Semigrupo C0

En análisis matemático , un semigrupo C ₀ , también conocido como semigrupo fuertemente continuo de un parámetro , es una generalización de la función exponencial . Así como las funciones exponenciales proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales escalares con coeficientes constantes , los semigrupos fuertemente continuos proporcionan soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes en espacios de Banach . Tales ecuaciones diferenciales en espacios de Banach surgen, por ejemplo, de ecuaciones diferenciales de retardo y ecuaciones diferenciales parciales .

Formalmente, un semigrupo fuertemente continuo es una representación del semigrupo ( R ₊ , + ) en algún espacio de Banach X que es continuo en la topología del operador fuerte .

Un semigrupo fuertemente continuo en un espacio de Banach es una función (donde es el espacio de operadores acotados en ) tal que ${\estilo de visualización X}$${\displaystyle T:\mathbb {R}_{+}\to L(X)}$${\estilo de visualización L(X)}$${\estilo de visualización X}$

1. ${\displaystyle T(0)=I}$, (el operador de identidad en )${\estilo de visualización X}$
2. ${\displaystyle \para todo t,s\geq 0:\ T(t+s)=T(t)T(s)}$
3. ${\displaystyle \para todo x_{0}\en X:\ \|T(t)x_{0}-x_{0}\|\a 0}$, como .${\displaystyle t\flecha hacia abajo 0}$

Los dos primeros axiomas son algebraicos y establecen que es una representación del semigrupo ; el último es topológico y establece que el mapa es continuo en la topología del operador fuerte . ${\estilo de visualización T}$${\displaystyle {(\mathbb {R}_{+},+)}}$${\estilo de visualización T}$

El generador infinitesimal A de un semigrupo fuertemente continuo T se define por

${\displaystyle A\,x=\lim _{t\downarrow 0}{\frac {(T(t)-I)\,x}{t}}}$

siempre que exista el límite. El dominio de A , D ( A ), es el conjunto de x ∈ X para el que existe este límite; D ( A ) es un subespacio lineal y A es lineal en este dominio. ^[1] El operador A es cerrado , aunque no necesariamente acotado , y el dominio es denso en X . ^[2]

El semigrupo fuertemente continuo T con generador A se denota a menudo con el símbolo (o, equivalentemente, ). Esta notación es compatible con la notación para exponentes matriciales , y para funciones de un operador definido a través del cálculo funcional (por ejemplo, a través del teorema espectral ). ${\displaystyle e^{En}}$${\displaystyle \exp(En)}$

Un semigrupo uniformemente continuo es un semigrupo fuertemente continuo T tal que

${\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\|T(t)-I\|=0}$

se cumple. En este caso, el generador infinitesimal A de T está acotado y tenemos

${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)=X}$

y

${\displaystyle T(t)=e^{At}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}t^{k}.}$

Por el contrario , cualquier operador acotado

${\displaystyle A\colon X\to X}$

es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo dado por

${\displaystyle T(t):=e^{At}}$.

Por lo tanto, un operador lineal A es el generador infinitesimal de un semigrupo uniformemente continuo si y solo si A es un operador lineal acotado. ^[3] Si X es un espacio de Banach de dimensión finita , entonces cualquier semigrupo fuertemente continuo es un semigrupo uniformemente continuo. Para un semigrupo fuertemente continuo que no es un semigrupo uniformemente continuo, el generador infinitesimal A no está acotado. En este caso, no necesita converger. ${\displaystyle e^{En}}$

Consideremos el espacio de Banach dotado de la norma sup . Sea una función continua con . El operador con dominio es un operador cerrado densamente definido y genera el semigrupo de multiplicación donde Los operadores de multiplicación pueden verse como la generalización de dimensión infinita de matrices diagonales y muchas de las propiedades de pueden derivarse de las propiedades de . Por ejemplo, está acotado en si y solo si está acotado . ^[4]${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ):=\{f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} {\text{ continua}}:\forall \epsilon >0~\exists c>0{\text{ tal que }}\vert f(x)\vert \leq \epsilon ~\forall x\in \mathbb {R} \setminus [-c,c]\}}$ ${\displaystyle \Vert f\Vert :={\text{sup}}_{x\in \mathbb {R} }\vert f(x)\vert }$${\displaystyle q:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle {\text{sup}}_{s\in \mathbb {R} }{\text{Re}}(q(s))<\infty }$${\displaystyle M_{q}f:=q\cdot f}$${\displaystyle D(M_{q}):=\{f\in C_{0}(\mathbb {R} ):q\cdot f\in C_{0}(\mathbb {R} )\}}$${\displaystyle (T_{q}(t))_{t\geq 0}}$${\displaystyle T_{q}(t)f:=\mathrm {e} ^{qt}f.}$${\displaystyle M_{q}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle M_{q}}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R)} }$${\displaystyle q}$

Sea el espacio de funciones acotadas, uniformemente continuas en dotadas de la norma sup. El semigrupo de traslación (izquierdo) está dado por . ${\displaystyle C_{ub}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (T_{l}(t))_{t\geq 0}}$${\displaystyle T_{l}(t)f(s):=f(s+t),\quad s,t\in \mathbb {R} }$

