Teorema del punto fijo de Banach

En matemáticas , el teorema del punto fijo de Banach (también conocido como teorema de la aplicación contractiva o teorema de Banach-Caccioppoli ) es una herramienta importante en la teoría de espacios métricos ; garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas autoaplicaciones de espacios métricos y proporciona un método constructivo para encontrar esos puntos fijos. Puede entenderse como una formulación abstracta del método de aproximaciones sucesivas de Picard . ^{[ 1 ]} El teorema lleva el nombre de Stefan Banach (1892-1945), quien lo enunció por primera vez en 1922. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Definición. Deje${\displaystyle (X,d)}$ser un espacio métrico con métrica${\displaystyle d(x,y)}$Luego un mapa${\displaystyle T:X\to X}$se denomina mapeo de contracción en${\displaystyle X}$si existe una constante no negativa${\displaystyle q<1}$de tal manera que

${\displaystyle d(T(x),T(y))\leq q\,d(x,y)}$

a pesar de${\displaystyle x,y\in X.}$

Teorema del punto fijo de Banach. Sea${\displaystyle (X,d)}$ser un espacio métrico completo no vacío con una aplicación de contracción${\displaystyle T:X\to X.}$Entonces${\displaystyle T}$admite un punto fijo único${\displaystyle x^{*}\in X}$, significado${\displaystyle T(x^{*})=x^{*}}$. Además,${\displaystyle x^{*}}$se puede encontrar de la siguiente manera: comience con un elemento arbitrario${\displaystyle x_{0}\in X}$y definir${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$para${\displaystyle n\geq 1.}$Entonces${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x^{*}}$.

Observación 1. Las siguientes desigualdades son equivalentes y describen la velocidad de convergencia :

$${\displaystyle {\begin{aligned}d(x^{*},x_{n})&\leq q^{n}d(x^{*},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n})&\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n}),\\[5pt]d(x^{*},x_{n+1})&\leq q\,d(x^{*},x_{n}).\end{aligned}}}$$

El valor${\displaystyle q}$se denomina constante de Lipschitz para${\displaystyle T}$y un mínimo de tales${\displaystyle q}$a veces se la llama "la mejor constante de Lipschitz" de${\displaystyle T}$.

Observación 2. La condición${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$a pesar de${\displaystyle x\neq y}$En general, no es suficiente para garantizar la existencia de un punto fijo, como lo muestra el mapa. $${\displaystyle T:[1,\infty )\to [1,\infty ),\,\,T(x)=x+{\tfrac {1}{x}}\,,}$$ que carece de un punto fijo. Sin embargo, si${\displaystyle X}$es compacto , entonces esta condición más débil implica la existencia y unicidad de un punto fijo que se puede encontrar fácilmente como un minimizador de${\displaystyle d(x,T(x))}$: en efecto, un minimizador existe por compacidad y debe ser un punto fijo. Entonces se deduce fácilmente que el punto fijo es el límite de cualquier secuencia de iteraciones de${\displaystyle T}$.

Observación 3. Al utilizar el teorema en la práctica, la parte más difícil suele ser definir${\displaystyle X}$correctamente para que${\displaystyle T(X)\subseteq X}$.

Dejar${\displaystyle x_{0}\in X}$ser arbitrario y definir una secuencia${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$al establecer${\displaystyle x_{n}=T(x_{n-1})}$. Primero observamos que para todos${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$tenemos la desigualdad

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0}).}$

Esto se deduce por inducción sobre${\displaystyle n}$, utilizando el hecho de que${\displaystyle T}$es una aplicación de contracción. Entonces podemos demostrar que${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una sucesión de Cauchy . En particular, sea${\displaystyle m,n\in \mathbb {N} }$de tal manera que${\displaystyle m>n}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(x_{m},x_{n})&\leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})\\[5pt]&\leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{mn-1}q^{k}\\[5pt]&\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}\\[5pt]&=q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right).\end{aligned}}}$

