Control mínimo de energía

En la teoría de control , el control de energía mínima es el control${\displaystyle u(t)}$que llevará un sistema lineal invariante en el tiempo a un estado deseado con un gasto mínimo de energía. ^{[ 1 ]}

Sea el sistema lineal invariante en el tiempo (LTI)

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

con estado inicial${\displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$Uno busca una entrada${\displaystyle u(t)}$para que el sistema esté en el estado${\displaystyle x_{1}}$en ese momento${\displaystyle t_{1}}$y para cualquier otra entrada${\displaystyle {\bar {u}}(t)}$, que también impulsa el sistema desde${\displaystyle x_{0}}$a${\displaystyle x_{1}}$en ese momento${\displaystyle t_{1}}$, el gasto energético sería mayor, es decir,

${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\bar {u}}^{*}(t){\bar {u}}(t)dt\ \geq \ \int _{t_{0}}^{t_{1}}u^{*}(t)u(t)dt.}$

Para elegir esta entrada, primero calcule el Gramiano de controlabilidad.

${\displaystyle W_{c}(t)=\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}BB^{*}e^{A^{*}(t-\tau )}d\tau .}$

Arrogante ${\displaystyle W_{c}}$es no singular (si y solo si el sistema es controlable), el control de energía mínima es entonces

${\displaystyle u(t)=-B^{*}e^{A^{*}(t_{1}-t)}W_{c}^{-1}(t_{1})[e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}-x_{1}].}$

Sustitución en la solución

${\displaystyle x(t)=e^{A(t-t_{0})}x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(t-\tau )}Bu(\tau )d\tau }$

verifica el logro del estado${\displaystyle x_{1}}$en${\displaystyle t_{1}}$.

• teoría de sistemas LTI
• Ingeniería de control
• Espacio de estados (controles)
• Cálculo variacional