Su generador es la derivada con dominio . ^[5]${\displaystyle Af:=f'}$${\displaystyle D(A):=\{f\in C_{ub}(\mathbb {R} ):f{\text{ differentiable with }}f'\in C_{ub}(\mathbb {R} )\}}$

Consideremos el problema abstracto de Cauchy :

${\displaystyle u'(t)=Au(t),~~~u(0)=x,}$

donde A es un operador cerrado en un espacio de Banach X y x ∈ X . Existen dos conceptos de solución de este problema:

• una función continuamente diferenciable u : [0, ∞) → X se denomina solución clásica del problema de Cauchy si u ( t  ) ∈ D ( A ) para todo t > 0 y satisface el problema del valor inicial,
• una función continua u : [0, ∞) → X se llama solución suave del problema de Cauchy si

${\displaystyle \int _{0}^{t}u(s)\,ds\in D(A){\text{ and }}A\int _{0}^{t}u(s)\,ds=u(t)-x.}$

Toda solución clásica es una solución moderada. Una solución moderada es una solución clásica si y sólo si es continuamente diferenciable. ^[6]

El siguiente teorema conecta problemas abstractos de Cauchy y semigrupos fuertemente continuos.

Teorema: ^[7] Sea A un operador cerrado en un espacio de Banach X . Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. para todo x ∈ X existe una única solución suave del problema abstracto de Cauchy,
2. el operador A genera un semigrupo fuertemente continuo,
3. El conjunto resolutivo de A no está vacío y para todo x ∈ D ( A ) existe una solución clásica única del problema de Cauchy.

Cuando estas afirmaciones son válidas, la solución del problema de Cauchy viene dada por u ( t  ) =  T ( t  ) x con T el semigrupo fuertemente continuo generado por A .

En relación con los problemas de Cauchy, normalmente se da un operador lineal A y la pregunta es si este es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. Los teoremas que responden a esta pregunta se denominan teoremas de generación . Una caracterización completa de los operadores que generan semigrupos fuertemente continuos acotados exponencialmente la proporciona el teorema de Hille-Yosida . Sin embargo, de mayor importancia práctica son las condiciones mucho más fáciles de verificar que proporciona el teorema de Lumer-Phillips .

El semigrupo fuertemente continuo T se llama uniformemente continuo si la función t  →  T ( t  ) es continua desde [0, ∞) hasta L ( X ).

El generador de un semigrupo uniformemente continuo es un operador acotado .

Un semigrupo C ₀ Γ( t ), t  ≥ 0, se denomina semigrupo de cuasicontracción si existe una constante ω tal que ||Γ( t )|| ≤ exp( ωt ) para todo t  ≥ 0. Γ( t ) se denomina semigrupo de contracción si ||Γ( t )|| ≤ 1 para todo t  ≥ 0. ^[8]

Un semigrupo fuertemente continuo T se llama eventualmente diferenciable si existe un t ₀  > 0 tal que T ( t ₀ ) X ⊂ D ( A ) (equivalentemente: T ( t  ) X ⊂ D ( A ) para todo t  ≥  t ₀ ) y T es inmediatamente diferenciable si T ( t  ) X  ⊂  D ( A ) para todo t  > 0 .

Todo semigrupo analítico es inmediatamente diferenciable.

Una caracterización equivalente en términos de problemas de Cauchy es la siguiente: el semigrupo fuertemente continuo generado por A es eventualmente diferenciable si y solo si existe un t ₁  ≥ 0 tal que para todo x  ∈  X la solución u del problema abstracto de Cauchy es diferenciable en ( t ₁ , ∞) . El semigrupo es inmediatamente diferenciable si t ₁ puede elegirse como cero.

Un semigrupo fuertemente continuo T se llama eventualmente compacto si existe un t ₀  > 0 tal que T ( t ₀ ) es un operador compacto (equivalentemente ^[9] si T ( t  ) es un operador compacto para todo t  ≥  t ₀ ). El semigrupo se llama inmediatamente compacto si T ( t  ) es un operador compacto para todo t  > 0.

Un semigrupo fuertemente continuo se denomina eventualmente continuo en norma si existe un t ₀  ≥ 0 tal que la función t  →  T ( t  ) es continua desde ( t ₀ , ∞) hasta L ( X ). El semigrupo se denomina inmediatamente continuo en norma si t ₀ puede elegirse como cero.

Nótese que para un semigrupo inmediatamente continuo en norma, la función t  →  T ( t  ) puede no ser continua en t  = 0 (eso haría que el semigrupo fuera uniformemente continuo).

Los semigrupos analíticos, los semigrupos (eventualmente) diferenciables y los semigrupos (eventualmente) compactos son todos eventualmente continuos en norma. ^[10]

El límite de crecimiento de un semigrupo T es la constante

${\displaystyle \omega _{0}=\inf _{t>0}{\frac {1}{t}}\log \|T(t)\|.}$

Se llama así porque este número es también el ínfimo de todos los números reales ω tales que existe una constante M (≥ 1) con

${\displaystyle \|T(t)\|\leq Me^{\omega t}}$

para todo t ≥ 0.