Dejar${\displaystyle \varepsilon >0}$ser arbitrario. Dado que${\displaystyle q\in [0,1)}$, podemos encontrar una gran${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$de modo que

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}.}$

Por lo tanto, al elegir${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$más que${\displaystyle N}$podemos escribir:

${\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)<\left({\frac {\varepsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\right)d(x_{1},x_{0})\left({\frac {1}{1-q}}\right)=\varepsilon .}$

Esto demuestra que la secuencia${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es Cauchy. Por completitud de${\displaystyle (X,d)}$La secuencia tiene un límite.${\displaystyle x^{*}\in X.}$Además,${\displaystyle x^{*}}$debe ser un punto fijo de${\displaystyle T}$:

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }T(x_{n-1})=T\left(\lim _{n\to \infty }x_{n-1}\right)=T(x^{*}).}$

Como un mapeo de contracción,${\displaystyle T}$es continuo, por lo que llevar el límite adentro${\displaystyle T}$estaba justificado. Por último,${\displaystyle T}$no puede tener más de un punto fijo en${\displaystyle (X,d)}$, ya que cualquier par de puntos fijos distintos${\displaystyle p_{1}}$y${\displaystyle p_{2}}$contradiría la contracción de${\displaystyle T}$:

$${\displaystyle d(p_{1},p_{2})=d(T(p_{1}),T(p_{2}))\leq qd(p_{1},p_{2})<d(p_{1},p_{2}),}$$

donde la igualdad se debe a${\displaystyle p_{1},p_{2}}$siendo puntos fijos de${\displaystyle T}$, la primera desigualdad se debe a${\displaystyle T}$siendo una aplicación de contracción, y la última desigualdad se debe a${\displaystyle q<1}$y${\displaystyle d(p_{1},p_{2})>0}$como${\displaystyle p_{1}\neq p_{2}}$.

• Una aplicación estándar es la demostración del teorema de Picard-Lindelöf sobre la existencia y unicidad de soluciones para ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias . La solución buscada de la ecuación diferencial se expresa como un punto fijo de un operador integral adecuado en el espacio de funciones continuas bajo la norma uniforme . El teorema del punto fijo de Banach se utiliza entonces para demostrar que este operador integral tiene un único punto fijo.
• Una consecuencia del teorema del punto fijo de Banach es que las pequeñas perturbaciones de Lipschitz de la identidad son homeomorfismos bilipschitz . Sea${\displaystyle \Omega }$ser un conjunto abierto de un espacio Banach${\displaystyle E}$; dejar${\displaystyle I:\Omega \rightarrow E}$denotemos la aplicación identidad (de inclusión) y sea${\displaystyle g:\Omega \rightarrow E}$ser un mapa de Lipschitz de constante${\displaystyle k<1}$. Entonces

1. ${\displaystyle \Omega ':=(I+g)\Omega }$es un subconjunto abierto de${\displaystyle E}$: precisamente, para cualquier${\displaystyle x}$en${\displaystyle \Omega }$de tal manera que${\displaystyle B(x,r)\subset \Omega }$uno tiene${\displaystyle B((I+g)(x),r(1-k))\subset \Omega '}$;
2. ${\displaystyle I+g:\Omega \rightarrow \Omega '}$es un homeomorfismo bi-Lipschitz;

precisamente,${\displaystyle (I+g)^{-1}}$sigue siendo de la forma${\displaystyle I+h:\Omega \rightarrow \Omega '}$con${\displaystyle h}$un mapa de Lipschitz de constante${\displaystyle k/(1-k)}$Una consecuencia directa de este resultado proporciona la demostración del teorema de la función inversa .

