criterio de Conway

En la teoría matemática de las teselaciones , el criterio de Conway , que recibe su nombre del matemático inglés John Horton Conway , es una regla suficiente para determinar cuándo un prototipo cubrirá el plano. Consiste en los siguientes requisitos: ^{[ 1 ]} El prototipo debe ser un disco topológico cerrado con seis puntos consecutivos A, B, C, D, E y F en el borde, de manera que:

• La parte del límite de A a B es congruente con la parte del límite de E a D mediante una traslación T donde T(A) = E y T(B) = D.
• Cada una de las partes limítrofes BC, CD, EF y FA es centrosimétrica , es decir, cada una es congruente consigo misma cuando se rota 180 grados alrededor de su punto medio.
• Algunos de los seis puntos pueden coincidir, pero al menos tres de ellos deben ser distintos. ^{[ 2 ]}

Cualquier prototile que satisfaga el criterio de Conway admite un recubrimiento periódico del plano, y lo hace utilizando únicamente rotaciones de 180 grados. ^{[ 1 ]} El criterio de Conway es una condición suficiente para demostrar que un prototile recubre el plano, pero no una condición necesaria. Existen teselas que no cumplen el criterio y aun así recubren el plano. ^{[ 3 ]}

Cada tesela de Conway se puede plegar para formar un isotetraedro o un diedro rectangular y, a la inversa, cada desarrollo plano de un isotetraedro o un diedro rectangular es una tesela de Conway. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

El criterio de Conway se aplica a cualquier figura que sea un disco cerrado: si el contorno de dicha figura satisface el criterio, entonces cubrirá el plano. Aunque el artista gráfico M. C. Escher nunca formuló el criterio, lo descubrió a mediados de la década de 1920. Una de sus primeras teselaciones, que él mismo numeró posteriormente como 1, ilustra su comprensión de las condiciones del criterio. Seis de sus primeras teselaciones satisfacen el criterio. En 1963, el matemático alemán Heinrich Heesch describió los cinco tipos de teselas que satisfacen el criterio. Muestra cada tipo con una notación que identifica las aristas de una tesela al recorrer su contorno: CCC, CCCC, TCTC, TCTCC, TCCTCC, donde C significa una arista centrosimétrica y T significa una arista trasladada. ^{[ 5 ]}

Es probable que Conway se inspirara en la columna de Martin Gardner de julio de 1975 en Scientific American , que analizaba qué polígonos convexos pueden recubrir el plano. ^{[ 6 ]} En agosto de 1975, Gardner reveló que Conway había descubierto su criterio mientras intentaba encontrar una manera eficiente de determinar cuáles de los 108 heptominós recubren el plano. ^{[ 7 ]}

En su forma más simple, el criterio simplemente establece que cualquier hexágono con un par de lados opuestos que sean paralelos y congruentes teselará el plano. ^{[ 8 ]} En el artículo de Gardner, esto se llama un hexágono de tipo 1. ^{[ 7 ]} Esto también es cierto para los paralelogramos . Pero las traslaciones que coinciden con los bordes opuestos de estas teselas son la composición de dos rotaciones de 180°, alrededor de los puntos medios de dos bordes adyacentes en el caso de un paralelogramo hexagonal , y alrededor del punto medio de un borde y uno de sus vértices en el caso de un paralelogramo. Cuando una tesela que satisface el Criterio de Conway se rota 180° alrededor del punto medio de un borde centrosimétrico, crea un paralelogramo generalizado o un paralelogramo hexagonal generalizado (estos tienen bordes opuestos congruentes y paralelos), por lo que la tesela duplicada puede teselar el plano mediante traslaciones. ^{[ 4 ]} Las traslaciones son la composición de rotaciones de 180° al igual que en el caso del paralelogéneo hexagonal de borde recto o los paralelogramos. ^{[ 9 ]}

El criterio de Conway es sorprendentemente poderoso, especialmente cuando se aplica a poliformas . Con la excepción de cuatro heptominós , todos los poliominós hasta el orden 7 satisfacen el criterio de Conway o dos copias pueden formar un parche que lo satisface. ^{[ 10 ]} Excepto por dos nonominós, todos los poliominós de teselado hasta el tamaño 9 forman un parche de al menos una pieza que lo satisface, siendo más frecuentes las excepciones de mayor tamaño.

• La pluma mágica de Conway: Una aplicación en línea donde puedes crear tus propias fichas originales del criterio de Conway y sus teselaciones.