Los siguientes son equivalentes: ^[11]

1. Existen M , ω >0 tales que para todo t  ≥ 0: ${\displaystyle \|T(t)\|\leq M{\rm {e}}^{-\omega t},}$
2. El límite de crecimiento es negativo: ω ₀  < 0,
3. El semigrupo converge a cero en la topología del operador uniforme : ,${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)\|=0}$
4. Existe un t ₀  > 0 tal que ,${\displaystyle \|T(t_{0})\|<1}$
5. Existe un t ₁  > 0 tal que el radio espectral de T ( t ₁ ) es estrictamente menor que 1,
6. Existe un p  ∈ [1, ∞) tal que para todo x  ∈  X : ,${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty }$
7. Para todo p  ∈ [1, ∞) y todo x  ∈  X :${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\|T(t)x\|^{p}\,dt<\infty .}$

Un semigrupo que satisface estas condiciones equivalentes se denomina exponencialmente estable o uniformemente estable (cualquiera de las tres primeras afirmaciones anteriores se toma como definición en ciertas partes de la literatura). El hecho de que las condiciones L ^p sean equivalentes a la estabilidad exponencial se denomina teorema de Datko-Pazy .

En caso de que X sea un espacio de Hilbert existe otra condición que es equivalente a la estabilidad exponencial en términos del operador resolvente del generador: ^[12] todos los λ con parte real positiva pertenecen al conjunto resolvente de A y el operador resolvente está uniformemente acotado en el semiplano derecho, es decir ( λI  −  A ) ⁻¹ pertenece al espacio de Hardy . Esto se llama teorema de Gearhart-Pruss . ${\displaystyle H^{\infty }(\mathbb {C} _{+};L(X))}$

El límite espectral de un operador A es la constante

${\displaystyle s(A):=\sup\{{\rm {Re}}\,\lambda :\lambda \in \sigma (A)\}}$,

con la convención de que s ( A ) = −∞ si el espectro de A está vacío.

El límite de crecimiento de un semigrupo y el límite espectral de su generador están relacionados por ^[13] s ( A ) ≤ ω ₀ ( T  ). Hay ejemplos ^[14] donde s ( A ) <  ω ₀ ( T  ). Si s ( A ) =  ω ₀ ( T  ), entonces se dice que T satisface la condición de crecimiento determinada espectralmente . Eventualmente, los semigrupos norma-continuos satisfacen la condición de crecimiento determinada espectralmente. ^[15] Esto da otra caracterización equivalente de la estabilidad exponencial para estos semigrupos:

• Un semigrupo eventualmente normativo-continuo es exponencialmente estable si y sólo si s ( A ) < 0.

Nótese que los semigrupos eventualmente compactos, eventualmente diferenciables, analíticos y uniformemente continuos son eventualmente norma-continuos, de modo que la condición de crecimiento determinada espectralmente se cumple en particular para esos semigrupos.

Un semigrupo T fuertemente continuo se denomina fuertemente estable o asintóticamente estable si para todo x  ∈  X : . ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\|T(t)x\|=0}$

La estabilidad exponencial implica una fuerte estabilidad, pero lo inverso no suele ser cierto si X es de dimensión infinita (es cierto para X de dimensión finita).

La siguiente condición suficiente para una estabilidad fuerte se denomina teorema de Arendt-Batty-Lyubich-Phong : ^{[16] [17]} Supóngase que

1. T está acotado: existe un M  ≥ 1 tal que ,${\displaystyle \|T(t)\|\leq M}$
2. A no tiene espectro de puntos en el eje imaginario, y
3. El espectro de A situado en el eje imaginario es contable.

Entonces T es fuertemente estable.

Si X es reflexivo, entonces las condiciones se simplifican: si T está acotado, A no tiene valores propios en el eje imaginario y el espectro de A ubicado en el eje imaginario es contable, entonces T es fuertemente estable.

• Hille, E.; Phillips, RS (1975), Análisis funcional y semigrupos (edición revisada), American Mathematical Society, OCLC  615131618
• Curtain, RF ; Zwart, HJ (1995), Una introducción a la teoría de sistemas lineales de dimensión infinita , Springer Verlag, ISBN 978-1-07-160588-2
• Davies, EB (1980), Semigrupos de un parámetro , monografías LMS, Academic Press, ISBN 0-12-206280-9
• Engel, Klaus-Jochen; Nagel, Rainer (2000), Semigrupos de un parámetro para ecuaciones de evolución lineal , Springer
• Arendt, Wolfgang; Loco, Charles; Hieber, Matías; Neubrander, Frank (2001), Transformadas de Laplace valoradas por vectores y problemas de Cauchy , Birkhauser
• Staffans, Olof (2005), Sistemas lineales bien planteados , Cambridge University Press
• Luo, Zheng-Hua; Guo, Bao-Zhu; Morgul, Omer (1999), Estabilidad y estabilización de sistemas de dimensión infinita con aplicaciones , Springer
• Partington, Jonathan R. (2004), Operadores lineales y sistemas lineales , Textos para estudiantes de la London Mathematical Society , Cambridge University Press , ISBN 0-521-54619-2