• Puede utilizarse para establecer condiciones suficientes bajo las cuales se garantiza el funcionamiento del método de aproximaciones sucesivas de Newton, y de forma similar para el método de tercer orden de Chebyshev.
• Puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de soluciones a ecuaciones integrales.
• Puede utilizarse para dar una demostración del teorema de incrustación de Nash . ^{[ 4 ]}
• Puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de soluciones para la iteración de valor, la iteración de políticas y la evaluación de políticas del aprendizaje por refuerzo . ^{[ 5 ]}
• Puede utilizarse para demostrar la existencia y unicidad de un equilibrio en la competencia de Cournot , ^{[ 6 ]} y otros modelos económicos dinámicos. ^{[ 7 ]}
• Si X es un espacio vectorial, un método alternativo para aproximar iterativamente el punto fijo es aplicar el método de Newton para resolver${\displaystyle f(x)-x=0}$.
• Un ejemplo práctico del teorema es la siguiente demostración, que a menudo se comprende con pocos conocimientos matemáticos formales. Imaginemos que una persona sostiene una hoja de papel con un mapa de la ciudad en la que se encuentra (o un mapa de su país, o el plano del edificio, etc.). A continuación, coloca el mapa en el suelo. Esto puede considerarse una función continua de la ciudad en sí misma y es claramente una contracción. Por lo tanto, existe un único punto en el mapa que se encuentra directamente encima del punto que representa. La precisión del mapa y del método de proyección no importa, siempre que el mapa esté completo y todos los puntos representados se acerquen entre sí en la proyección. Además, si la persona arruga el mapa y lo extiende sobre el suelo, siempre que el papel no se rompa, seguirá siendo una contracción y se llegará a la misma conclusión.

Existen varias recíprocas del principio de contracción de Banach. La siguiente se debe a Czesław Bessaga , de 1959:

Dejar${\displaystyle f:X\rightarrow X}$sea ​​un mapa de un conjunto abstracto tal que cada iteración${\displaystyle f^{n}}$tiene un único punto fijo.${\displaystyle q\in (0,1)}$, entonces existe una métrica completa sobre${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle f}$es contractiva y${\displaystyle q}$es la constante de contracción.

De hecho, bastan supuestos muy débiles para obtener tal tipo de recíproco. Por ejemplo, si${\displaystyle f:X\to X}$es una aplicación en un espacio topológico T ₁ con un único punto fijo.${\displaystyle a}$, de tal manera que para cada${\displaystyle x\in X}$tenemos${\displaystyle f^{n}(x)\rightarrow a}$, entonces ya existe una métrica sobre${\displaystyle X}$con respecto a qué${\displaystyle f}$satisface las condiciones del principio de contracción de Banach con constante de contracción${\displaystyle 1/2}$. ^{[ 8 ]} En este caso, la métrica es de hecho una ultramétrica .

Hay varias generalizaciones (algunas de las cuales son corolarios inmediatos ). ^{[ 9 ]}

Dejar${\displaystyle T:X\rightarrow X}$Sea una aplicación en un espacio métrico completo no vacío. Entonces, por ejemplo, algunas generalizaciones del teorema del punto fijo de Banach son:

• Supongamos que alguna iteración${\displaystyle T^{n}}$de${\displaystyle T}$es una contracción. Entonces${\displaystyle T}$tiene un punto fijo único.
• Supongamos que para cada${\displaystyle n}$, existen${\displaystyle c_{n}}$de tal manera que${\displaystyle d(T^{n}(x),T^{n}(y))\leq c_{n}d(x,y)}$a pesar de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$y que

${\displaystyle \sum \nolimits _{n}c_{n}<\infty .}$

Entonces${\displaystyle T}$tiene un punto fijo único.

En las aplicaciones, la existencia y unicidad de un punto fijo a menudo se puede demostrar directamente con el teorema estándar del punto fijo de Banach, mediante una elección adecuada de la métrica que hace que la aplicación${\displaystyle T}$una contracción. De hecho, el resultado anterior de Bessaga sugiere fuertemente buscar dicha métrica. Véase también el artículo sobre teoremas de punto fijo en espacios de dimensión infinita para generalizaciones.

