Grupo Conway Co 2

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Conway Co ₂ es un grupo simple esporádico de orden

   42.305.421.312.000

= 2 ¹⁸ · 3 ⁶ · 5 ³ · 7 · 11 · 23     

≈ 4 × 10¹³ .

Co ₂ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue descubierto por ( Conway 1968 , 1969 ) como el grupo de automorfismos de la red de Leech Λ fijando un vector de red de tipo 2. Es, por lo tanto, un subgrupo de Co _0. Es isomorfo a un subgrupo de Co _1. El producto directo 2×Co ₂ es máximo en Co ₀ . 

El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son ambos triviales .

Co ₂ actúa como un grupo de permutación de rango 3 sobre 2300 puntos. Estos puntos se pueden identificar con hexágonos planares en la red de Leech que tienen 6 vértices de tipo 2.

Co ₂ actúa sobre la red integral par de 23 dimensiones sin raíces de determinante 4, dada como una subred de la red de Leech ortogonal a un vector de norma 4. Sobre el cuerpo con 2 elementos tiene una representación fiel de 22 dimensiones; esta es la representación fiel más pequeña sobre cualquier cuerpo.

Feit (1974) demostró que si un grupo finito tiene una representación racional fiel absolutamente irreducible de dimensión 23 y no tiene subgrupos de índice 23 o 24, entonces está contenido en Z /2 Z × Co ₂ o Z /2 Z × Co ₃ .

El grupo de Mathieu M ₂₃ es isomorfo a un subgrupo maximal de Co ₂ y una representación, en matrices de permutación, fija el vector de tipo 2 u = (-3,1 ²³ ). Una suma de bloques ζ de la involución η =

${\displaystyle {\mathbf {1} /2}\left({\begin{matrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1\end{matrix}}\right)}$

y 5 copias de -η también fijan el mismo vector. Por lo tanto, Co ₂ tiene una representación matricial conveniente dentro de la representación estándar de Co ₀ . La traza de ζ es -8, mientras que las involuciones en M ₂₃ tienen traza 8.

Una suma de bloques de 24 dimensiones de η y -η está en Co ₀ si y solo si el número de copias de η es impar.

Otra representación fija el vector v = (4,-4,0 ²² ). Un subgrupo monomial y maximal incluye una representación de M ₂₂ :2, donde cualquier α que intercambie las dos primeras coordenadas restaura v negando el vector. También se incluyen involuciones diagonales correspondientes a octadas (traza 8), 16-conjuntos (traza -8) y dodecadas (traza 0). Se puede demostrar que Co ₂ tiene solo 3 clases de conjugación de involuciones. η deja (4,-4,0,0) sin cambios; la suma de bloques ζ proporciona un generador no monomial que completa esta representación de Co ₂ .

Hay una forma alternativa de construir el estabilizador de v . Ahora u y u + v = (1,-3,1 ²² ) son vértices de un triángulo 2-2-2 (véase más adelante). Entonces u , u + v , v , y sus negativos forman un hexágono coplanar fijado por ζ y M ₂₂ ; estos generan un grupo Fi ₂₁ ≈ U ₆ (2). α (véase arriba) extiende esto a Fi ₂₁ :2, que es máximo en Co ₂ . Por último, Co ₀ es transitivo en puntos de tipo 2, de modo que un ciclo 23 que fija u tiene un conjugado que fija v , y la generación está completa.

Algunos subgrupos maximales fijan o reflejan subretículos bidimensionales del retículo de Leech. Es habitual definir estos planos mediante triángulos hkl : triángulos que incluyen el origen como vértice, cuyas aristas (diferencias de vértices) son vectores de tipos h, k y l.

Wilson (2009) encontró las 11 clases de conjugación de subgrupos máximos de Co ₂ de la siguiente manera:

Se muestran trazas de matrices en una representación estándar de 24 dimensiones de Co _2. ^{[ 1 ]} Los nombres de las clases de conjugación se toman del Atlas de Representaciones de Grupos Finitos. ^{[ 2 ]}

Los centralizadores de estructura desconocida se indican entre corchetes.

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• Conway, John Horton (1969), "Un grupo de orden 8.315.553.613.086.720.000", The Bulletin of the London Mathematical Society , 1 : 79–88 , doi : 10.1112/blms/1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216  
• Conway, John Horton (1971), «Tres conferencias sobre grupos excepcionales», en Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Grupos simples finitos , Actas de una conferencia didáctica organizada por la London Mathematical Society (un instituto de estudios avanzados de la OTAN), Oxford, septiembre de 1969, Boston, MA: Academic Press , pp. 215–247 , ISBN  978-0-12-563850-0, MR 0338152 Reimpreso en Conway & Sloane (1999 , 267–298)
• Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol.  290 (3.ª  ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369 
• Feit, Walter (1974), "Sobre representaciones integrales de grupos finitos", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 29 (4): 633– 683, doi : 10.1112/plms/s3-29.4.633 , ISSN 0024-6115 , MR 0374248  
• Thompson, Thomas M. (1983), De códigos correctores de errores a través de empaquetamientos de esferas a grupos simples , Carus Mathematical Monographs, vol.  21, Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-023-7, MR 0749038 
• Conway, John Horton ; Parker, Richard A.; Norton, Simon P.; Curtis, RT; Wilson, Robert A. (1985), Atlas de grupos finitos , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219 
• Griess, Robert L. Jr. (1998), Doce grupos esporádicos , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, MR 1707296 
• Wilson, Robert A. (1983), "Los subgrupos maximales del grupo ·2 de Conway", Journal of Algebra , 84 (1): 107– 114, doi : 10.1016/0021-8693(83)90069-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0716772  
• Wilson, Robert A. (2009), Los grupos simples finitos. , Graduate Texts in Mathematics 251, vol.  251, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 

Específico

• MathWorld: Grupos de Conway
• Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: Co ₂ versión 2
• Atlas de Representaciones de Grupos Finitos: Co ₂ versión 3