recuperación de isolíneas

Supongamos que tenemos, como en la advección de contorno , conocimiento inferido de un único contorno o isolínea de un componente atmosférico, q, y deseamos validarlo con datos de teledetección satelital. Dado que los instrumentos satelitales no pueden medir el componente directamente, necesitamos realizar algún tipo de inversión. Para validar el contorno, no es necesario conocer, en ningún punto dado, el valor exacto del componente. Solo necesitamos saber si cae dentro o fuera, es decir, si es mayor o menor que el valor del contorno, q ₀ .

Este es un problema de clasificación. Sea:

${\displaystyle j={\begin{cases}1;&q<q_{0}\\2;&q\geq q_{0}\end{cases}}}$

sea ​​la variable discretizada. Esto estará relacionado con el vector de medición del satélite ,${\displaystyle {\vec {y}}}$, por alguna probabilidad condicional ,${\displaystyle P({\vec {y}}|j)}$, que aproximamos mediante la recopilación de muestras, denominadas datos de entrenamiento , tanto del vector de medición como de la variable de estado , q . Al generar resultados de clasificación sobre la región de interés y utilizar cualquier algoritmo de contorneado para separar las dos clases, se habrá "recuperado" la isolínea.

La precisión de una recuperación se dará integrando la probabilidad condicional sobre el área de interés, A :

${\displaystyle a={\frac {1}{A}}\int _{A}P\left[c({\vec {r}})|{\vec {y}}({\vec {r}})\right]\,d{\vec {r}}}$

donde c es la clase recuperada en la posición,${\displaystyle {\vec {r}}}$Podemos maximizar esta cantidad maximizando el valor del integrando en cada punto:

${\displaystyle \max(a)={\frac {1}{A}}\int _{A}\left\lbrace \max _{j}P\left[j|{\vec {y}}({\vec {r}})\right]\right\rbrace \,d{\vec {r}}}$

Dado que esta es la definición de máxima verosimilitud, un algoritmo de clasificación basado en máxima verosimilitud es el método más preciso posible para validar un contorno advectivo. Un buen método para realizar la clasificación de máxima verosimilitud a partir de un conjunto de datos de entrenamiento es la estimación de densidad de kernel variable .

Existen dos métodos para generar los datos de entrenamiento. El más obvio es empírico, simplemente comparando las mediciones de la variable q con mediciones coincidentes del instrumento satelital. En este caso, no se requiere conocimiento de la física real que produce la medición y el algoritmo de recuperación es puramente estadístico. El segundo método es con un modelo directo:

${\displaystyle {\vec {y}}={\vec {f}}({\vec {x}})\,}$

dónde${\displaystyle {\vec {x}}}$es el vector de estado y q = x _k es un componente único. Una ventaja de este método es que los vectores de estado no necesitan reflejar configuraciones atmosféricas reales, sino solo adoptar un estado que podría ocurrir razonablemente en la atmósfera real. Además, no presenta los errores inherentes a la mayoría de los procedimientos de colocación , por ejemplo, debido a errores de desplazamiento en las ubicaciones de las muestras emparejadas y diferencias en el tamaño de la huella de los dos instrumentos. Sin embargo, dado que las recuperaciones estarán sesgadas hacia estados más comunes, las estadísticas deberían reflejar las del mundo real.

Las probabilidades condicionales,${\displaystyle P({\vec {y}}|j)}$Proporcionan una excelente caracterización de errores, por lo tanto, el algoritmo de clasificación debería devolverlos. Definimos la calificación de confianza reescalando la probabilidad condicional:

${\displaystyle C={\frac {n_{c}P(c|{\vec {y}})-1}{n_{c}-1}}}$

donde n _c es el número de clases (en este caso, dos). Si C es cero, la clasificación es ligeramente mejor que el azar, mientras que si es uno, debería ser perfecta. Para transformar la calificación de confianza en una tolerancia estadística, se puede aplicar la siguiente integral de línea a una recuperación de isolínea para la cual se conoce la isolínea verdadera:

${\displaystyle \delta (C)={\frac {1}{l}}\int _{0}^{l}h(CC^{\prime }({\vec {r}}))\,ds}$

donde s es el camino, l es la longitud de la isolínea y${\displaystyle C^{\prime }}$es la confianza recuperada en función de la posición. Si bien parece que la integral debe evaluarse por separado para cada valor de la calificación de confianza, C , de hecho puede hacerse para todos los valores de C ordenando las calificaciones de confianza de los resultados,${\displaystyle C^{\prime }}$La función relaciona el valor umbral del índice de confianza para el cual se aplica la tolerancia. Es decir, define una región que contiene una fracción de la isolínea verdadera igual a la tolerancia.

La serie de instrumentos satelitales de la Unidad Avanzada de Sondeo por Microondas (AMSU) está diseñada para detectar la temperatura y el vapor de agua. Tienen una alta resolución horizontal (tan solo 15  km) y, debido a que están montados en más de un satélite, se puede obtener una cobertura global completa en menos de un día. Los datos de entrenamiento se generaron utilizando el segundo método a partir de los datos ERA-40 del Centro Europeo de Previsiones Meteorológicas a Medio Plazo (ECMWF) alimentados a un modelo de transferencia radiativa rápida llamado RTTOV . La función,${\displaystyle \delta (C)}$Se ha generado a partir de simulaciones y se muestra en la figura de la derecha. Posteriormente, se utiliza para establecer la tolerancia del 90 % en la figura inferior, sombreando todos los valores de confianza inferiores a 0,8. Por lo tanto, se espera que la isolínea verdadera se encuentre dentro del área sombreada el 90 % de las veces.

La ubicación de q ₀ se encuentra igualando las probabilidades condicionales de las dos clases:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{q_{0}}P(q|{\vec {y}})\,dq=\int _{q_{0}}^{\infty }P(q|{\vec {y}})\,dq}$

En otras palabras, cantidades iguales del "momento de orden cero" se encuentran a ambos lados de q ₀ . Este tipo de formulación es característica de un estimador robusto .