En un espacio métrico compacto no vacío , cualquier función${\displaystyle T}$satisfactorio${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$para todos los distintos${\displaystyle x,y}$, tiene un único punto fijo. La demostración es más sencilla que el teorema de Banach, porque la función${\displaystyle d(T(x),x)}$es continua y, por lo tanto, asume un mínimo, que se demuestra fácilmente que es cero.

Una clase diferente de generalizaciones surge de generalizaciones adecuadas de la noción de espacio métrico , por ejemplo, debilitando los axiomas definitorios para la noción de métrica. ^{[ 10 ]} Algunas de estas tienen aplicaciones, por ejemplo, en la teoría de la semántica de la programación en la informática teórica. ^{[ 11 ]}

Se puede utilizar una aplicación del teorema del punto fijo de Banach y la iteración del punto fijo para obtener rápidamente una aproximación de${\displaystyle \pi }$con alta precisión. Considere la función${\displaystyle f(x)=x+\sin(x)}$. Se puede verificar que${\displaystyle \pi }$es un punto fijo de${\displaystyle f}$y que${\displaystyle f}$mapas el intervalo${\displaystyle \left[{\frac {3\pi }{4}},{\frac {5\pi }{4}}\right]}$a sí mismo. Además,${\displaystyle f^{\prime }(x)=1+\cos(x)}$y se puede verificar que

${\displaystyle 0\leqslant 1+\cos(x)\leqslant 1-{\frac {1}{{\sqrt {2\,}}\,}}\approx 0.292893<1}$

en este intervalo. Por lo tanto, mediante una aplicación del teorema del valor medio ,${\displaystyle f}$tiene una constante de Lipschitz menor que${\displaystyle 1}$(a saber${\displaystyle 1-1/{\sqrt {2}}}$). Aplicando el teorema del punto fijo de Banach se muestra que el punto fijo${\displaystyle \pi }$es el único punto fijo en el intervalo, lo que permite utilizar la iteración de punto fijo.

Por ejemplo, el valor${\displaystyle 3}$puede elegirse para iniciar la iteración de punto fijo, como${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\leqslant 3\leqslant {\frac {5\pi }{4}}}$El teorema del punto fijo de Banach puede utilizarse para concluir que

${\displaystyle \pi =f\!{\bigg (}f\!{\Big (}f\!{\big (}\cdots f(3)\cdots {\big )}{\Big )}{\bigg )}={\big (}f\circ \cdots \circ f{\big )}(3).}$

Aplicar${\displaystyle f}$a${\displaystyle 3}$Solo tres veces ya produce una expansión de${\displaystyle \pi }$preciso hasta${\displaystyle 33}$dígitos:

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {id} (3)&=&f^{[0]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.}}0000000000000000000000000000000000\cdots \\f(3)&=&f^{[1]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.141}}1200080598672221007448028081103\cdots \\f{\big (}f(3){\big )}&=&f^{[2]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.1415926535}}721955587348885681408797\cdots \\f{\Big (}f{\big (}f(3){\big )}{\Big )}&=&f^{[3]}\!(3)&=&{\boldsymbol {3.14159265358979323846264338327950}}20\cdots \end{matrix}}}$

• Agarwal, Praveen; Jleli, Mohamed; Samet, Bessem (2018). «Principio de contracción de Banach y aplicaciones». Teoría del punto fijo en espacios métricos . Singapur: Springer. pp. 1–23 . doi : 10.1007/978-981-13-2913-5_1 . ISBN  978-981-13-2912-8.
• Chicone, Carmen (2006). «Contracción» . Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones (2.ª  ed.). Nueva York: Springer. pp. 121–135 . ISBN  0-387-30769-9.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00173-5.
• Istrăţescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Países Bajos: D. Reidel. ISBN 90-277-1224-7.Véase el capítulo 7.
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Nueva York: John Wiley. ISBN 0-471-41825-0.

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