Recíproco (lógica)

En lógica y matemáticas , la recíproca de una proposición categórica o implicativa es el resultado de invertir sus dos proposiciones constituyentes. Para la implicación P → Q , la recíproca es Q → P. Para la proposición categórica Todos los S son P , la recíproca es Todos los P son S. En cualquier caso, la verdad de la recíproca es generalmente independiente de la de la proposición original. ^{[ 1 ]}

Sea S una proposición de la forma P implica Q ( P → Q ). Entonces, la recíproca de S es la proposición Q implica P ( Q → P ). En general, la verdad de S no dice nada sobre la verdad de su recíproca, ^{[ 2 ]} a menos que el antecedente P y el consecuente Q sean lógicamente equivalentes.

Por ejemplo, consideremos la afirmación verdadera "Si soy humano, entonces soy mortal". La inversa de esa afirmación es "Si soy mortal, entonces soy humano", lo cual no es necesariamente cierto .

Sin embargo, la proposición recíproca con términos mutuamente inclusivos sigue siendo verdadera, dada la veracidad de la proposición original. Esto equivale a decir que la recíproca de una definición es verdadera. Por lo tanto, la afirmación "Si soy un triángulo, entonces soy un polígono de tres lados" es lógicamente equivalente a "Si soy un polígono de tres lados, entonces soy un triángulo", porque la definición de "triángulo" es "polígono de tres lados".

Una tabla de verdad deja claro que S y el recíproco de S no son lógicamente equivalentes, a menos que ambos términos se impliquen mutuamente:

Pasar de una proposición a su recíproca constituye la falacia de afirmar el consecuente . Sin embargo, si la proposición S y su recíproca son equivalentes (es decir, P es verdadera si y solo si Q también es verdadera), entonces afirmar el consecuente será válido.

La implicación inversa es lógicamente equivalente a la disyunción de${\displaystyle P}$y${\displaystyle \neg Q}$

En lenguaje natural, esto podría traducirse como "no Q sin P ".

Recíproco de una relación

Si${\displaystyle R}$es una relación binaria con${\displaystyle R\subseteq A\times B,}$entonces la relación inversa${\displaystyle R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}}$También se le llama transpuesta . ^{[ 4 ]}

La inversa de la implicación P → Q puede escribirse Q → P ,${\displaystyle P\leftarrow Q}$pero también puede anotarse${\displaystyle P\subset Q}$, o "B pq " (en notación Bocheński ).

En la lógica tradicional, el proceso de intercambiar el sujeto con el predicado se llama conversión . Por ejemplo, pasar de "No hay S que sean P" a su recíproco "No hay P que sean S" . En palabras de Asa Mahan :

"La proposición original se llama exposita; cuando se convierte, se denomina conversa. La conversión es válida cuando, y solo cuando, no se afirma nada en la conversa que no esté afirmado o implícito en la exposita." ^{[ 5 ]}

La "exposta" se denomina más comúnmente "convertend". En su forma simple, la conversión es válida solo para proposiciones E e I : ^{[ 6 ]}

La validez de la conversión simple solo para proposiciones E e I puede expresarse mediante la restricción de que "Ningún término debe distribuirse en el converso que no se distribuya en el convertido". ^{[ 7 ]} Para las proposiciones E , tanto el sujeto como el predicado se distribuyen , mientras que para las proposiciones I , ninguno lo está.

Para las proposiciones A , el sujeto es distribuido mientras que el predicado no lo es, por lo que la inferencia de una proposición A a su conversa no es válida. Por ejemplo, para la proposición A "Todos los gatos son mamíferos", la conversa "Todos los mamíferos son gatos" es obviamente falsa. Sin embargo, la proposición más débil "Algunos mamíferos son gatos" es verdadera. Los lógicos definen la conversión por accidente como el proceso de producir esta proposición más débil. La inferencia de una proposición a su conversa por accidente es generalmente válida. Sin embargo, al igual que con los silogismos , este cambio de lo universal a lo particular causa problemas con las categorías vacías: "Todos los unicornios son mamíferos" a menudo se toma como verdadera, mientras que la conversa por accidente "Algunos mamíferos son unicornios" es claramente falsa.

En el cálculo de predicados de primer orden , Todos los S son P se puede representar como${\displaystyle \forall xS(x)\to P(x)}$. ^{[ 8 ]} Por lo tanto, está claro que el recíproco categórico está estrechamente relacionado con el recíproco implicacional, y que S y P no se pueden intercambiar en Todos los S son P.

• Aristóteles
• Contraposición
• Inverso (lógica)
• Conector lógico
• Obversión
• Lógica de términos
• Transposición (lógica)

• Aristóteles . Organon .
• Copi, Irving . Introducción a la lógica . MacMillan, 1953.
• Copi, Irving. Lógica simbólica . MacMillan, 1979, quinta edición.
• Stebbing, Susan . Una introducción moderna a la lógica . Cromwell Company, 1931.