento de sus contornos. Es un método excelente para estudiar la mezcla caótica : incluso cuando son transportados por campos de velocidad suaves o con resolución finita, a través de un proceso continuo de estiramiento y plegado, estos contornos a menudo se convierten en intrincados fractales . El trazador suele ser pasivo, como en ^{[ 1 ]} , pero también puede ser activo, como en ^{[ 2 ],} representando una propiedad dinámica del fluido, como la vorticidad . Actualmente, la advección de contornos se limita a dos dimensiones, pero es posible generalizarla a tres dimensiones.

Método

Primero necesitamos un conjunto de puntos que definan con precisión el contorno. Estos puntos se desplazan hacia adelante mediante una técnica de integración de trayectoria . Para mantener su integridad, se deben agregar o eliminar puntos de la curva a intervalos regulares según algún criterio o métrica. El criterio más obvio es mantener la distancia entre puntos adyacentes dentro de un intervalo determinado. Un método mejor es usar la curvatura, ya que se requieren menos puntos para el mismo nivel de precisión. La curvatura de una curva cartesiana bidimensional se expresa como:

{\frac {1}{r}}={\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} s^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} s^{2}}}\right)^{2}}}

dónde $r$ es el radio de curvatura y $s$ es el camino. Necesitamos mantener la fracción del arco trazado entre dos puntos adyacentes, $r\Delta s$ , dónde $\Delta s$ es la diferencia de camino entre ellos, aproximadamente constante

En ^{[ 3 ],} el ajuste de splines cúbicos se utiliza tanto para calcular la curvatura como para interpolar nuevos puntos en el contorno. El spline, que se ajusta paramétricamente , devuelve un conjunto de derivadas de segundo orden.

Cirugía

Una mejora significativa de la técnica consiste en eliminar filamentos que se han vuelto demasiado estrechos para ser relevantes. Si se utiliza el método de distancia para añadir o eliminar puntos, resulta relativamente sencillo comprobar las distancias entre todas las combinaciones de puntos. Si la distancia entre puntos no adyacentes es demasiado pequeña, los dos puntos se separan de sus vecinos, se unen y sus vecinos también se unen. Si es necesario, se pueden eliminar puntos. Al permitir la cirugía, se permiten dominios con múltiples conexiones dentro del mismo contorno. Un segmento del contorno de tan solo un punto de longitud se eliminaría de la simulación. La parte más compleja del ejercicio consiste en realizar un seguimiento de todos los puntos para reducir el número de cálculos de distancia (véase la búsqueda del vecino más cercano ). Si se utiliza el método de curvatura, puede resultar difícil determinar cuándo dos secciones del contorno están lo suficientemente cerca como para aplicar la cirugía debido a las diferencias de espaciado entre secciones muy curvas y secciones relativamente rectas. ^{[ 2 ]}

Validación

Los contornos advectivos, por ejemplo, de gases traza (como el ozono) en la estratosfera, pueden validarse con instrumentos de teledetección satelital utilizando un método llamado recuperación de isolíneas . ^{[ 3 ]}

Enlaces externos

ctraj : Una biblioteca para simulaciones de advección lagrangiana.

Referencias

↑ DW Waugh; RA Plumb (1994). "Advección de contorno con cirugía: una técnica para investigar la estructura de escala fina en el transporte de trazadores" . Journal of the Atmospheric Sciences . 51 (4): 415– 422. Bibcode : 1994JAtS...51..530W . doi : 10.1175/1520-0469(1994)051 < 0530:CAWSAT > 2.0.CO ; 2 .
1 2 D. G. Dritschel (1988). "Cirugía de contorno: un esquema de reconexión topológica". Journal of Computational Physics . 77 : 240–266 . doi : 10.1016/0021-9991(88)90165-9 .
1 2 Peter Mills (2009). "Recuperación de isolíneas: un método óptimo para la validación de contornos advectados" (PDF) . Computers & Geosciences . 35 (11): 2020– 2031. arXiv : 1202.5659 . doi : 10.1016/j.cageo.2008.12.015 . S2CID 1637949 .

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