Controlar el volumen

En mecánica de medios continuos y termodinámica , un volumen de control ( VC ) es una abstracción matemática empleada en la creación de modelos matemáticos de procesos físicos. En un sistema de referencia inercial , es una región ficticia de un volumen determinado , fija en el espacio o que se mueve con velocidad de flujo constante , a través de la cual fluye el continuo (un medio continuo como un gas , un líquido o un sólido ). La superficie cerrada que encierra la región se denomina superficie de control . ^{[ 1 ]}

En estado estacionario , un volumen de control puede considerarse un volumen arbitrario en el que la masa del continuo permanece constante. A medida que el continuo se desplaza a través del volumen de control, la masa que entra en él es igual a la que sale. En estado estacionario , y en ausencia de trabajo y transferencia de calor , la energía dentro del volumen de control permanece constante. Esto es análogo al concepto de diagrama de cuerpo libre de la mecánica clásica .

Por lo general, para comprender cómo se aplica una ley física determinada al sistema en cuestión, se comienza por considerar su aplicación a un pequeño volumen de control, o "volumen representativo". Un volumen de control no tiene nada de especial; simplemente representa una pequeña parte del sistema a la que se pueden aplicar fácilmente las leyes físicas. Esto da lugar a lo que se denomina una formulación volumétrica del modelo matemático.

Se puede argumentar entonces que, dado que las leyes físicas se comportan de cierta manera en un volumen de control específico, se comportan igual en todos los volúmenes similares, puesto que ese volumen de control en particular no presenta ninguna particularidad. De este modo, se puede desarrollar la formulación puntual correspondiente del modelo matemático para que describa el comportamiento físico de un sistema completo (y posiblemente más complejo).

En mecánica de medios continuos , las ecuaciones de conservación (por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes ) están en forma integral. Por lo tanto, se aplican a volúmenes. Encontrar formas de la ecuación que sean independientes de los volúmenes de control permite simplificar los signos integrales. Los volúmenes de control pueden ser estacionarios o moverse con una velocidad arbitraria. ^{[ 2 ]}

Los cálculos en mecánica de medios continuos a menudo requieren que el operador de derivación temporal regular${\displaystyle d/dt\;}$ es reemplazado por el operador de derivada sustantiva${\displaystyle D/Dt}$Esto puede verse de la siguiente manera.

Consideremos un insecto que se mueve a través de un volumen donde existe una magnitud escalar , por ejemplo la presión , que varía con el tiempo y la posición: ${\displaystyle p=p(t,x,y,z)\;}$.

Si el error durante el intervalo de tiempo desde ${\displaystyle t\;}$ a ${\displaystyle t+dt\;}$ movimientos de ${\displaystyle (x,y,z)\;}$ a ${\displaystyle (x+dx,y+dy,z+dz),\;}$ entonces el error experimenta un cambio${\displaystyle dp\;}$en el valor escalar,

${\displaystyle dp={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy+{\frac {\partial p}{\partial z}}dz}$

(el diferencial total ). Si el insecto se mueve con una velocidad${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z}),}$ el cambio en la posición de la partícula es ${\displaystyle \mathbf {v} dt=(v_{x}dt,v_{y}dt,v_{z}dt),}$ y podemos escribir

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}dp&={\frac {\partial p}{\partial t}}dt+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}dt+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}dt+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+{\frac {\partial p}{\partial x}}v_{x}+{\frac {\partial p}{\partial y}}v_{y}+{\frac {\partial p}{\partial z}}v_{z}\right)dt\\&=\left({\frac {\partial p}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla p\right)dt.\\\end{alignedat}}}$

dónde${\displaystyle \nabla p}$es el gradiente del campo escalar p . Entonces:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla .}$

Si el insecto simplemente se mueve con el flujo, se aplica la misma fórmula, pero ahora el vector de velocidad, v , es el del flujo , u . La última expresión entre paréntesis es la derivada sustantiva de la presión escalar. Dado que la presión p en este cálculo es un campo escalar arbitrario, podemos abstraerlo y escribir el operador de derivada sustantiva como

${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$

• Mecánica del continuo
• ecuación de momento de Cauchy
• relatividad especial
• Derivado sustantivo

• James R. Welty, Charles E. Wicks, Robert E. Wilson y Gregory Rorrer Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa ISBN 0-471-38149-7