Espacio contraíble

En matemáticas , un espacio topológico X es contraíble si la aplicación identidad en X es homotópica nula, es decir, si es homotópica a alguna aplicación constante . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Intuitivamente, un espacio contraíble es aquel que puede reducirse continuamente a un punto dentro de ese espacio.

Un espacio contraíble es precisamente aquel cuyo tipo de homotopía es el de un punto. De ello se deduce que todos los grupos de homotopía de un espacio contraíble son triviales . Por lo tanto, cualquier espacio con un grupo de homotopía no trivial no puede ser contraíble. Del mismo modo, dado que la homología singular es un invariante de homotopía, los grupos de homología reducidos de un espacio contraíble son todos triviales.

Para un espacio topológico no vacío X, las siguientes afirmaciones son todas equivalentes:

• X es contraíble (es decir, el mapa identidad es homotópico nulo).
• X es homotópicamente equivalente a un espacio de un punto.
• La deformación X se retrae hacia un punto. (Sin embargo, existen espacios contraíbles que no se retraen fuertemente hacia un punto).
• Para cualquier espacio Y conectado por caminos , cualesquiera dos aplicaciones f , g : X → Y son homotópicas.
• Para cualquier espacio no vacío Y , cualquier aplicación f : Y → X es homotópica nula.

El cono sobre un espacio X siempre es contraíble. Por lo tanto, cualquier espacio puede estar incrustado en uno contraíble (lo que también ilustra que los subespacios de espacios contraíbles no necesariamente son contraíbles).

Además, X es contraíble si y solo si existe una retracción desde el cono de X a X.

Todo espacio contraíble es conexo por caminos y simplemente conexo . Además, dado que todos los grupos de homotopía superiores se anulan, todo espacio contraíble es n -conexo para todo n ≥ 0.

Un espacio topológico X es localmente contraíble en un punto x si para cada entorno U de x existe un entorno V de x contenido en U tal que la inclusión de V es nulohomótopo en U. Un espacio es localmente contraíble si lo es en cada punto. Esta definición se conoce ocasionalmente como la "contraíble local del topólogo geométrico", aunque es el uso más común del término. En el texto estándar de Topología Algebraica de Hatcher , esta definición se denomina "débilmente localmente contraíble", si bien este término tiene otros usos. ^{[ 3 ]}

Si cada punto tiene una base local de vecindarios contraíbles, decimos que X es fuertemente localmente contraíble . Los espacios contraíbles no son necesariamente localmente contraíbles, ni viceversa. Por ejemplo, el espacio peine es contraíble, pero no localmente contraíble (si lo fuera, sería localmente conexo, lo cual no es el caso). Los espacios localmente contraíbles son localmente n -conexos para todo n ≥ 0. En particular, son localmente simplemente conexos , localmente conexos por caminos y localmente conexos . El círculo es (fuertemente) localmente contraíble, pero no contraíble.

La contractibilidad local fuerte es una propiedad estrictamente más fuerte que la contractibilidad local; los contraejemplos son sofisticados, el primero de los cuales fue presentado por Borsuk y Mazurkiewicz en su artículo Sur les rétractes absolus indécomposables , CR. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112).

Existe cierta discrepancia sobre cuál es la definición "estándar" de contractibilidad local ; la primera se usa con mayor frecuencia en topología geométrica, especialmente históricamente, mientras que la segunda se ajusta mejor al uso típico del término "local" en relación con las propiedades topológicas. Siempre se debe tener cuidado con las definiciones al interpretar los resultados sobre estas propiedades.

• Cualquier espacio euclidiano es contraíble, al igual que cualquier dominio estelar en un espacio euclidiano.
• El colector Whitehead es contraíble.
• Las esferas de cualquier dimensión finita no son contraíbles, aunque están conectadas de forma sencilla en una dimensión de al menos 2.
• La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de dimensión infinita es contraíble .
• La casa de dos habitaciones es un ejemplo típico de un espacio que se puede contraer, pero no de forma intuitiva.
• El gorro de burro es retráctil, pero no plegable .
• El cono de un pendiente hawaiano es contráctil (ya que es un cono), pero no es localmente contráctil ni siquiera localmente simplemente conectado.
• Todos los colectores y complejos CW son localmente contraíbles, pero en general no son contraíbles.
• El círculo de Varsovia se obtiene al "cerrar" la curva sinusoidal del topólogo con un arco que conecta (0, − 1) y (1,sin(1)). Es un continuo unidimensional cuyos grupos de homotopía son todos triviales, pero no es contraíble.

• Bola 4 falsa : variedad topológica matemática