Derivado del material

En mecánica de medios continuos , la derivada material ^{[ 1 ] [ 2 ]} describe la tasa de cambio temporal de alguna magnitud física (como el calor o el momento ) de un elemento material sometido a un campo de velocidad macroscópico dependiente del espacio y el tiempo . La derivada material puede servir como vínculo entre las descripciones euleriana y lagrangiana de la deformación de medios continuos . ^{[ 3 ]}

Por ejemplo, en dinámica de fluidos , el campo de velocidad es la velocidad de flujo , y la magnitud de interés podría ser la temperatura del fluido. En este caso, la derivada material describe el cambio de temperatura de una determinada porción de fluido a lo largo del tiempo, mientras fluye siguiendo su trayectoria .

Existen muchos otros nombres para el derivado del material, entre ellos:

• derivada advectiva ^{[ 4 ]}
• derivada convectiva ^{[ 5 ]}
• derivada siguiendo el movimiento ^{[ 1 ]}
• derivada hidrodinámica ^{[ 1 ]}
• Derivada lagrangiana ^{[ 6 ]}
• derivada de partícula ^{[ 7 ]}
• derivado sustancial ^{[ 1 ]}
• derivado sustantivo ^{[ 8 ]}
• Derivada de Stokes ^{[ 8 ]}
• derivada total , ^{[ 1 ] [ 9 ]} aunque la derivada material es en realidad un caso especial de la derivada total ^{[ 9 ]}

La derivada material se define para cualquier campo tensorial.${\displaystyle y}$es decir , macroscópico , en el sentido de que depende únicamente de las coordenadas de posición y tiempo,${\displaystyle y=y(x,t)}$: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}$$ dónde${\displaystyle \nabla y}$es la derivada covariante del tensor, y${\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}$es la velocidad del flujo . Generalmente la derivada convectiva del campo${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla y}$, la que contiene la derivada covariante del campo, puede interpretarse como involucrando la derivada tensorial de la línea de corriente del campo.${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla y}$, o como involucrando la derivada direccional de la línea de corriente del campo${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\ y}$, lo que lleva al mismo resultado. ^{[ 10 ]} Solo este término espacial que contiene la velocidad del flujo describe el transporte del campo en el flujo, mientras que el otro describe la variación intrínseca del campo, independientemente de la presencia de cualquier flujo. De manera confusa, a veces se utiliza el nombre "derivada convectiva" para referirse a toda la derivada material.${\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t}$, en cambio, solo para el término espacial${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla }$. ^{[ 2 ]} El efecto de los términos independientes del tiempo en las definiciones se conoce respectivamente como advección y convección para el caso escalar y tensorial.

Consideremos una magnitud escalar φ ( x , t ) , donde t es el tiempo y x es la posición. Aquí φ puede ser alguna variable física como la temperatura o la concentración química. La magnitud física, cuya magnitud escalar es φ , existe en un continuo, y su velocidad macroscópica está representada por el campo vectorial u ( x , t ) .

La derivada (total) con respecto al tiempo de φ se expande utilizando la regla de la cadena multivariada : $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} (t),t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$$

Es evidente que esta derivada depende del vector. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$$ que describe una trayectoria elegida x ( t ) en el espacio. Por ejemplo, si${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$Se elige, la derivada temporal se vuelve igual a la derivada parcial temporal, lo que concuerda con la definición de una derivada parcial : una derivada tomada con respecto a alguna variable (el tiempo en este caso) manteniendo constantes otras variables (el espacio en este caso). Esto tiene sentido porque si${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$Luego, se calcula la derivada en una posición constante . Esta derivada en posición estática se denomina derivada euleriana.

Un ejemplo de este caso es un nadador que permanece inmóvil y percibe un cambio de temperatura en un lago temprano en la mañana: el agua se calienta gradualmente debido al calentamiento del sol. En cuyo caso el término${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}$es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura.

Si el sol no calienta el agua (es decir,${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}$), pero la trayectoria x ( t ) no es estática, la derivada temporal de φ puede cambiar debido a la trayectoria. Por ejemplo, imaginemos que un nadador está en una piscina de agua inmóvil, en un espacio interior y sin que le afecte el sol. Un extremo tiene una temperatura alta constante y el otro extremo una temperatura baja constante. Al nadar de un extremo al otro, el nadador percibe un cambio de temperatura con respecto al tiempo, aunque la temperatura en cualquier punto (estático) dado sea constante. Esto se debe a que la derivada se toma en la ubicación cambiante del nadador y el segundo término a la derecha${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$Es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. Un sensor de temperatura conectado al nadador mostraría que la temperatura varía con el tiempo, simplemente debido a la variación de temperatura de un extremo a otro de la piscina.

La derivada material se obtiene finalmente cuando se elige que la trayectoria x ( t ) tenga una velocidad igual a la velocidad del fluido. $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$$

Es decir, la trayectoria sigue la corriente del fluido descrita por el campo de velocidad del fluido u . Por lo tanto, la derivada material del escalar φ es $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$$

Un ejemplo de este caso es una partícula ligera y de flotabilidad neutra que es arrastrada por un río y experimenta cambios de temperatura durante su recorrido. La temperatura del agua en una zona puede aumentar debido a que una parte del río recibe sol y otra se encuentra en sombra, o bien el agua en su conjunto puede calentarse a medida que avanza el día. Los cambios debidos al movimiento de la partícula (causado a su vez por el movimiento del fluido) se denominan advección (o convección si se transporta un vector).

La definición anterior se basaba en la naturaleza física de una corriente de fluido; sin embargo, no se recurría a ninguna ley de la física (por ejemplo, se asumía que una partícula ligera en un río seguiría la velocidad del agua), pero resulta que muchos conceptos físicos pueden describirse concisamente mediante la derivada material. El caso general de advección, sin embargo, se basa en la conservación de la masa de la corriente de fluido; la situación cambia ligeramente si la advección se produce en un medio no conservativo.

Para el escalar anterior, solo se consideró una trayectoria. Para un vector, el gradiente se convierte en una derivada tensorial ; para campos tensoriales , podemos querer tener en cuenta no solo la traslación del sistema de coordenadas debido al movimiento del fluido, sino también su rotación y estiramiento. Esto se logra mediante la derivada temporal convectiva superior .

Se puede demostrar que, en coordenadas ortogonales , la j -ésima componente del término de convección de la derivada material de un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {A} }$está dado por ^{[ 11 ]}$${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$$

donde los h _i están relacionados con los tensores métricos por${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$

En el caso especial de un sistema de coordenadas cartesianas tridimensional ( x , y , z ), y siendo A un 1-tensor (un vector con tres componentes), esto es simplemente: $${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }$$

dónde${\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}$es una matriz jacobiana .

También existe una identidad vector-punto-del para el caso${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {A} }$, para el cual la derivada material para un campo vectorial${\displaystyle \mathbf {A} }$se puede expresar como:

${\displaystyle {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }.}$

• Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K (2008). Mecánica de fluidos (4.ª  ed.). Academic Press . ISBN 978-0-12-373735-9.
• Lai, Michael; Krempl, Erhard; Ruben, David (2010). Introducción a la mecánica de medios continuos (4.ª  ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-8560-3.