Heptomino

Un heptomino (o 7-omino o septomino ) es un poliomino de orden 7; es decir, un polígono en el plano formado por 7 cuadrados de igual tamaño conectados arista con arista. ^{[ 1 ]} El nombre de este tipo se forma con el prefijo hept(a)- . Cuando las rotaciones y reflexiones no se consideran formas distintas, hay 108 heptominos libres diferentes . Cuando las reflexiones se consideran distintas, hay 196 heptominos unilaterales . Cuando las rotaciones también se consideran distintas, hay 760 heptominos fijos . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La figura muestra todos los heptominós libres posibles, coloreados según sus grupos de simetría :

• 84 heptominós (coloreados de gris) no tienen simetría . Su grupo de simetría consiste únicamente en la aplicación identidad .
• Nueve heptominós (de color rojo) tienen un eje de simetría de reflexión alineado con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y la reflexión en una línea paralela a los lados de los cuadrados.

• Siete heptominós (de color verde) tienen un eje de simetría de reflexión a 45° con respecto a las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y una reflexión diagonal.

• Cuatro heptominós (de color azul) tienen simetría puntual, también conocida como simetría rotacional de orden 2. Su grupo de simetría tiene dos elementos: la identidad y la rotación de 180°.

• Tres heptominós (de color púrpura) tienen dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las líneas de la cuadrícula. Su grupo de simetría tiene cuatro elementos: la identidad, dos reflexiones y la rotación de 180°. Se trata del grupo diedral de orden 2, también conocido como el grupo cuatridimensional de Klein .

• El heptomino 1 (de color naranja) tiene dos ejes de simetría de reflexión, ambos alineados con las diagonales. Su grupo de simetría también tiene cuatro elementos. Además, su grupo de simetría es el grupo diedral de orden 2 con cuatro elementos.

Si se consideran distintas las reflexiones de un heptominó, como ocurre con los heptominós unilaterales, entonces la primera y la cuarta categoría anteriores duplicarían su tamaño, resultando en 88 heptominós adicionales para un total de 196. Si también se consideran distintas las rotaciones, entonces los heptominós de la primera categoría cuentan ocho veces, los de las siguientes tres categorías cuentan cuatro veces y los de las dos últimas categorías cuentan dos veces. Esto da como resultado 84 × 8 + (9+7+4) × 4 + (3+1) × 2 = 760 heptominós fijos.

De los 108 heptominós libres, 101 satisfacen el criterio de Conway y 3 más pueden formar un parche que lo satisfaga. Solo 4 heptominós no satisfacen el criterio y estos 4 no pueden teselar el plano. ^{[ 4 ]}

Aunque un conjunto completo de los 108 heptominós libres tiene un total de 756 cuadrados, no es posible recubrir un rectángulo con dicho conjunto. La demostración de esto es trivial, ya que hay un heptominó que tiene un agujero. ^{[ 5 ]} También es imposible formar un rectángulo de 757 cuadrados porque 757 es un número primo.

Sin embargo, el conjunto de 107 heptominós libres simplemente conectados —es decir, los que no tienen agujero— puede recubrir un rectángulo de 7 x 107 (749 cuadrados). ^{[ 6 ]} Además, el conjunto completo de heptominós libres puede recubrir tres rectángulos de 11 x 23 (253 cuadrados), cada uno con un agujero de un cuadrado en el centro; el conjunto completo también puede recubrir doce cuadrados de 8 x 8 (64 cuadrados) con un agujero de un cuadrado en el "centro". ^{[ 7 ]}