Cálculo funcional

En matemáticas , el cálculo funcional es una teoría que permite aplicar funciones matemáticas a operadores matemáticos . ^{[ 1 ]} Actualmente, constituye una rama (más precisamente, varias áreas relacionadas) del campo del análisis funcional , vinculado a la teoría espectral . Históricamente, el término era sinónimo de cálculo de variaciones ; este último sigue utilizándose ampliamente en textos de física e ingeniería, mientras que el cálculo funcional profundiza en el tema con formulaciones más rigurosas, formales, abstractas y precisas desde el punto de vista matemático. El uso anterior aún se observa en la derivada funcional , a menudo denominada derivada variacional.

Existen varios usos no relacionados del término "cálculo funcional": a veces se aplica a tipos de ecuaciones funcionales y otras veces a sistemas de lógica en el cálculo de predicados .

Algunas de las áreas de las matemáticas que se engloban bajo el término "cálculo funcional" incluyen:

• El cálculo operacional es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales mediante su conversión en ecuaciones polinómicas . La idea central consiste en considerar la integración y la diferenciación como operadores independientes; de este modo, las ecuaciones diferenciales adquieren la forma algebraica de los polinomios en estos operadores.
• El cálculo funcional holomorfo intenta extender las técnicas comúnmente utilizadas para estudiar funciones holomorfas.${\displaystyle f(z)}$a expresiones${\displaystyle f(T)}$dónde${\displaystyle T}$es un operador matricial o lineal . Esto incluye el caso especial donde${\displaystyle f(z)}$es un polinomio, lo que lleva al "cálculo funcional polinomial".
• Cálculo funcional continuo , que considera la aplicación de funciones continuas.${\displaystyle f(x)}$a los elementos normales de un C*-álgebra . La capacidad de hacer esto es la característica distintiva principal que distingue a las C*-álgebras como un subconjunto de las álgebras de Banach , que solo admiten el cálculo funcional holomorfo. Las C*-álgebras se desarrollaron originalmente para explorar y formalizar las ecuaciones de operadores que se estaban desarrollando para la mecánica cuántica , específicamente para la mecánica de matrices . Las características definitorias de la mecánica cuántica incluían la idea de que los operadores actuaban en espacios de Hilbert , que hay una norma que expresa el valor esperado de un operador, y que la conjugación compleja es una involución , que expresa el adjunto de un operador , formando así un *-álgebra .
• El cálculo funcional de Borel , que generaliza el cálculo funcional continuo al considerar cualquier función de Borel aplicada a un operador de un álgebra conmutativa . Por ejemplo, el cálculo funcional de Borel puede definir rigurosamente la "raíz cuadrada" del operador laplaciano (negativo).${\displaystyle -\Delta }$o la exponencial${\displaystyle e^{it\Delta }.}$

Las técnicas desarrolladas para el cálculo de variaciones proporcionan la motivación para el desarrollo general del cálculo funcional. Por ejemplo, si${\displaystyle f(x)}$es un polinomio en${\displaystyle x}$, y${\displaystyle T}$es una matriz o un operador lineal , uno podría considerar la expresión${\displaystyle f(T)}$Para dar este significado preciso, hay que abordar cuestiones de convergencia , compacidad , acotación y continuidad .

En el caso de dimensión finita, el cálculo funcional polinomial proporciona bastante información sobre el operador. Por ejemplo, consideremos la familia de polinomios que anula un operador.${\displaystyle T}$Esta familia es un ideal en el anillo de polinomios. Además, es un ideal no trivial: sea${\displaystyle N}$Sea la dimensión finita del álgebra de matrices, entonces${\displaystyle \{I,T,T^{2},\ldots ,T^{N}\}}$es linealmente dependiente. Por lo tanto,${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}T^{i}=0}$para algunos escalares${\displaystyle \alpha _{i}}$, no todos iguales a 0. Esto implica que el polinomio${\displaystyle \sum _{i=0}^{N}\alpha _{i}x^{i}}$se encuentra en el ideal. Dado que el anillo de polinomios es un dominio ideal principal , este ideal es generado por algún polinomio.${\displaystyle m}$Multiplicando por una unidad si es necesario, podemos elegir${\displaystyle m}$ser mónico. Cuando esto se hace, el polinomio${\displaystyle m}$es precisamente el polinomio mínimo de${\displaystyle T}$Este polinomio proporciona información profunda sobre${\displaystyle T}$. Por ejemplo, un escalar${\displaystyle \alpha }$es un valor propio de${\displaystyle T}$si y solo si${\displaystyle \alpha }$es una raíz de${\displaystyle m}$Además, a veces${\displaystyle m}$se puede utilizar para calcular la exponencial de${\displaystyle T}$eficientemente.

El cálculo polinomial no resulta tan informativo en el caso de dimensión infinita. Consideremos el desplazamiento unilateral con el cálculo polinomial; el ideal definido anteriormente es ahora trivial. Por lo tanto, interesan los cálculos funcionales más generales que los polinomiales. El tema está estrechamente vinculado a la teoría espectral , ya que para una matriz diagonal o un operador de multiplicación , las definiciones son bastante claras.

• Integral directa : generalización del concepto de suma directa en matemáticas. 

• "Cálculo funcional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

• Contenido multimedia relacionado con el cálculo funcional en Wikimedia Commons.