Gramiano de controlabilidad

En la teoría de control , es posible que necesitemos averiguar si un sistema como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{aligned}}}$$ es controlable , donde${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$son, respectivamente,${\displaystyle n\times n}$,${\displaystyle n\times p}$,${\displaystyle q\times n}$y${\displaystyle q\times p}$matrices para un sistema con${\displaystyle p}$entradas,${\displaystyle n}$variables de estado y variables de estado y${\displaystyle q}$resultados.

Una de las muchas maneras en que se puede lograr tal objetivo es mediante el uso del Gramiano de Controlabilidad .

Los sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI) son aquellos sistemas en los que los parámetros${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {D}}}$son invariantes con respecto al tiempo.

Se puede observar si el sistema LTI es o no controlable simplemente mirando el par${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$Entonces, podemos decir que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. La pareja${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$es controlable.
2. El${\displaystyle n\times n}$matriz$${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau =\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}(t-\tau )}{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}(t-\tau )}d\tau }$$es no singular para cualquier${\displaystyle t>0}$.
3. El${\displaystyle n\times np}$matriz de controlabilidad$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {B}}&{\boldsymbol {AB}}&{\boldsymbol {A}}^{2}{\boldsymbol {B}}&\cdots &{\boldsymbol {A}}^{n-1}{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}}$$tiene rango n.
4. El${\displaystyle n\times (n+p)}$matriz$${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {A}}-\lambda {\boldsymbol {I}}&{\boldsymbol {B}}\end{bmatrix}}}$$tiene rango de fila completo en cada valor propio${\displaystyle \lambda }$de${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

Si, además, todos los valores propios de${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$tienen partes reales negativas (${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$es estable), y la solución única de la ecuación de Lyapunov$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$ Si es definida positiva, el sistema es controlable. La solución se llama Gramiano de Controlabilidad y se puede expresar como $${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$$

En la siguiente sección vamos a examinar más de cerca el Gramiano de Controlabilidad.

El Gramiano de controlabilidad se puede encontrar como la solución de la ecuación de Lyapunov dada por $${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}=-{\boldsymbol {BB}}^{T}}$$

De hecho, podemos ver que si tomamos $${\displaystyle {\boldsymbol {W_{c}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau }$$ Como solución, vamos a encontrar que: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{c}+{\boldsymbol {W}}_{c}{\boldsymbol {A}}^{T}&=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }d\tau +\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {BB^{T}}}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {A}}^{T}d\tau \\[1ex]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}\left(e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }\right)d\tau \\[1ex]&=\left.e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {B}}^{T}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}t}\right|_{t=0}^{\infty }\\[1ex]&={\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {BB}}^{T}\\[1ex]&={\boldsymbol {-BB}}^{T}\end{aligned}}}$$

Donde utilizamos el hecho de que${\displaystyle e^{{\boldsymbol {A}}t}=0}$en${\displaystyle t=\infty }$para estable${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$(todos sus autovalores tienen parte real negativa). Esto nos muestra que${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}}$es, en efecto, la solución para la ecuación de Lyapunov que se está analizando.

Para sistemas de tiempo discreto como $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {x}}[k+1]&={\boldsymbol {Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]&={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{aligned}}}$$

Se puede comprobar que existen equivalencias para la afirmación “El par${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$es controlable” (las equivalencias son muy parecidas para el caso de tiempo continuo).

Nos interesa la equivalencia que afirma que, si “El par${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$es controlable” y todos los valores propios de${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$tienen una magnitud menor que${\displaystyle 1}$(${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$es estable), entonces la solución única de $${\displaystyle W_{dc}-{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {W}}_{dc}{\boldsymbol {A}}^{T}={\boldsymbol {BB}}^{T}}$$ es definido positivo y dado por $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}=\sum _{m=0}^{\infty }{\boldsymbol {A}}^{m}{\boldsymbol {BB}}^{T}\left({\boldsymbol {A}}^{T}\right)^{m}}$$

Eso se llama Gramiano de Controlabilidad Discreta. Podemos ver fácilmente la correspondencia entre el caso de tiempo discreto y el de tiempo continuo, es decir, si podemos comprobar que${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{dc}}$es definida positiva y todos los valores propios de${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$tienen una magnitud menor que${\displaystyle 1}$, el sistema${\displaystyle ({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})}$es controlable. Se pueden encontrar más propiedades y demostraciones en Chen (1999 , p. 169 ) . 

Los sistemas lineales variantes en el tiempo (LTV) son aquellos que tienen la siguiente forma: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t)&={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)&={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{aligned}}}$$

Es decir, las matrices${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$y${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$tienen entradas que varían con el tiempo. Nuevamente, al igual que en el caso de tiempo continuo y en el caso de tiempo discreto, uno puede estar interesado en descubrir si el sistema dado por el par${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$es controlable o no. Esto se puede hacer de una manera muy similar a los casos anteriores.

El sistema${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {B}}(t))}$es controlable en el momento${\displaystyle t_{0}}$si y solo si existe un número finito${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$de tal manera que el${\displaystyle n\times n}$matriz, también llamada Gramiana de Controlabilidad, dada por $${\displaystyle {\boldsymbol {W}}_{c}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {B}}(\tau ){\boldsymbol {B}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t_{1},\tau )d\tau ,}$$ dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )}$es la matriz de transición de estado de${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}}$, no es singular.

Nuevamente, tenemos un método similar para determinar si un sistema es o no un sistema controlable.

• Controlabilidad
• Observabilidad Gramiano
• Matriz de Gram
• Control mínimo de energía
• valor singular de Hankel

• Chen, Chi-Tsong (1999). Teoría y diseño de sistemas lineales. Tercera edición . Nueva York, Nueva York: Oxford University Press. ISBN 0-19-511777-8.

• Función de Mathematica para calcular el Gramiano de controlabilidad